2024-2025学年吉林省延边州高一上学期期末学业质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省延边州高一上学期期末学业质量检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.命题“，”的否定为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知，，，则下列说法中错误的是( )
A. B.
C. D.
4.是第_____象限角( )
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
5.已知幂函数的图象不过原点，则实数的值为( )
A. B. C. D. 或
6.中国的技术领先世界，技术的数学原理之一便是著名的香农公式：它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速度取决于信道宽度，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中叫做信噪比当时，公式中真数里的可以忽略不计按照香农公式，若将带宽变为原来的倍，信噪比从提升到，则大约是原来的多少倍其中( )
A. B. C. D.
7.若函数与函数的零点分别为，，则所在区间为
A. B. C. D.
8.定义在上的奇函数，在上单调递增，且，则满足的的取值范围是( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各说法中错误的是( )
A. 函数与函数为同一个函数
B. 若函数的图象经过定点，则点的坐标是
C. “”是“”的充分不必要条件
D. 从集合到集合的对应关系，，对应关系，则是的函数
10.已知函数，则( )
A. 的最小正周期为
B. 的定义域为
C. 若，则
D. 在其定义域上增函数
11.下列说法正确的是( )
A. 若角的终边过点，则
B. 函数是偶函数
C.
D. 若，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.化简的结果是______．
13.函数的定义域为______．
14.设函数，存在最小值时，实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
若，求的值；
已知，，试用，表示．
16.本小题分
已知函数过点．
判断在区间上的单调性，并用定义证明；
求函数在上的最大值和最小值．
17.本小题分
已知函数，．
在用“五点法”作函数的图象时，列表如下：
完成上述表格，并在坐标系中画出函数在区间上的图象；
求函数的最小正周期及单调递增区间．
18.本小题分
已知函数．
当时，求函数的零点
若函数为偶函数，求的值
当时，若关于的不等式在时恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知函数．
若是上的增函数，求实数的取值范围；
若，方程有三个实数解，，
写出实数和的取值范围；
求证：．
参考答案
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15.解：若，则，
；
因为，，
所以．
16.解：函数在区间上单调递增，证明如下，
由函数过点，有，
解得，所以的解析式为：．
设，，且，有
．
由，，，得，．
则，即
在区间上单调递增．
由在上是增函数，
所以在区间上的最小值为，最大值为．
17.解：完成表格如下：
画出函数在区间上的图象如下图：
函数的最小正周期为，
由，解得，，
原函数的单调递增区间为，．
18.解：当时，，
令，解得，
所以当时，函数的零点为；
因为函数为偶函数，
所以，即，
所以，
又不恒为，
所以，即；
当时，，
因为关于的不等式在时恒成立，
所以
，
又因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以，即的取值范围是．
19.解：若是上的增函数，
则，解得：，
所以实数的取值范围是：；
若，则
方程方程有三个实数解，，，等价于函数图象与直线有三个交点，并且交点的横坐标为，，，在同一坐标系中作出函数图象与直线，如图所示：
所以，，，所以
因此，实数的取值范围是的取值范围是；
证明：因为，，，
所以，
因此有
，
当且仅当时等号成立，
所以．
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