2024-2025学年吉林省长春市吉大附中实验学校高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年吉林省长春市吉大附中实验学校高一（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.( )
A. B. C. D.
2.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
3.已知函数，且，则( )
A. B. C. D.
4.已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
5.设，，，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
6.某种药物作用在农作物上的分解率为，与时间小时满足函数关系式其中，为非零常数，若经过小时该药物的分解率为，经过小时该药物的分解率为，那么这种药物完全分解，至少需要经过参考数据：
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
7.已知函数，则在的值域为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，若关于的方程有个不同的实根、、、，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论正确的是( )
A. 若角为锐角，则角为钝角
B. 是第三象限角
C. 若角的终边过点，则
D. 若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形面积为
10.下列命题为真命题的是( )
A. “”是“”的充分不必要条件
B. 命题“，”的否定是“，”
C. 若，则
D. 若，，且，则的最小值为
11.已知函数的定义域为，且的图象关于直线对称，，又，，则( )
A. 为偶函数 B. 的图象关于点中心对称
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是第二象限角，，则 ______．
13.实数，满足，则的最小值为______．
14.已知函数，，则函数的值域为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算或化简：
；
．
16.本小题分
已知集合，．
若，求；
若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围．
17.本小题分
在单位圆中，锐角的终边与单位圆相交于点，连接圆心和得到射线，将射线绕点按逆时针方向旋转后与单位圆相交于点，其中．
求的值；
记点的横坐标为，若，求的值．
18.本小题分
已知：函数．
求函数的最值；
当为何值时，方程在区间有两解？
求函数在区间上的单调递增区间．
19.本小题分
设是大于的常数，，已知函数是奇函数．
求实数的值；
若对任意的实数，不等式均成立，求实数的取值范围；
证明：关于的方程有且仅有一个实数解；设此实数解为，试比较与的大小．
参考答案
1.
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10.
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13.
14.
15.解：
．
．
16.解：或，
当时，，
则或．
若“”是“”的必要不充分条件，则，
则或，解得或，
即．
17.解：由于点在单位圆上，且是锐角，可得，
由三角函数定义可知，，
所以
；
由可知，且为锐角，可得，
根据三角函数定义可得：，
因为，且，
所以，
所以
．
18.解由，
，
所以当时，
当时
函数的最大值为，最小值为．
由，
，
，
令，，
，
要使方程在区间有两解，
有在区间上有一解令，
或，
或
的取值范围是．
由
，
令，
，
，
在上单调递减，在上单调递增
当时，
，
而在上单调递减，在上单调递增，
所以当时单调递增，
当时，
而在时单调递增，
在上单调递增．
综上函数在区间上的单调递增区间为．
19.解：是大于的常数，，已知函数是奇函数，
可得，即，解得，
可得，，即有为奇函数；
由，，又在上递增，在上递增，可得在上递增，且为奇函数，
可得，即为，
即，即在恒成立，可得，且，
解得，即的取值范围是；
证明：关于的方程，即，即，
设，，令，可得，显然时，方程无解；当时，方程有解，
又在上递增，且，
可得方程有且仅有一个实数解，设此实数解为，即，，
由，可得，
即有，可得
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