2024-2025学年江苏省扬州市高一上学期期末检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省扬州市高一上学期期末检测数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.命题“，”的否定是 ．
A. ， B. 不存在，
C. ， D. ，
2.集合的真子集个数为( )
A. B. C. D.
3.不等式的解集为( )
A. B. C. D.
4.若，，则下列式子一定正确的是( )
A. B.
C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.若幂函数的图象经过点，则下列说法正确的是( )
A. 为偶函数 B. 方程的实数根为
C. 在上为增函数 D. 的值域为
7.已知，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，单位圆上的动点、同时从点出发，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度若两点相遇时的坐标是，则此时它们可能是第次相遇．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列三角函数值的符号为负的有( )
A. B. C. D.
10.已知实数满足，且，则下列说法正确的有( )
A. 若，则对任意实数， B. 若，则
C. 的最小值是 D. 的最小值是
11.已知函数的图象过坐标原点，且值域为，则下列说法正确的有( )
A.
B.
C. 若，则
D. 若关于的方程有实数根，则实数的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.求值： ．
13.已知函数满足下列三个条件：对任意，对任意，的值域为，则 写出满足要求的一个函数即可
14.已知函数若对任意，，不等式成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求，
若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
在平面直角坐标系中，角以轴的正半轴为始边，它的终边与单位圆交于第四象限内的点
若，求的值
若，求的值及点的坐标．
17.本小题分
已知定义在上函数的图象关于坐标原点对称．
求实数的值
判定的单调性并证明
若实数满足，求的取值范围．
18.本小题分
已知用“五点法”画函数在一个周期上的图象时，列表如下：
求的解析式
将函数图象上所有点向右平移个单位长度，再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数的图象．
求在上的单调增区间
若关于的方程在上有四个不相等的实数根，，，，求的值．
19.本小题分
已知两个函数，，，，若对任意的，存在唯一的，使得成立，则称为的“友好函数”．
判断函数，是否为，的“友好函数”，并说明理由
若函数，是，的“友好函数”，求的最小值
已知函数，，，，若是的“友好函数”，且也是的“友好函数”，求实数的值及的最大值．
参考答案
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15.解：因为，
当时，，
此时，
；
因为“”是“”的必要条件，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围．
16.解：因为角以轴的正半轴为始边，它的终边与单位圆交于第四象限内的点，
若，则，
所以，
所以
；
因为，
两边平方，得，
即，
所以，
因为是第四象限角，则，
所以，
所以，与联立，
解得，
则，
所以点的坐标为，
所以．
17.解：由题意，定义在上函数的图象关于坐标原点对称，
可得，解得，
当时，，
，
是奇函数，
故．
是上的单调递减函数，
证明如下：
，
任取、且，
则，
由于、且
故，，，
从而有，，
所以函数在上单调递减；
由，故，即，
由在上单调递减，可得，
即，解得，
即实数的取值范围．
18.解：由表可知，，
，解得，
，
函数图像过点，
则，即，
，解得，
又，
，
；
将函数图象上所有点向右平移个单位长度，
得到函数，
再将图象上每个点的横坐标变为原来的倍纵坐标不变，得到函数，
由，得，
与取交集，得出在上的单调增区间为；
当时，令，则，
若关于的方程在上有四个不相等的实数根，，，，
则，
即，
所以，
所以．
19.解：函数，不是，的友好函数，理由如下：
由，的值域为，
又，，取，则，
若函数，是，的友好函数，
那么存在，使得，即在上有解，
显然这是不成立的，所以函数，不是，的友好函数．
由函数，，所以
且函数，的值域为．
对于，，
设，则，
由，即，可得，
因为的值域为，所以的值域满足：，
即，解得，所以的最小值为．
由是的友好函数，且也是的友好函数，
则和在定义域内均为单调函数，而且不能为两函数的值域中的元素．
对于函数，，
所以，
因为函数在上为单调函数且不能为函数的值域中的元素，
则，解得，
此时函数的值域为．
对于函数，，
当时，，
当时，，
由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，
若在上单调，
由复合函数单调性可知，的取值范围为．
由友好函数的定义，取时，，
那么存在，使得，
又当时，，
若是值域中的元素，那么只能在上单调递增，
所以的值域为．
由是的友好函数，且也是的友好函数，
所以，
解得，
所以，
则．
由函数在上单调递增，
所以当时，．
综上，实数的值为，的最大值为．
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