2024-2025学年江西省赣州市高二上学期1月期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年江西省赣州市高二上学期1月期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间直角坐标系中，，，则，两点间的距离为( )
A. B. C. D.
2.对于直线，下列选项正确的是( )
A. 直线倾斜角为 B. 直线经过第四象限
C. 直线在轴上的截距为 D. 直线的一个方向向量为
3.复数满足，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
4.如图，在四面体中，，，，，，则( )
A. B.
C. D.
5.某工厂有甲、乙车间生产相同的产品，甲车间生产的产品合格率为，乙车间生产的产品合格率为，若将两车间的产品混合堆放在一起且甲、乙车间的产品数量比例为，现从中随机取出一件产品，则取出的产品是合格品的概率为( )
A. B. C. D.
6.已知动点到定点的距离比它到直线的距离大，直线与动点的轨迹交于，两点，且线段的中点为，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
7.年是红军长征出发九十周年、习近平总书记考察江西于都五周年，为弘扬红色文化、促进健康生活方式，江西省体育局、赣州市人民政府共同举办了一场于都红色半程马拉松比赛。某单位名志愿者准备分成三组前往比赛途径的中央红军长征出发地纪念碑、金山大道、于都体育中心这三个站点进行志愿者活动，要求每组至少有名且最多有名志愿者，则不同安排的方法数为( )
A. B. C. D.
8.设有一组圆，，，圆上存在点，使得，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是( )
A. B.
C. D.
10.已知，为双曲线的左、右顶点，，分别为双曲线的左、右焦点，离心率为且焦点到渐近线的距离为，为双曲线上不同于顶点的动点，则下列选项正确的是( )
A. 双曲线的方程为
B. 直线与双曲线有两个交点
C. 直线，的斜率之积为
D. 若，则的面积为
11.在边长为的正方体中，为线段上的中点，点在线段上运动，则下列选项正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 点在线段上运动时，的最小值为
C. 存在点，使得平面与平面在所成夹角为
D. 当为的中点时，过，作平面平面，则平面截正方体的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知随机变量X~N(1,),P(X-1)=0.15,则P(1X3)的值为 .
13.经过，两点，且圆心在直线上的圆的标准方程为 ．
14.已知，分别为椭圆的左、右焦点，为坐标原点，若椭圆上存在一点，使得，点在的平分线上，，且，则椭圆的离心率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知的展开式中各项的二项式系数之和为．
求展开式中项的系数
求展开式中项的系数最大的项．
16.本小题分
已知为坐标原点，抛物线经过点，直线经过点且与抛物线相交于，两点．
证明：为定值
若，求直线的方程．
17.本小题分
如图，四棱锥的底面是矩形，，，是等边三角形，平面平面，为的中点，在线段上且满足，与相交于点．
求证：平面
求直线与平面所成角的正弦值．
18.本小题分
年月日神舟十九号载人飞船成功发射，不仅顺利进入了预定轨道，还与已经在太空中的目标飞行器实现了精准对接，完成了“顺利会师”的壮举，此次任务的圆满完成，不仅标志着中国在载人航天领域取得了新的突破，也为中国未来的深空探索奠定了坚实的基础。为进一步宣传中国航空航天伟大成就，培养学生对航空事业的兴趣和爱国情怀，某中学举办了以“探索航空，爱国起航”为主题的知识竞赛，分初赛和决赛两个环节进行。初赛环节规则如下：每位选手从道题中随机抽取道题作答，道题全部答对的选手晋级决赛。决赛环节进行三轮抢答，规则如下：每位选手每轮抢到题目且回答正确得分，抢到题目但回答错误扣分，该轮未参与抢答或未抢到题目不得分，每轮抢答情况相互独立，最终按照决赛中三轮抢答的总得分进行排名并表彰．
若某选手对于初赛环节中的道题目，只有道能回答正确，求他在初赛环节中答对题目数量的分布列和期望
已知甲晋级决赛，甲在决赛中每轮抢到题目的概率为，能回答正确的概率为，求甲在决赛中总得分大于分的概率．
19.本小题分
为坐标原点，为坐标平面上与不重合的点，表示点到轴的距离，表示点到点的距离，若满足均为常数，则称点的轨迹为曲线已知曲线是曲线，直线与曲线交于，两点不与曲线的顶点重合．
求曲线的方程
若点在曲线上，直线斜率为，直线斜率为，且，求证：直线过定点
若直线经过点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点，求面积的最大值．
参考答案
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12.0.35
13.．
14.
15.解：次二项式的展开式中各项的二项式系数和，
由题意，得，即，
由二项式通项公式，得，
即，令，得，
展开式中项的系数为
设展开式中第项的系数最大，
则有
化简得，即为解得，
，则，，
展开式中项的系数最大的项为．
16.解：由题意，得，即，则抛物线的方程为，
设直线的方程为：，，，
联立方程组得：，
，且，
，，
，，
因为，
，
由知，，
解得，
直线的方程为或．
17.解为正三角形，为中点，，
平面平面，交线为，平面，平面，
由于和均在平面内，，，
四棱锥的底面是矩形，且为的中点，为的中点，
，，，两两垂直，
以为原点，，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐系，
，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，得，
可知，平面，即平面．
，，，
，
，
，，
设平面法向量为，
则，即，
取，得，
设直线与平面所成角为，
，，
直线与平面所成角的正弦值．

18.解：设该选手初赛中答对题目数量为，的所有可能取值为，，，，
，，，，
的分布列为：
该选手初赛中答对题目数量的期望．
甲在决赛中总得分大于分的情况有以下三种情况：
得分抢到次且答对次、答错次，得分抢到次且答对次、次没抢到，得分抢到次且答对次，
设甲每轮抢到题目且答对为事件，，抢到题目且答错的概率为事件，，没抢到题目为事件，，
得分的概率，
得分的概率，
得分的概率，
甲在决赛中总得分大于分的概率．
19.解根据曲线的定义，设，
由，得．
曲线为曲线，即满足，，得，
即为，化简得曲线的方程为，
故曲线的轨迹为对称中心在坐标原点、焦点在轴、长轴长、短轴长为的椭圆；
由题意，当直线的斜率不存在，则轴，，关于对称，
又，则，不符合题意，
当直线的斜率不存在，设，，，
联立，得
，即，
，，
由，
，
，故或，
当时，，此时过定点
当时，，此时过顶点，不符合题意，舍去
综上，直线过定点，得证
设直线的方程为，
联立，得，
则，，
，则或，
点与点关于轴对称，则，设点，
，，三点共线，则，即，即，
即，得，
点为定点，
，
令，
，
当且仅当时取等号，
的面积的最大值为
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