2024-2025学年辽宁省抚顺市六校协作体高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省抚顺市六校协作体高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，则( )
A. B. C. D.
2.若“存在，使得”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B.
C. D.
3.已知，则下列不等式正确的是( )
A. B. C. D.
4.星等是天文学上对星星明暗程度的一种表示方法，可分为两种：目视星等与绝对星等它们之间可用公式转换，其中为绝对星等，为目视星等，为到地球的距离单位：光年现在地球某处测得号星的绝对星等为，目视星等为；号星绝对星等为，目视星等为则号星与号星到地球的距离之比为( )
A. B. C. D.
5.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
6.函数在上为减函数，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知函数的部分图象如图所示，则的值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 某小组有名男生和名女生，从中任选名同学参加演讲比赛，“至少一名男生”和“全是女生”是对立事件
B. 数据，，，，，，，，，的分位数是
C. 已知甲、乙两门高射炮同时向一目标开炮，若甲击中目标的概率为，乙击中目标的概率为，则目标被击中的概率为
D. 数据，，，的平均数为，方差为，则数据，，，的平均数为，方差为
10.已知幂函数，则下列说法正确的是( )
A. 若，则在上单调递减
B. 若，则是奇函数
C. 函数过定点
D. 若，则
11.已知定义在区间上的函数满足：对任意，均有；当时，则下列说法正确的是( )
A.
B. 在定义域上单调递减
C. 是奇函数
D. 若，则不等式的解集为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.函数满足：定义域为；；在上为增函数请写出满足上述三个条件的一个函数解析式______答案不唯一，正确即可；
13.已知是奇函数，且当时，，则 ______．
14.设表示不超过的最大整数，如，则函数的零点为______．
四、解答题：本题共5小题，共148分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，，．
求；
若是的充分条件，是的必要条件，求的取值范围．
16.本小题分
学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，每天能用于锻炼的课余时间有分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分与当天锻炼时间单位：分的函数关系要求及图示如下：函数是区间上的增函数；每天运动时间为分钟时，当天得分为分；每天运动时间为分钟时，当天得分为分；每天最多得分不超过分现有以下三个函数模型供选择：，，．
请你根据函数图象性质从中选择一个合适的函数模型，不需要说明理由：
根据所给信息求出函数的解析式；
求每天得分不少于分，至少需要锻炼多少分钟注：，结果保留整数．
17.本小题分
已知，，且．
求的最小值：
求的最小值；
求的最大值．
18.本小题分
年月日至月日是第二届全国城市生活垃圾分类宣传周，本次宣传周的主题为“践行新时尚分类志愿行”某中学高一年级举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩单位：分，得分取正整数，满分为分作为样本进行统计，将成绩进行整理后，分为五组，其中第二组的频数是第一组频数的倍，请根据下面尚未完成的频率分布直方图如图所示解决下列问题：
求，的值，并估计这次竞赛成绩的中位数同一组中的数据用该组区间的中点值作代表；
如果用分层抽样的方法从样本成绩为和的学生中共抽取人，再从人中选人，求人分数恰好来自同一组的概率；
某老师在此次竞赛成绩中抽取了名学生的分数：，，，，，已知这个分数的平均数，标准差，若剔除其中的和这两个分数，求剩余个分数的平均数与方差．
19.本小题分
已知为上的奇函数，为上的偶函数，且．
分别求函数，的解析式；
判断函数的单调性，并用定义证明；
设，，对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.答案不唯一
13.
14.
15.解：因为，
所以或，
又，
所以或．
若是的充分条件，则，
因为，
所以，解得，
若是的必要条件，则，
所以，解得．
综上，的取值范围为．
16.解：建立一个每天得分与当天锻炼时间单位：分的函数关系，
现有以下三个函数模型供选择：，，；
对于模型，
对数型的函数增长速度较慢，符合题意，故选项模型；
所求函数过点，，
则，解得，，
故所求函数为，
经检验，当时，，符合题意，
综上所述，函数的解析式为；
每天得分不少于分，，即，
，即，
每天得分不少于分，至少需要锻炼分钟．
17.解：因为，所以，
当且仅当时，即时等号成立，
所以的最小值为；
因为，，
所以，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值；
因为，则，所以，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
所以的最大值为．
18.解：根据题意可得，解得，
又，解得，
因为前几组的频率依次为，，，
所以中位数落在区间内，
所以估计中位数为；
第四组的抽取人数为，设所抽取的人为，，，，
第五组的抽取人数为，设所抽取的人为，，
则从中随机抽取两名学生有，，，，，，，，，，，，，，，共种情况，
记事件“抽取的两名学生在同一组”，所以事件包含的基本事件为，，，，，，，共种情况．
所以；
由，得，
又，
所以，
剔除其中的和两个分数，设剩余个数为，，，，，，
平均数与标准差分别为，，
则剩余个分数的平均数：；
所以，
即：．
方差：，
所以剩余个分数的平均数为，方差为．
19.解：因为为上的奇函数，为上的偶函数，且，
则，
所以，
由得到，所以；
由得到，所以；
单调递增，证明如下：
取任意，，且，
则
；
易知当时，，，
所以，
即，
因此在上单调递增；
因为对任意的，总存在，使得，
所以在上的值域是在上值域的子集．
设在上的值域为集合，
因为是增函数，故时，，
令，
则，
所以，
所以，
函数的对称轴为，开口向上，
当时，，，
即．
所以，即，解得．
当时，，，，
因为，所以，
解得．
当时，，，
，
所以，解得．
综上所述：．
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