2024-2025学年辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省抚顺市省重点高中六校协作体高二上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点关于轴的对称点为点，则( )
A. B. C. D.
2.小沉从瓶不同香味的香水中选择瓶进行试香，则小沉的选择共有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
3.已知双曲线的焦距为，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知的展开式共有项，则该展开式中含的项的系数为( )
A. B. C. D.
5.将名党员志愿者分到个不同的社区进行知识宣讲，要求每个社区都要有党员志愿者前往，且每个党员志愿者都只安排去个社区，则不同的安排方法种数有( )
A. B. C. D.
6.已知，抛物线：的焦点为，为上一点，若，则( )
A. B. C. D.
7.已知直线与圆相离，过直线上的点作圆的两条切线，切点为若四边形的面积的最小值为，则( )
A. 或 B. 或 C. 或 D. 或
8.已知直四棱柱的底面是边长为的菱形，，，点满足，其中若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A.
B.
C.
D.
10.已知在四棱台中，平面，底面为菱形，则下列结论正确的是( )
A. 平面平面
B. 平面
C. 平面平面
D. 若向量与在向量上的投影向量分别为，，则
11.数学中有许多形状优美的曲线，曲线就是其中之一，则下列四个结论正确的是( )
A. 曲线关于原点对称，且关于直线对称
B. 曲线上任意一点到原点的距离都不超过
C. 若是曲线上的任意点，则的最大值为
D. 已知，直线与曲线交于，两点，则为定值
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知直线：与直线：平行，则直线的倾斜角为 ．
13.已知平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值的最大值为 ．
14.由字母，构成的一个位的序列，含有连续子序列的序列有 个例如，符合题意
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆，直线．
证明直线恒过定点，并求定点的坐标；
当时，求直线被圆所截得的弦长．
16.本小题分
如图，在三棱柱中，四边形和均为矩形，．
证明：；
若，，求平面与平面夹角的余弦值．
17.本小题分
在名指导老师的带领下，名大学生男生名，女生名志愿者深入乡村，开启了支教之旅他们为乡村的孩子们精心设计了阅读、绘画、心理辅导等多元化课程，并组织了丰富多彩的文体游戏支教结束后，现让这名师生站成一排进行合影，在下列情况下，各有多少种不同的站法？
名指导老师相邻且站正中间，名女大学生相邻；
名男大学生互不相邻，且男大学生甲不站最左侧；
名指导老师之间恰有名女大学生和名男大学生．
18.本小题分
已知双曲线经过点，直线与双曲线相交于两点．
求双曲线的离心率；
若线段的中点坐标为，求直线的斜率；
直线经过双曲线的右焦点，若以线段为直径的圆经过坐标原点，求直线的方程．
19.本小题分
若椭圆，，，为椭圆上异于点，的任一点，且恒成立，则称椭圆为“内含椭圆”已知椭圆的左，右焦点分别为，，，四边形的面积为．
求椭圆的标准方程；
若椭圆为“内含椭圆”，求椭圆的标准方程；
若椭圆为“内含椭圆”，为椭圆上一点，，且存在实数，使得，求的取值范围．
参考答案
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15.解：
直线的方程可化为，
由得得，所以直线恒过定点．
圆的标准方程为，
圆心，半径．
当时，直线的方程为，则圆心到直线的距离，
所以直线被圆所截得的弦长为．

16.解：证明：因为四边形为矩形，所以，
因为，，平面，
所以平面，
因为平面，所以．
以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
所以，，，
设平面的一个法向量为，则，即
取，，则，
设平面的一个法向量为，则，即
取，，则，
设平面与平面的夹角为，
则，
故平面与平面夹角的余弦值为．

17.解：
先排名指导老师，有种站法，
再排名女大学生，有种站法，
最后排剩余的名男大学生，有种站法，
所以共有种不同的站法．
先排名指导老师和名女大学生，有种站法，
再用插空法排男大学生甲，除去最左侧有种站法，
最后继续用插空法，排剩余的名男大学生，有种站法，
所以共有种不同的站法．
先选名女大学生和名男大学生站名指导老师中间，有种站法，
再排名指导老师，有种站法，
最后将选中的名女大学生，名男大学生及名指导老师视为一个整体，
利用捆绑法与剩余的名大学生全排列，有种站法，
所以共有种不同的站法．

18.解：
将点的坐标代入，得，解得，
故双曲线的离心率．
根据题意易得直线的斜率存在，设，
则，两式相减得，
整理得．
因为线段 的 中点坐标为，所以，
所以直线的斜率，
故直线的方程为，即．
经检验，直线与双曲线相交，所以直线的斜率为．
由题意得双曲线的右焦点为．
若以线段为直径的圆经过坐标原点，则．
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，
根据对称性不妨设，则，，
所以直线的斜率存在，
则可设直线的方程为．
由，得，
，
所以，
因为，
所以，
解得，
所以直线的方程为，即或．

19.解：
根据题意可得，即．
因为四边形的面积为，所以．
由，解得或
所以椭圆的标准方程为或．
若椭圆的标准方程为，则，，设椭圆的左顶点为，
则，，，不符合题意，舍去．
若椭圆 的 标准方程为，则，，设，
则，符合题意．
故椭圆的标准方程为．
由得椭圆的方程为设，则．
若存在实数，使得，则，
得，
．
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，，
则，故的取值范围为．

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