2024-2025学年辽宁省沈阳市五校协作体高一上学期期末联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年辽宁省沈阳市五校协作体高一上学期期末联考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
4.已知数据，且满足，若去掉，后组成一组新数据，则新数据与原数据相比，有可能变大的是( )
A. 平均数 B. 中位数 C. 极差 D. 方差
5.如图，矩形中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段的中点，则 ( )
A. B. C. D.
6.设，若，则的值为 ( )
A. B. C. D.
7.已知正实数、满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数是定义域为的函数，，对任意、，均有，已知、为关于的方程的两个解，则关于的不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若，，，则下列说法正确的是( )
A. B. 事件与不互斥
C. 事件与相互独立 D. 事件与不一定相互独立
10.下列结论中正确的是( )
A. 若幂函数的图象经过点，则
B. 函数且的图象必过定点
C. 函数的单调增区间是
D. 若幂函数，则对任意、，都有
11.已知函数关于的方程有从小到大排列的四个不同的实数根，若，则( )
A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数为奇函数，则函数的图象关于 对称．
13.如图，中，延长到，使，当点在线段上移动时，若，则的最大值是 ．
14.已知是定义域为的函数，且是奇函数，是偶函数，满足，若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
随着国家将低空经济纳入战略新兴发展规划，无人机行业迎来前所未有的发展机遇．某无人机厂家为了解所生产的某类型无人机的飞行时长，随机抽取架该类型无人机进行测试，统计得到如下频率分布表：
飞行时长分钟
频率
估计该类型无人机飞行时长的平均数及第百分位数同一组数据用该组区间的中点值为代表，最终结果保留整数；
记飞行时长大于等于第百分位数的为优良品，大于等于且小于第百分位数的为合格品．从该厂家生产的该类型无人机中按照是否为优良品并用分层抽样的方法抽取架，再从这架无人机中随机抽取架，求至少有一架无人机为优良品的概率．
16.本小题分
如图，在中，点满足，是线段的中点，过点的直线与边，分别交于点．
若，求的值；
若，，求的最小值．
17.本小题分
为了增添学习生活的乐趣，甲、乙两人决定进行一场投篮比赛，每次投个球．先由其中一人投篮，若投篮不中，则换另一人投篮；若投篮命中，则由他继续投篮，当且仅当出现某人连续两次投篮命中的情况，则比赛结束，且此人获胜．经过抽签决定，甲先开始投篮．已知甲每次投篮命中的概率为，乙每次投篮命中的概率为，且两人每次投篮的结果均互不干扰．
求甲、乙投篮总次数不超过次时，乙获胜的概率；
求比赛结束时，甲恰好投了次篮的概率．
18.本小题分
已知函数，．
若存在，使得成立，求实数的取值范围；
若不等式，对任意的恒成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
定义一种新的运算“”：，，都有
Ⅰ对于任意实数，，，试判断与的大小关系；
Ⅱ若关于的不等式的解集中的整数恰有个，求实数的取值范围；
Ⅲ已知函数，，若对任意的，总存在，使得，求实数的取值范围．
参考答案
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15.解：
该类型无人机飞行时长的平均数为；
飞行时长在区间的频率为，在的频率为，
则该类型无人机飞行时长的第百分位数，
由，解得，
所以该类型无人机飞行时长的第百分位数约为分钟．
依题意，合格品与优良品的 比例为，即为，
则抽取的架无人机中，合格品有架，优良品有架，
所以从这架无人机中随机抽取架，至少有一架无人机为优良品的概率．

16.解：因为，
所以，
因为是线段的中点，所以，
又因为，设，则有，
因为三点共线，所以，解得，即，
所以；
因为，，
由可知，，所以，
因为三点共线，所以，即，
所以，
当且仅当，即，时取等号，
所以的最小值为．

17.解：若甲、乙投篮总次数为次，则乙不可能获胜；
若甲、乙投篮总次数为次且乙获胜，
则第一次甲未投中，乙投中第、次，
所以；
若甲、乙投篮总次数为次乙获胜，
则第一次甲投中、第二次甲未投中，
乙投中第、次，
所以；
记甲、乙投篮总次数不超过次时且乙获胜为事件，
则，
所以甲、乙投篮总次数不超过次时，
乙获胜的概率为；
若比赛结束时甲赢得比赛且甲恰好投了次篮，
则甲连续投中次，则概率；
若比赛结束时乙赢得比赛，又甲恰好投了次篮，
甲投中第一次，第二次甲未投中，
乙投中第、次，
则；
甲第一次未投中，第二次乙未投中，
第次甲未投中，第、次乙投中，
则；
甲第一次未投中，第二次乙投中，第次乙未投中，第甲未投中，第、次乙投中，
则
；
综上可得比赛结束时，甲恰好投了次篮的概率．

18.解：
，由，
在有解，
令，所以，
当时；当趋向于或时趋向于，即．
，即，
令，则，
因为，为增函数，所以，
所以化为对任意的恒成立，
在上单调递减，
当时，取得最大值为，
所以，实数的取值范围为．

19.解：Ⅰ，，都有，
，
，
，
Ⅱ
，
关于的不等式
可化为：，
即，
不等式的解集中的整数恰有个，
为满足题意，必有，即或，
令，
由于，，
结合可得：，
的一个零点在区间，另一个零点在区间，
从而，
由可得：或，
实数的取值范围：
Ⅲ函数，
，
，，
设，
令，，
则，
，
，
的值域为，
，
，
的值域为，
根据题意可知：，
，
解之得：且，
实数的取值范围：
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