2024-2025学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年宁夏吴忠市青铜峡市宁朔中学高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点和点的直线的斜率为( )
A. B. C. D.
2.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在椭圆上，则的周长为( )
A. B. C. D.
3.为坐标原点，为抛物线：的焦点，为上一点，若，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
4.已知直线：经过椭圆的两个顶点，则椭圆的一个焦点为( )
A. B. C. D.
5.已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，则此双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
6.的两个顶点为，，周长为，则顶点的轨迹方程为( )
A. B.
C. D.
7.如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点直线到平面的距离为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知，分别为双曲线的左、右焦点，过与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线于点，若，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列关于双曲线的判断，正确的是( )
A. 顶点坐标为 B. 焦点坐标为
C. 实轴长为 D. 渐近线方程为
10.若方程所表示的曲线为，则( )
A. 曲线可能是圆 B. 若为椭圆，且焦点在轴上，则
C. 若，则为椭圆 D. 当时，表示焦点在轴上的椭圆，焦距为
11.已知抛物线：的焦点到准线的距离是，直线过它的焦点且与交于，两点，为弦的中点，则下列说法正确的是( )
A. 抛物线的焦点坐标是
B.
C. 若，则
D. 若以为圆心的圆与的准线相切，则是该圆的一条直径
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.以坐标原点为顶点，为焦点的抛物线的方程为______．
13.椭圆的离心率为，则 ．
14.已知，分别是离心率为的椭圆的左、右焦点，是上一点且，若的面积为，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，已知直线：和椭圆：为何值时，直线与椭圆：
有两个公共点？
有且只有一个公共点？
没有公共点？
16.本小题分
古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数且的点的轨迹是圆后入将这个圆称为阿波罗尼斯圆在平面直角坐标系中，，，动点满足，设动点的轨迹为曲线．
求曲线的轨迹方程；
若直线与曲线交于，两点，求．
17.本小题分
已知椭圆的左焦点为，离心率为，且经过点．
求的方程；
已知是椭圆内一点，过点任作一条直线与椭圆交于、两点，求以为中点的弦所在的直线方程．
18.本小题分
过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于，两点，为坐标原点，为左焦点．
求；
求的面积；
求证：
19.本小题分
已知焦点为的抛物线：经过点．
Ⅰ设为坐标原点，求抛物线的准线方程及的面积；
Ⅱ设斜率为的直线与抛物线交于不同的两点，，若以为直径的圆与抛物线的准线相切，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
20.本小题分
焦距为的椭圆，如果满足，则称此椭圆为“等差椭圆”．
如果椭圆是等差椭圆，求的值；
对于焦距为的等差椭圆，点，分别为椭圆的左、右顶点，直线交椭圆于，两点，异于，，设直线，的斜率分别为、，是否存在实数，使得，若存在，求出，不存在说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.或
14.
15.解：由方程组，
消去，得，
方程的根的判别式
由，得，此时方程有两个不相等的实数根，直线与椭圆有两个不同的公共点．
由，得或，此时方程有两个相等的实数根，直线与椭圆有且只有一个公共点．
由，得或，此时方程没有实数根，直线与椭圆没有公共点．
16.解：在平面直角坐标系中，，，动点满足，
设动点的轨迹为曲线，
设，因为，所以，
即，整理得，
所以曲线的轨迹方程为；
直线与曲线交于，两点，
曲线的圆心到直线的距离，
所以．
17.解：椭圆的左焦点为，离心率为，且经过点，
，解得，
椭圆方程为；
根据题意易知所求弦的斜率存在且不为，可设弦的斜率为．
因为在椭圆内，故直线与椭圆一定有两个交点，
设两个交点为，，
则，，
，
是的中点，，，
，
，
，
中点弦的方程为，即为．
18.解：由双曲线的方程得，，
，，．
直线的方程为．
设，，由得．
，．
．
解：直线的方程变形为．
原点到直线的距离为．
．
证明：如图，
由双曲线的定义得：
，，
，
即
19.解：Ⅰ因为抛物线过点，
所以，即．
故抛物线的方程为，焦点，准线方程为．
所以．
Ⅱ设直线的方程为．
由化简可得．
根据，求得．
设，，
则由韦达定理可得，．
设的中点为，则到准线的距离，
根据弦长公式可得
依题意，以为直径的圆与抛物线的准线相切，故有，
即，
整理得，
解得，且满足．
所以直线过定点．
20.解：因为椭圆是等差椭圆，
所以，所以，
又，
所以，
化简得；
由且，可知，，，，，
所以椭圆方程为，
联立直线，得，
设，，
则，，
，，
，
，
把代入，
得，
所以存在实数，使得．
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