2024-2025学年陕西省汉中市普通高中十校联盟高二上学期期末考试数学试卷（含答案）

2024-2025学年陕西省汉中市普通高中十校联盟高二上学期期末考试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.
直线的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.阅读课上，名同学分别从种不同的书中选择一种进行阅读，不同的选法种数是( )
A. B. C. D.
3.设向量，，，且，则等于( )
A. B. C. D.
4.“”是“方程表示椭圆”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5.已知与是两条不同的直线，若则( )
A. B. 或 C. 或 D. 或
6.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
7.如图，在平行六面体中，为与的交点，是的中点，若，，，则表示向量正确的是( )
A. B.
C. D.
8.椭圆：的左、右焦点分别为，，若椭圆上恰有个不同的点，使得为直角，则的离心率的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若直线的方向向量为，平面的法向量为，则
B. 对空间任意一点和不共线三点，若，则四点共面
C. 空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面
D. 已知，若与的夹角为钝角，则
10.某校文艺汇演共个节目，其中歌唱类节目个，舞蹈类节目个，语言类节目个，则下列说法正确的是( )
A. 若以歌唱类节目开场，则有种不同的出场顺序
B. 若舞蹈类节目相邻，则有种出场顺序
C. 若舞蹈类节目不相邻，则有种不同的出场顺序
D. 从中挑选个不同类型的节目参加市艺术节，则有种不同的选法
11.如图所示，在棱长为的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是( )
A. 直线与所成的角为
B. 三棱锥的体积为
C. 直线与是平行直线
D. 平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.抛物线的焦点到准线的距离是 ．
13. 的展开式中的常数项为 ．
14.如图，在直三棱柱中，为
线段的中点，为线段上一点，则面积的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆过点．
求圆的标准方程；
已知直线过原点，倾斜角为，求直线被圆截得的弦长．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，，是棱的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，点到抛物线的准线的距离为．
求抛物线的方程；
若的面积为，求直线的方程．
18.本小题分
图是边长为的正方形，将沿折起得到如图所示的三棱锥，且．
证明：平面平面；
棱上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，轴，垂足为点，点在的延长线上，且当点在圆上运动时，点的轨迹为．
求点的轨迹的方程；
当时，点的轨迹方程记为．
若动点为轨迹外一点，过点作轨迹的切线，两条切线互相垂直，记点的轨迹方程为，试判断与圆是否存在交点？若存在，求出交点的坐标；若不存在，请说明理由；
轨迹的左右顶点分别记为，圆上有一动点，在轴上方，，直线交轨迹于点，连接，，设直线，的斜率存在且分别为，，若，求的取值范围
参考答案
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15.解：设圆的方程为，
则
所以圆的方程为，化为标准方程为．
由题意可知：直线为，即，
圆的圆心坐标，半径，
设圆心到直线的距离为，则，
故直线被阴截得的弦长．
16.解：证明：连接交于点，连接，
因为四边形为正方形，所以为的中点，
又因是棱的中点，所以，
又平面，平面，
所以平面；
如图，以点为原点建立空间直角坐标系，
则，，，，
故，，
设平面的法向量为，
则有，可取，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：由抛物线，得其准线方程为，
因为点到准线的距离为，
所以，解得，
所以抛物线的方程为；
由得，
设直线的方程为，
联立，消去得，
设，，
由韦达定理知，，
所以，
因为，所以到直线的距离，
所以的面积，
所以，解得，
所以直线的方程为或．
18.解：证明：取的中点，连接，
易得，，并且
在中，，
所以，
因为平面，
所以平面
而平面，
所以平面平面；
存在点，当时，满足题意，理由如下：
因为两两垂直，所以建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
因为平面，
所以平面的法向量为
假设存在满足题意的点，且，
则，，
设平面的法向量为，
则有，不妨设，得，
所以，
两边平方，整理得，即，
解得或舍，
经检验，满足题意，
因此，存在点，点为线段靠近的三等分点．

19.解： 设点，点的坐标分别为 ， ，
由已知 ，且点在的延长线上， ， ，
又 轴， ， ，即 ，
，代入可得点的轨迹方程
当 时， 的方程为 ，
当切线的斜率存在时，设 ，斜率为，则切线方程为 ，
由切线与 的方程 联立，消去得
，
由 ，
设两条切线得斜率为 ， ，根据题意 ， ，即 ，
当两条切线的一条斜率不存在时，此时点坐标为 ， 符合 ，
所以，点的轨迹方程 为 ，
则该方程与圆 是内含关系，所以无交点
设点坐标为 ，由题意得点 ，点 ，
则直线方程为 ，联立 得
，
由 ， ，
点在轴上方， ，
，
若 即 ，则 ，即直线的斜率不存在，矛盾舍去，
且 ，
且 ，
故的范围为
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