2024-2025学年上海市嘉定一中高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市嘉定一中高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知直线与圆：相交于，两点，则( )
A. B. C. D.
2.下列不等式：
；
；
；
．
解集为的不等式的个数是( )
A. B. C. D.
3.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，，，，，面，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
4.已知点为椭圆：上任意一点，直线过：的圆心且与交于，两点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知，则的值为______．
6.函数的单调递增区间为______．
7.若复数满足其中为虚数单位，则的最小值为______．
8.若命题：“，”为假命题，则实数的取值范围为______．
9.如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上，且，正方体的六个面所在的平面与直线，相交的平面个数分别记为，，那么______．
10.若，则满足的的取值范围是______．
11.无穷数列满足，，则数列的所有项和 ______．
12.设是椭圆的长轴，点在上，且，若，，则的离心率为______．
13.已知数列的前项和为，且满足，则 ______．
14.直线：与曲线：有二个不同的公共点，则的取值范围是______．
15.如图所示，四面体的体积为，点为棱的中点，点为线段上靠
近的三等分点，点为线段上靠近的三等分点，过点的平面与棱，，
分别交于，，，设四面体的体积为，则的最小值为______．
16.数学家斐波那契有段时间痴迷于研究有趣的数列问题，意外发现了一个特殊的数列：，，，，，，，从第项起，每一项都等于它前面两项之和，即，，后人把这样的数列称为“斐波那契数列”若，则 ______
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，在棱长为的正方体中，，分别为线段，的中点．
求点到平面的距离；
求直线与平面所成的角．
18.本小题分
设等差数列的前项和为，且．
若，求数列的通项公式；
若，且是数列中最大的项，求所有可能的值．
19.本小题分
空间四面体中，已知，，，，．
求的长；
已知点在线段上运动，求的最小值．
20.本小题分
已知椭圆：的左右焦点分别为，，上顶点为，长轴长为，若为正三角形．
求椭圆的标准方程；
过点，斜率为的直线与椭圆相交，两点，求的长；
过点的直线与椭圆相交于，两点，，求直线的方程．
21.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求的值域．
Ⅱ若在上单调递增，求实数的取值范围．
Ⅲ若在函数的定义域内存在，使得成立，则称为局部对称函数，其中为的图象的局部对称点若是的图象的局部对称点，求实数的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
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13.
14.
15.
16.
17.解：在正方体中，为线段的中点，
所以平面，且，
因为是线段的中点，所以，
故三棱锥的体积，
因为，分别为线段，的中点，所以，
又因为，，
所以在中满足，故为直角三角形，
则，设点到平面的距离为，
则，解得，
因此点到平面的距离为．
建立如图所示：
以为坐标原点，直线、、分别为、、轴的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，，
设平面的法向量为，
则，则，即，
令，解得，
所以，
设直线与平面所成角为，
所以，
所以．
18.解：根据题意，设等差数列的公差为，
若，，
则，解得，
所以；
根据题意，等差数列中，，
即，变形可得，
由于是数列中最大的项，
所以，则，
所以，即，
解得，
由于是整数，所以的可能取值是，，．
19.解：由题意，在中，，，，
所以，，
则，
由正弦定理，得，解得；
由题意及可知，把空间四边形沿展开成平面四边形，
此时的最小值为线段此时点为线段与的交点，
因为，故，
则，
由余弦定理，可得，
所以，即．
20.解：由长轴长为，，，
再由为正三角形，为上顶点，可得，
，解得，，
所以椭圆的方程为：；
由可得上焦点，
由题意可设直线的方程为：，设，，
联立，整理可得，
可得，，，
所以弦长；
当直线的斜率为时，则过的直线为轴，可得，为长轴的顶点，
因为，设，，，则，，
显然，所以设直线的方程为，
设，，
联立，整理可得：，
可得，，
因为，即，
可得，即，代入，可得，，
再代入，可得，解得：，
可得，
所以直线的方程为．
21.解：Ⅰ当时，，
令，则，，
所以的值域为；
Ⅱ令，，则，，
因为在上单调递增，
所以要使在上单调递增，
只需在上单调递增，
当时，在上单调递减，不符合题意；
当时，的图象开口向下，对称轴为，不符合题意；
当时，则需，解得，
所以实数的取值范围是；
Ⅲ因为是的图象的局部对称点，
可得，，
代入整理得，
令，则，，
代入式得，，
当时，函数和均单调递增，
所以在上单调递增，
所以，
所以
所以实数的取值范围为．
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