2024-2025学年上海市浦东新区高一上学期期末教学质量检测数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市浦东新区高一上学期期末教学质量检测数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如果，那么下列不等式中成立的是( )
A. B. C. D.
2.已知，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
3.如图，等腰直角三角形中，，在边上任取一点，过作斜边的垂线交于，则当点按的方向移动时，图中阴影部分的面积随的长度变化的函数关系的图象是( )
A. B.
C. D.
4.已知，则下列结论错误的是( )
A. 不等式的解集为
B. 函数的图象关于点对称
C. 若、为实数，且，则
D. 若、为实数，且，则
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.集合的子集的个数为 ．
6.函数 的 定义域为
7.已知陈述句或，则的否定形式为
8.已知函数的表达式为 ，则 ．
9.已知，用有理数指数幂的形式表示 ．
10.已知，，且，则的最大值为
11.若关于的不等式的解集是，则实数的取值范围是 ．
12.若幂函数为整数的定义域为，则的值为 ．
13.已知，，则 结果用，表示
14.如果函数 在区间上是严格增函数，那么实数 的取值范围为 ．
15.若关于的不等式 恒成立，则实数的取值范围为 ．
16.已知集合，其中若存在正数，使得对任意，都有，则的值是 ．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知集合 ，集合 ，求 ．
18.本小题分
已知 是常数，设 是二次方程 的两个实根．
求 的值；
当 取到最小值时，求 的值．
19.本小题分
已知函数的表达式为．
判断函数的奇偶性，并说明理由；
用定义证明：函数在区间上是严格减函数．
20.本小题分
某校为了鼓励学生利用业余时间阅读名著，预备制定一个每日阅读考核评分制度，建立一个每日得分单位：分与当日阅读时间单位：分钟的函数关系要求如下：
函数的部分图象接近图示；
每日阅读时间为分钟时，当日得分为分；
每日阅读时间为分钟时，当日得分为分；
每日阅读时间设置上限，最多得分不超过分．
现有以下三个函数模型供选择：
；
；
．
请你根据函数图象性质，从中选择一个合适的 函数模型，不需要说明理由；
根据你对的判断以及所给信息，写出合适函数模型的解析式；
若该校要求每日的得分不少于分，问每日至少阅读名著多少分钟？结果精确到整数．
21.本小题分
若函数满足：在定义域内存在，使得成立，则称函数为“函数”．
若，问是否为“函数”，请说明理由；
若，问是否为“函数”，请说明理由：
若，且是“函数”，则求实数的取值范围．
参考答案
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17.【详解】因为，
所以或，即，
因为，
所以，
所以，．

18.【小问详解】
因为 有两个根，
所以 ，
，
即 ，解得 或 ，
由韦达定理，得 ， ，
【小问详解】
设抛物线方程 ，定义域为或 ，
开口向上，抛物线的 对称轴 ，
当 时，函数严格减函数，即在 上是严格减函数，
时，函数为严格增函数，即在上是严格增函数，
当时，取最小值即 取最小值．

19.【小问详解】
函数的定义域为不关于原点对称，
所以既不是奇函数也不是偶函数．
【小问详解】
任取
则
，
因为所以，
所以，即，
所以函数在区间上是严格减函数．

20.【小问详解】
根据题意可得应选择增加速度为先快后慢的增长模型，
所以选对数型模型，故选；
【小问详解】
由题意及可知，在上，
所以，解得，，
所以，
令，可得，解得，
所以函数的解析式为
；
【小问详解】
令，可得，
即，解得，
所以每天得分不少于分，至少需要阅读分钟．

21.【小问详解】
若函数为“函数”，
则，得，明显不成立，
所以不为“函数”．
【小问详解】
若存在满足条件，即，
则，整理可得，
设，则函数在上为增函数，
因为，，所以，，
由零点存在定理可知，存在，使得，
故函数为“函数”．
【小问详解】
由条件得，
令，可得，整理可得，
所以关于的方程有正根，
则，可得，解得或，
设方程的两根分别为、，则，
且，解得，
综上所述，实数的取值范围是．

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