2024-2025学年上海市松江区高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市松江区高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在二十四节气中，冬季的节气有立冬、小雪、大雪、冬至、小寒和大寒，则“甲出生在冬至”是“甲出生在冬季”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
2.用反证法证明命题：“对于三个实数、、，若，则或”时，提出的假设正确的是( )
A. 且 B. 或 C. D.
3.已知函数满足：对任意，，都有，且在用二分法寻找零点的过程中，依次确定了零点所在区间为，，又，则函数的零点是( )
A. B. C. D.
4.根据经济学理论，企业产量受劳动投入、资本投入和技术水平的影响若用表示产量，表示劳动投入，表示资本投入，表示技术水平，则它们的关系可以表示为，其中，，，，当不变，与均变为原来的倍时，有关于的两个命题：
存在和，使得变为原来的倍；
若，则最多可变为原来的倍．
则下列说法正确的是( )
A. 都是真命题 B. 是真命题是假命题
C. 是假命题是真命题 D. 都是假命题
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.已知集合，，则 ______．
6.经过化简，可得恒等式其中，，则 ______．
7.函数的定义域是______．
8.函数的最小值是______．
9.已知是定义域为的奇函数，当时，，则 ______．
10.已知常数且，假设无论取何值，函数的图像恒经过一个定点，则此点的坐标
是______．
11.已知，则 ______．
12.已知幂函数在上是严格减函数，则实数 ______．
13.若关于的不等式有解，则实数的取值范围是______．
14.已知函数的表达式是，则满足的实数的最大值是______．
15.如图，已知，是函数图象上的亮点，是函数图象上的一点，且直线垂直于轴，若是等腰直角三角形其中为直角顶点，则点的横坐标为________．
16.同构式通俗讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式已知实数、满足，则 ______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知关于的一元二次方程的两个根为、，其中，且．
求实数的值；
求和的值．
18.本小题分
设全集，集合，，．
求图中阴影部分表示的集合；
在；；这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围．
19.本小题分
某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量经测算，企业拟安装一种新的污水净化设备这种净水设备的购置费单位：万元与设备的占地面积单位：平方米成正比，比例系数为预计安装后该企业需缴纳的总水费单位：万元与设备占地面积之间的函数关系为将该企业的净水设备购置费与安装后需缴水费之和合计为单位：万元．
要使不超过万元，求设备占地面积的取值范围；
设备占地面积为多少平方米时，的值最小，并求出此最小值．
20.本小题分
已知函数是定义域为的奇函数，且．
求函数的表达式；
判断函数在上的单调性，并用定义证明；
设函数，若对任意的，存在，使得成立，求实数的取值范围．
21.本小题分
对于函数，若存在实数对，使得等式对定义域中的任意都成立，则称函数是“型函数”．
判断函数是否是“型函数”；
若函数其中、为常数，且是“型函数”，且存在满足条件的实数对，求实数、满足的关系式；
若定义域为的函数是“型函数”，且存在满足条件的实数对和，当时，的值域为，求当时，函数的值域．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.或
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：由题意可得，恒成立，
则，，
所以，
因为，
所以；
，，
，
．
18.解：根据题意可得，，
图中阴影部分表示的集合；
选，则，
或，
解得或，
实数的取值范围为；
选，则，
或，
解得或，
实数的取值范围为；
选，则，
或，
解得或，
实数的取值范围为．
19.解：由题意得，
令即，
整理得：，
即，解得，
所以设备占地面积的取值范围为；
，由基本不等式得
，
当且仅当，即时等号成立，
所以设备占地面积为时，的值最小，最小值为万元．
20.解：因为是定义域为的奇函数，且，
所以，解得，
所以；
函数在上单调递增，证明如下：
任取，，且，
则
，
因为，
所以，，
所以，
即，
所以，
所以函数在上单调递增；
由得，
若对任意的，存在，使得成立，
则，
由得在上单调递增，
所以，
存在，成立，
即，
若，则在上为增函数，
所以，
所以；
若，则，此时符合题意；
若，则在上为减函数，
所以，所以符合题意；
综上可知：，
即实数的取值范围是：．
21.解：对于函数，
对定义域中的任意不可能恒成立，
因此函数不是“型函数”；
对于函数，
，
故存在实数对，使对定义域中的任意都成立，
因此函数是“型函数”．
因为函数其中，为常数，且是“型函数”，
且存在满足条件的实数对，
所以对定义域中的任意都成立，
则，
所以且，所以．
定义域为的函数是“型函数”，
且存在满足条件的实数对和，
，且，
由，用替换可得，
当时，的值域为，
当时，，，
，
当时，，即
由，用替换可得，
又，，则，
用替换可得．
当时，，，，
当时，，，，
依次类推可知，当，时，，
当时，，
当时，，
当时，，
，
，
综上可知，当时，函数的值域为
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