2024-2025学年天津市第一百中学、实验滨海中学高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市第一百中学、实验滨海中学高二（上）期末
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.过点和点的倾斜角为( )
A. B. C. D.
2.抛物线的准线方程为( )
A. B. C. D.
3.如图，在四面体中，，点为的中点，，则( )
A.
B.
C.
D.
4.现有茶壶九只，容积从小到大成等差数列，最小的三只茶壶容积之和为升，最大的三只茶壶容积之和为升，则从小到大第只茶壶的容积为( )
A. 升 B. 升 C. 升 D. 升
5.已知双曲线：的焦点到渐近线的距离为，实轴长为，则的方程为( )
A. B. C. D.
6.为坐标原点，为抛物线：的焦点，为上一点，若，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
7.圆关于直线对称，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.若点在椭圆：上，，分别为椭圆的左右焦点，且，则的面积为．
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知双曲线：的实轴长是虚轴长的倍，则下列关于双曲线的说法正确的是( )
A. 实轴长为 B. 虚轴长为 C. 焦距为 D. 离心率为
10.已知数列的前项和为，且，下列说法正确的有( )
A. 数列是等差数列 B.
C. 数列是递减数列 D. 数列是递增数列
11.已知抛物线：，为其焦点，直线：与抛物线交于，两点，则下列说法正确的是( )
A. 直线过焦点
B. 当时，，两点横坐标的和为
C. 当时，直线截抛物线所得的弦长为
D. 以为直径的圆与相切
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.记为等差数列的前项和．若，则公差______．
13.若数列的前项和公式为，则的通项公式为______．
14.如图，在正三棱柱中，，则与所成角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知平面内的动点与两个定点，的距离的比为，记动点的轨迹为曲线，求曲线的方程，并说明其形状．
16.本小题分
已知数列为等差数列，，；数列是公比为的等比数列，，．
求数列，的通项公式；
求数列的前项和．
17.本小题分
已知圆的圆心坐标为，与直线交于，两点，且．
Ⅰ求圆的标准方程；
Ⅱ求过点的圆的切线方程．
18.本小题分
如图，在四棱锥中，，，，，平面平面，为中点．
证明：平面；
求平面与平面夹角的余弦值；
线段上是否存在一点，使平面？如果不存在，请说明理由；如果存在，求的值．
19.本小题分
已知中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点，，，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为：．
求这两条曲线的方程；
求曲线以点为中点的弦所在直线的方程；
若为两条曲线的交点，求的余弦值．
参考答案
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15.解：设，平面内的动点与两个定点，的距离的比为，
，
，
化简得；
曲线是以为圆心，半径为的圆．
16.解：设等差数列的首项和公差分别为：，分
分
解得，分
分
，，
分
分
分
分
分
17.解：由题意圆心为，直线，
所以圆心到直线的距离，
又因为，设圆的半径为，
根据勾股定理，
所以，
解得，
所以原的标准方程为；
易知点不在圆上，
当所求切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
由圆心到切线的距离等于半径得，
解得，
所以所求切线的方程为；
当所求切线的斜率不存在时，
切线方程为；
综上，所求切线的方程为或．
18.证明：因为，为中点，所以，
又平面平面，平面平面，平面，
所以平面．
解：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，平行于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
所以，
设平面的法向量为，则，
令，可得，
易知平面的一个法向量为，
所以，，
所以平面与平面夹角的余弦值为．
解：由知平面的法向量为，
设，，则，
若平面，则，
所以，解得，
所以，
所以，
故存在点，使平面，此时．
19.解：中心在原点，焦点在轴上的椭圆与双曲线有共同的焦点，，
，的长半轴与的实半轴之差为，离心率之比为：．
设椭圆方程为，
双曲线方程为，．
则，解得，，则，，
因此，椭圆方程为，双曲线方程为．
曲线以点为中点的弦的两端点分别为、，
由中点坐标公式可得，，
若轴，则线段的中点在轴上，不合乎题意，
因为，这两个等式作差可得，
所以，，可得，
所以，直线的方程为，即，
检验：联立可得，则，合乎题意，
因此，曲线以点为中点的弦所在直线的方程为．
不妨设、分别为两曲线的左、右焦点，是两曲线在第一象限的交点，
设，，由椭圆的定义可得，
由双曲线的定义可得，
解得，，
在中，由余弦定理可得．
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