2024-2025学年天津市西青区高二（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年天津市西青区高二（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知空间向量，，且，则( )
A. B. C. D.
2.已知直线的斜率为，且在轴上的截距为，则的方程为( )
A. B. C. D.
3.已知双曲线：的焦距为，实轴长为，则的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
4.已知圆，圆，则两圆的位置关系是( )
A. 相离 B. 相交 C. 内切 D. 外切
5.已知等差数列中，，，且，则( )
A. B. C. D.
6.已知抛物线上一点到焦点的距离为，则其焦点坐标为( )
A. B. C. D.
7.设等比数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
8.在四棱锥中，底面是正方形，为中点，若，，，则( )
A. ； B.
C. D.
9.已知平行于轴的直线与双曲线：的两条渐近线分别交于、两点，为坐标原点，若为等边三角形，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
10.数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间距离的几何问题若曲线，且点，分别在曲线和圆：上，则，两点间的最大距离为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
11.已知直线：，：，若，则实数 ______．
12.经过，的方向向量为，则 ______．
13.已知双曲线上一点到双曲线的一个焦点的距离为，则到另一个焦点的距离为______．
14.已知圆和圆，则两圆公共弦所在直线的方程为______；公共弦长______．
15.已知数列的通项公式为，数列是以为首项，为公比的等比数列，则 ______．
16.下列四个命题中．
若数列的前项和为满足，则是等比数列且通项公式为；
抛物线上两点，且为原点，则；
椭圆左，右焦点分别是，，左，右顶点分别，，点是椭圆上异于，的任意一点，则直线与直线的斜率之积为；
与两圆和都外切的圆的圆心的轨迹为双曲线．
其中正确命题序号为______写出所有的正确答案
三、解答题：本题共4小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知圆的方程为：．
若直线：与圆相交于，两点，且，求实数的值；
过点作圆的切线，求切线方程．
18.本小题分
如图所示的几何体中，四边形为矩形，平面，，，，点为棱的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
19.本小题分
已知等比数列的公比大于，，，等差数列满足，．
求数列，的通项公式；
求数列的前项和．
20.本小题分
已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点距离的最小值为．
求椭圆的标准方程；
设直线：与椭圆交于两个不同点，，直线与轴交于点，直线与轴交于点，若，求证：直线经过定点．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.或
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：圆的方程为：，
则圆的圆心为，半径为，
直线：与圆相交于、两点，且，
则，
解得或．
当切线的斜率不存在时，直线，与圆相切，
切线的斜率存在时，可设切线为，即，
由切线的定义可知，，解得，
故切线方程为，
综上所述，切线方程为或．
18.证明：连接，交于点，
由，分别为和的中点，得，
而平面，平面，所以平面；
解：由直线平面，，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，
建立直角坐标系，
则，，，，
由题意可得，，，，，
设平面的法向量，则，
令，得，
，，，
设直线与平面所成角的正弦值，
则；
解：，，
设平面的法向量为，
则，即，令，
可得平面的一个法向量，
，，，
所以点到平面的距离．
19.解：等比数列中，公比，，，
所以，解得或不合题意，舍去，
所以，；
．
等差数列中，，，所以数列的通项公式；
求数列的前项和，
所以，
得，
所以．
20.解：易知圆的标准方程为，其圆心为，
因为椭圆的左焦点为圆的圆心，
所以，
即，
因为椭圆上的点到点的距离的最小值为，
所以，
解得，
则，
故椭圆方程为；
证明：设，，
直线的方程为，
令，
解得，
即，
同理得，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
此时
，
解得，
此时满足．
故直线经过定点．
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