2024-2025学年浙江省杭州七中高二（上）期末数学试卷（文科）（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州七中高二（上）期末数学试卷（文科）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足其中为虚数单位，则( )
A. B. C. D.
2.若数列是等差数列，且，，则( )
A. B. C. D.
3.直线的斜率是( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，是的中点，若，则( )
A.
B.
C.
D.
5.已知，是平面内两点，且，判断当点满足下列哪个条件时其轨迹不存在( )
A. B.
C. D.
6.若直线：与直线：平行，则的值为( )
A. B. C. 或 D. 或
7.设椭圆的两焦点分别为，，以为圆心，为半径的圆与交于，两点．若为直角三角形，则的离心率为( )
A. B. C. D.
8.已知，是双曲线的两个焦点，是双曲线左支上的一点，且，与两条渐近线相交于，两点若点恰好平分线段，则双曲线的焦距为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.甲、乙两人在相同的条件下各打靶次，每次打靶的情况如图所示，则以下说法正确的是( )
A. 甲、乙两人打靶的平均环数相等 B. 甲的环数的中位数比乙的大
C. 甲的环数的众数比乙的大 D. 甲打靶的成绩比乙的更稳定
10.设直线：与圆：，则下列结论正确的为( )
A. 与可能相离 B. 不可能将的周长平分
C. 当时，被截得的弦长为 D. 被截得的最短弦长为
11.已知抛物线的焦点为，过原点的动直线交抛物线于另一点，交抛物线的准线于点，下列说法正确的是( )
A. 若为线段中点，则 B. 若，则
C. 存在直线，使得 D. 面积的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.双曲线的渐近线方程为______．
13.设为数列的前项和，若，则的最小值为______．
14.已知点在直线上，点，，则当的周长取得最小值时，点的坐标为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知圆：与轴相切．
Ⅰ直接写出圆心的坐标及的值；
Ⅱ直线：与圆交于两点，，求．
16.本小题分
为了解某市区高中学生的阅读时间，从该市区随机抽取了名学生进行调查，得到了这名学生一周的平均阅读时间单位：小时，并将样本数据分成九组，绘制成如图所示的频率分布直方图．
求的值；
若周平均阅读时间的平均数和中位数均超过小时，则认为该市区高中生阅读量达标以样本估计总体试判断该市区高中生阅读量是否达标？
为进一步了解这名学生阅读时间的分配情况，从周平均阅读时间在，，三组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取两人，求这两人周平均阅读时间均在内的概率．
17.本小题分
如图，四边形为矩形，平面平面，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的大小．
18.本小题分
已知椭圆的离心率为，右焦点为，点，且．
求椭圆的方程；
过右焦点，且斜率为的直线与椭圆交于，两点，求．
过点的直线不与轴重合交椭圆于点，，直线，分别与直线交于点，，求的大小．
19.本小题分
已知数列：，，，具有性质：对任意，，与两数中至少有一个是该数列中的一项，为数列的前项和．
分别判断数列，，与数列，，，是否具有性质；
证明：，且；
证明：当时，，，，，成等差数列．
参考答案
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15.解：Ⅰ圆：与轴相切，
则圆心的坐标为，半径；
Ⅱ圆心到直线的距离，
故．
16.解：根据题意可得，解得；
根据题意可得平均数的估计值为：
，
前几组的频率依次为，，，，，
中位数的估计值为：，
以样本估计总体可估计该市区高中生阅读量达标；
在，，三组内的频率之比为：：：：，
采用分层抽样的方法抽取了人中，在，，中分别抽取的人数为，，，
从这人中随机抽取两人一共有种抽法，
又所抽选的两人周平均阅读时间均在内有种抽法，
所求概率为．
17.证明：法：因为，，
所以，又，
因为，所以，
因为四边形为矩形，所以，
因为平面平面，且平面平面，平面，
所以平面，
因为平面，所以，
因为，，平面，
所以平面；
法：因为平面平面，且平面平面，
且平面，，
所以平面，平面，
所以，
由，，两两垂直，则以，，所在直线分别为，，轴建立空间直角坐标系，
，，，，，，
，
由，可得，，
因为，，平面，
所以平面；
解：结合上问可知：，
设平面的法向量为，
则，，
即，令，则，，
即，
因为，
设所求角的大小为，
，，，
，，
所以，．
故直线与平面所成角的大小为．
18.解：因为椭圆的离心率为，，
所以，
解得，，，
则椭圆的方程为；
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得，
由韦达定理得，，
所以
；
当直线的斜率不存在时，
可得，，，，，
此时，，
所以，
即，
当直线的斜率存在时，
设直线得方程为，，，，
联立，消去并整理得，
此时，
由韦达定理得，．
直线的方程为．
令，
解得，
即，
同理得，
所以，，
因为
，
所以．
综上所述，．

19.解：由于，，所以数列，，不具有性质；
，；，；，；，；，；，，
六组数中，每一组至少有一个数属于，所以数列，，，具有性质．
由数列：，，，具有性质，
则与中至少有一个属于，
又，，则，于是，即；
由具有性质可知，，
因此，
即，，，，，
上边个式子累加得：，
则，所以．
由知，，，则，
而不是数列中的项，则是数列中的项，
于是，则有，
因此，
所以数列，，，，是以为首项，公差为的等差数列．
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