2024-2025学年浙江省杭州市高一上学期期末学业水平测试数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省杭州市高一上学期期末学业水平测试数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设全集为，，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，为第二象限角，则( )
A. B. C. D.
3.已知，则( )
A. B. C. D.
4.幂函数的图象过点，则函数的值域是( )
A. B. C. D.
5.函数的图象大致为( )
A. B.
C. D.
6.若函数的定义域为，值域为，则等于( )
A. B. C. D.
7.某学校生物兴趣小组同学自制生态瓶，根据水中的生物种类数与生物个体总数研究生态瓶水质，设立生物丰富度指数作为生态瓶水质评价指标生物丰富度指数越大，水质越好若经过老师指导调整以后生态瓶生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则( )
A. B. C. D.
8.在下列区间中，函数不存在零点的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下结果正确的是( )
A. B. 若，则
C. D.
10.下列命题正确的是( )
A. 不存在函数、满足定义域相同，对应关系相同，但值域不同
B. 命题“，”的否定是“，
C. 已知，是第一象限角，则“”是“”的充要条件
D. 三个内角，，满足
11.已知函数，且，，则( )
A. 若，则对称轴方程为，
B. 若，则函数向左移动得到
C. 函数周期为，
D. 若在区间上单调，则最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.计算： ．
13.已知，，是直线与曲线最近的两个交点，且，则的值为 ．
14.已知函数满足：，，请写出一个你认为符合上述要求的函数 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数，，集合．
求
若，求，的值
若，求．
16.本小题分
已知定义在上的函数图象关于原点对称，且．
求的解析式
判断的单调性，并用定义证明
解不等式．
17.本小题分
在平面直角坐标系中，是坐标原点，角的终边与单位圆的交点为，射线绕点按逆时针方向旋转弧度后交单位圆于点，记点的纵坐标关于的函数为，终边对应角。
若，，求
对中，若，，求
若，的纵坐标为，的横坐标为，求．
18.本小题分
为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款设立优惠政策现有应届毕业大学生甲贷款开设某型号节能板销售公司，银行提供万元无息贷款作为启动资金，同时提供货款万元年利率为已知该企业每月运行成本为元，该节能板的进价为每件元，该店月销售量百件与销售价格元的关系如下图每段图象为直线段，，，．
请写出月利润关于的函数关系式
当节能板的价格为每件多少元时，月利润的余额最大并求最大余额．
该企业把所有利润积累起来，准备一次性还清所有贷款假设该企业每月销售情况不变，则该企业还清贷款至少需要几年参考数据：，，，
19.本小题分
一般地，设，分别为函数的定义域和值域，如果由函数可解得唯一也是一个函数即对任意一个，都有唯一的与之对应，那么就称函数是函数的反函数，记作在中，是自变量，是的函数习惯上改写成的形式比如：函数的反函数求法为：
第一步：反解：，
第二步：互换字母：
第三步：求定义域：易知原函数值域为，故反函数定义域为，反函数为．
记函数的反函数为，且有函数满足其中为自然对数的底数．
求函数，
若关于的不等式对恒成立，求实数的取值范围
若关于的方程有两根，，求的最小值．
参考答案
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15.解由可得，即
由知，，即，
因为，所以，
所以，，即
当，即时，，此时
当，即时，，此时
当，即时，，此时．
16.解：定义在上的函数图象关于原点对称，
为上的奇函数，
，解得；
，
又，故，
，满足，故为奇函数，图象关于原点对称，
即；
在上单调递增；证明如下：
令，
，
由，则，，，
，即在上单调递增；
由题意可得为奇函数，则有，，
又在上单调递增，则有，解得．
17.解：因为，且，点在第三象限，所以。
由于，知，即．
由于，得，与此同时，所以，所以，
由平方关系解得：，
所以，．
易知，，
由可知，，，，从而，．
由可知，可知，
从而，易知，故．
18.解：设该店月利润余额为，则由题设得
把
代人式得
当时，元，这时元，当时，元，这时元，
故当元时，月利润余额最大为元．
设可在第年还清，依题意有，解得，即最早可望在年后还清．
19.解：因为，所以，，
所以，所以，所以，
所以函数的反函数是。可知，．
由可证且，因此，
令，可知，即在上恒成立．
令，当，可知在上单调递增，，可知
当时，易知不符合当时，可知，
只需要且，即且，可知．
综上：或．
由可知：，即有两根，，
令，，，则有两根，，满足，，可知，．
因此，
令，再令，
则，，
易知当时，，故最小值为．
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