湖南省岳阳市2025届高三年级质量监测(一)数学试题（一模）（含答案）

湖南省岳阳市2025届高三年级质量监测(一)数学试题（一模）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.若函数为奇函数，则( )
A. B. C. D.
4.已知角顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，则它的终边过点，若将角的终边绕坐标原点顺时针旋转得到角，则( )
A. B. C. D.
5.将一个底面半径为，高为的圆锥形石材打磨成一个球，则该球表面积的最大值为( )
A. B. C. D.
6.甲乙两人参加一项户外挑战赛，该挑战赛设置了多道关卡，已知两人是否通过某道关卡是相互独立的，且两人中至少有一人通过当前关卡，才有资格同时进入下一关挑战，否则挑战结束已知在第一关中甲乙两人通过的概率分别为，，若两人有资格挑战第二关，则在第一关中，甲通过的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知椭圆，，分别为椭圆的左右焦点，离心率为，点为直线上的一点当的外接圆周长取最小值时，该圆的半径为( )
A. B. C. D.
8.已知函数，其导函数为，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的有( )
A. 的展开式中，的系数是
B. 的展开式中，各二项式系数和为
C. 从名男生，名女生中选名学生参加志愿者服务，表示参加志愿服务的男生人数，则
D. 有个不同的正因数
10.如下图，直线与函数的部分图象交于，，三点点在轴上，若，则下列说法正确的是( )
A.
B.
C. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象
D. 当时，
11.已知，是双曲线的左右焦点，过点的直线与双曲线的左右两支分别交于，两点，和的内切圆半径分别为，设点为的内心，的面积为，的面积为，的面积为，且，则下列说法正确的是( )
A. B. 双曲线的离心率
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则
13.已知数列满足，则
14.已知函数，若函数与的图象有且仅有三个交点，则实数的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别为的内角，，的对边，且，点为边的中点，若，且．
求
求的面积．
16.本小题分
已知抛物线的焦点为，点在直线上，，是抛物线上两个不同的点．
求抛物线的方程
设直线，的斜率为，，若，证明：直线过定点，并求定点坐标．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面底面，，底面为平行四边形，，，为边的中点，．
求证：
已知二面角的平面角等于，则在线段上是否存在点，使得到平面的距离为，若存在，指出点的位置若不存在，说明理由．
18.本小题分
已知函数，，
讨论函数的单调性
令，当时，求的极值点个数
令，当有且仅有两个零点时，求的取值范围．
19.本小题分
“外观数列”设各位上的数字均不为是指以下特点的整数序列：它以正整数开始，逐项地描述前一项的外观，将描述结果作为下一项．
比如外观数列为：
第一项：，
第二项：描述第一项为个，
第三项：描述第二项为个，个，
第四项：描述第三项为个，个，个，
第五项：描述第四项个，个，个．
求“外观数列”的第三项和第五项
若从“外观数列”中随机选取一个数列，求该数列第二项小于第一项的概率
证明：当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减．
参考答案
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15.
解：，利用正弦定理可得，
又，则，
又即，所以．
由为中点，可知，
即，
又，，
所以，
又，可得，
则的面积为
16.解：的焦点在轴上，为，
直线与轴的交点坐标为，
则，即，
所以抛物线为；
由题意可知所在直线斜率不为，
设，，
所在直线方程为，联立，
化简可得：，则，
，
又．．，
则，满足式，
即直线恒过点．
17.证明：，为边的中点，，
又在中，，，
由余弦定理可得，即，则，
又为平行四边形，所以，则，
又平面底面，
所以平面，
所以．
解：取的中点，又
所以，
又平面底面
所以底面
又，所以，
所以，，两两垂直．
如图，
以为坐标原点，以，，所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系：
，，，，
设，则，，，
设平面的法向量为
则，取，则，又平面的一个法向量为，
则，得，即
则平面的一个法向量为，
设，则，
则，
解得，
即为中点．
18. 的定义域为，，
当时，，在上单调递增，
当时，由，得，
由，得，
综上，当时，在上单调递增当时，在上单调递减，在上单调递增．
，，设的导数为，则，
当时，，时单调递减，时，单调递增，，
又时，，
所以分别在和上存在唯一的变号零点，即有两个极值点．
，
又，为一个零点，
若，则，在定义域内单调递增，又，所以只有一个零点；
若，，
令，，
又，则，即单调递增，；
当时，即，当时，，单调递减当时，，单调递增，的最小值为，函数只有一个零点；
当时，即，当时，，所以存在唯一，使得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增．又时，，所以有两个零点；
当时，即，当时，，所以存在唯一，使得，所以当时，，单调递减，当时，，单调递增，又时，，所以有两个零点．
所以，有且仅有两个零点时，或
19.【解答】解：第三项为，第五项为；
为一位数时，第项为两位数，不符合；
为两位数时，即为时，第二项为，当大于时第二项小于第一项，此时有个符合。当由两种不同的数字构成时，第二项为四位数，不符合；
为三位数时，即为时，第二项为，第二项小于第一项，此时有个符合。当由两种或三种数字构成时，第二项为四位数或六位数，不符合．
综上，总共有个数列符合，在所有数列中含的数有个，故总数为个，故第二项小于第一项的概率为．
证明：定义一个数列中连续相同若干个数字为一个数字串，数列中第项为．
若只有一个数字串，即，则。若，则为位数，若，则，，两种都不存在连续项单调递减．
若只有两个数字串，即，则
若，则至少三个数字串，至少是位数，，不存在连续项单调递减
若，此时，同理或，否则
若，则，当，时，，
当，时，，，两种都不存在连续项单调递减
若，则，，，
若，则，不符合题意
若，则，，此时，存在连续项单调递减
若只有三个数字串，即，，
若，则至少四个数字串，，不存在连续项单调递减；
当时，同理或，或；
若，，则，，，同理或，又时，，矛盾，
若，，与矛盾。若，，则，
，，同理或，又时，，矛盾，若，，，则，不存在连续项单调递减。同理可得，，和，不存在连续项单调递减．
若有四个以上数字串，则，不存在连续项单调递减所以当是六位数时，“外观数列”从首项开始最多连续项单调递减．
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