湖北省仙桃市2024-2025学年上学期九年级期末考试数学试题(PDF版，含答案)

仙桃市 2024年秋季学期期末质量监测
九年级数学试题
（本试题共 6页，满分 120分，考试时间 120分钟）
注意事项：
1、答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在答题卡上；并将“条形码”粘贴在答题卡指
定位置。
2、每道选择题的答案选出后，请用 2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑。如需改动，
先用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。非选择题的答案也应写在答题卡对应的区域内，
写在试卷上无效。
3、考试结束，请将本试卷和答题卡一并上交。
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 3分，满分 30分）
1．2025年 1月 5日，是二十四节气的小寒．二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能
反映季节的变化，指导农事活动．下面四幅图片分别代表“立夏”、“大雪”、“小寒”、“立
春”，其中是中心对称图形的是
A B C D
2．若方程 x2－（k－1）x+2＝0有一个根是 x＝－1，则 k的值是
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．下列事件中是必然事件的是
A．床前明月光 B．大漠孤烟直 C．黄河入海流 D．手可摘星辰
4．关于二次函数 y＝（x+2）2+6的图象，下列结论正确的是
A．开口向下 B．对称轴是 x＝2
C．与 y轴交于点（0，6） D．当 x＜－2时，y随 x的增大而减小
5．设 a，b是方程 x2+x－2024＝0的两个实数根，则 a2+2a+b的值为
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
6．汽车刹车后行驶的距离 S（单位：米）关于行驶时间 t（单位：秒）的函数关系式是 S＝6t
－t2，则该汽车从刹车到停止所用时间为
A．3秒 B．6秒 C．9秒 D．10秒
7．用半径为 30，圆心角为 120°的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径是
A．20 B．15 C．10 D．5
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8 k．如图，点 P是反比例函数 y （k≠0）的图象上任意一点，过点 P作 PM⊥x轴，垂足为
x
M，若△POM的面积等于 4，则 k的值等于
A．8 B．4 C．－4 D．－8
9．如图，△ABC内接于⊙O，连接 OA，OB．若 OA＝4，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为
A．π－2 B． 4π－4 C． 4π－8 D． 4π－4 2
（第 8题） （第 9题） （第 10题）
10． 如图，点 O是等边△ABC内一点，OA＝4，OB＝2，OC＝2 3，则△ABC的面积是
A．8 3 B．7 3 C．4 3 D．3 3
二、填空题（本大题共 5个小题，每小题 3分，满分 15分）
11． 在平面直角坐标系中，点 P（－4，5）关于原点的对称点 P ′ 的坐标是 ．
12． 三阶幻方，起源于中国，是古代劳动人民智慧的结晶．它是由 9 个数组成的一个 3×3
的方格，且每一横行，每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等．如图，是一个
残缺的幻方，根据图中已知的 3个数，可得 x＝ ．
6
x
5 10
（第 12题） （第 13题） （第 15题）
13． 如图，已知正方形二维码的边长为 3 cm，为了测算黑色部分的面积，在正方形区域内随
机掷点，经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在 0.6左右，由此可估计这
个正方形二维码图中的黑色部分的面积约为 cm2．
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14． 我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中记录了这样一个问题：“直田积八百六
十四步，只云阔与长共六十步，问阔及长各几步？”其大意是：矩形面积是 864平步，
其中宽与长的和为 60 步，问宽和长各几步？若设矩形的长为 x 步，根据题意可列方
程 ．
15． 抛物线 y＝ax2+bx+c的顶点为 A（2，m），且经过点 B（5，0），其部分图象如图所示．对
于此抛物线有如下四个结论：①abc＜0；②a－b+c＜0；③4a+b＝0；④若此抛物线经过
点 C（－2，n），则不等式 ax2+bx+c－n＜0的解集是－2＜x＜6．其中所有正确结论的序
号是 ．
三、解答题（本大题共 9个小题，满分 75分）
16．（6分）
解方程：（1）x2－6x－7＝0； （2）x（x－2）＝3x－6．
17.（6分）
某校开展数学趣味知识竞赛活动，要求参赛学生从 “A：幻方； B：数独； C ：魔方”
三个项目中选择 1~2个项目参加比赛．现将“A ”“ B ”“ C ”分别写在 3张无差别
的不透明的卡片正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，等候参赛选手随机抽取．
（1）小明同学选择一项参赛，他随机抽取一张卡片，恰好选中项目“A ”是
事件；（填“确定”或“随机”）
（2）小亮同学选择两项参赛，他随机一次性抽取两张卡片，求都没有抽到项目“ B ”的
概率．
18.（6分）
如图，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单
位长度，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标
A（－2，0），B（－5，－3），C（0，－5）都在格点上．
（1）若△ABC 平移后得到△A1B1C1，当 A1 的坐标为
（4,4），画出△A1B1C1，并写出 B1，C1的坐标；
（2）将△A1B1C1绕原点逆时针旋转 90°得到△A2B2C2，
画出△A2B2C2，并直接写出点 A2的坐标；
（3）求△A2B2C2的面积．
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19.（8分）
已知关于 x的一元二次方程 x2+（2m+1）x+m2－1＝0有两个不相等的实数根．
（1）求 m的取值范围；
（2）设 x1，x2是方程的两个根且 x12+x22+x1x2－6=0，求 m的值．
20.（8分）
如图，PA切⊙O于点 A，AB是⊙O直径，C是⊙O上一点，PA PC AB，连接 PO交 AC
于点 D．
（1）求证：PC是⊙O的切线； A
（2）若 BC 2，求 AB的长．
P D O
C B
21.（8分）
如图，已知一次函数 y1
m
ax＋b与反比例函数 y2 x 的图象在第一，第三象限分别交于
A(1,4), B(n, －1)两点，直线 AB与 y轴，x轴分别交于 C，D两点．
（1）求一次函数和反比例函数关系式； y
（2）比较大小： AD BC（填“＜”，“ ”或“＞” )；
（3）当 y1＞y2时，请直接写出 x的取值范围. A
C
D O x
B
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22.（10分）
根据以下素材，探索完成任务．
如何设计喷灌器喷水口的升降方案
随着自动化设备的普及，家庭庭院也引
入自动喷灌系统．图 1中某庭院内有一
个可垂直升降的草坪喷灌器，从喷水口
素 喷出的水柱成抛物线形．图 2是该喷灌
材 器 OA喷水时的截面示意图，喷水口 A
1 点离地高度 AO=0.25m，喷出的水柱在
离喷水口水平距离为 2m处达到最高，
高度为 0.45m，且水柱刚好落在庭院围
墙和地面的交界 B点处．
为了美化庭院，准备在庭院内沿围墙建
花坛种花，花坛高 DC =0.4m，宽 BC=DE
=0.8m，侧面用大理石包围，矩形 BCDE
素
是花坛截面，如图 3．调整喷水口的高
材
2 度，喷出的水柱形状与原来相同且随之
上下平移，使花坛的上方从 D到 E的区
域刚好都能被水柱浇灌（大理石厚度不
计），从而达到给花坛喷灌的效果．
解决问题
在图 2中，建立合适的平面直角坐标系，求
任务 1 确定水柱的形状
抛物线的解析式？
任务 2 确定喷灌器的位置 求喷灌器OA与围墙的水平距离OB是多少？
调整喷水口的高度，使花坛的上方 DE边上
任务 3 拟定喷头升降方案 刚好都能被水柱喷灌，请直接写出喷水口距
离地面高度的取值范围．
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23．（11分）
【问题提出】
在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，△CDE是等边三角形，点 D在边 AB上，探究
ED与 EB数量关系．
【问题探究】
（1）如图 1，当点 E在边 BC上时，猜想 ED与 EB数量关系，并加以证明；
（2）如图 2，当点 E在△ABC内部时，证明（1）中的结论仍然成立；
【问题拓展】
（3）如图 3，当点 E在△ABC外部时，EF⊥AB于点 F，过点 E作 EG∥AB，交线段 AC
的延长线于点 G，AG＝5CG，BF＝3，请直接写出 CG的长．
C G EC C
E
E
A D B A D B
图 1 2 A D F B图 图 3
24．（12分）
如图所示，抛物线 y＝ax2+2x+c的对称轴为 x＝1，与 x轴交于 A，B两点，与 y轴交于
点 C（0，5），直线 y＝－x+1与该抛物线交于 D，E两点（点 D在点 E的左侧）．
（1）求该抛物线的解析式及 D，E两点的坐标；
（2）如图 2，将位于直线 DE上方的抛物线沿着直线 DE翻折，点 P是 DE上方的抛物
线上的一动点，点 P的对应点为点 Q，连接 PQ交 DE于点 G．
①当四边形 DPEQ是菱形时，请直接写出点 P的坐标；
②在点 P的运动过程中，请求出线段 PQ的最大值．
图 1 图 2
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九年级数学考答案及评分说明
说明：本评分说明一般只给出一种解法，对其他解法，只要推理严谨，运算合理，结果正确，均给满分；
对部分正确的，参照此评分说明，酌情给分.
一、选择题（每小题 3 分，满分 30 分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D B A C D C B
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．（4，－5）； 12．9； 13．5.4 ；
14．x（60－ x）＝864； 15．①③．（每填对 1个得 2分,填对 2个得 3分）
三、解答题（共 75 分）
16．解：（1）x1＝－1，x2＝7； -----------------------3分
（2）x1＝2，x2＝3． -----------------------6分
17．解：（1）随机； -----------------------2分
1
（2）P（都没有抽到项目“B”）= ． -----------------------6 分3
18．解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求，B1（1，1）C1（6，－1）； -----------------------2 分
（2）如图所示，△A2B2C2即为所求，点 A2（－4，4）； -----------------------4分
（3）S△A2B2C2＝S△ABC＝10.5． -----------------------6 分
5
19．解：（1）m的取值范围是 m＞ ； -----------------------4分
4
2
（2）m= ． -----------------------8分
3
九年级数学答案 第 1 页 共 6 页
A
20．（1）证明：如图，连接 OC，
∵ PA是⊙O的切线，
P D O
∴PA⊥OA ．
∴∠PAO 90° ．
C B
∵ OC OA，PC PA，OP OP．
∴△POC≌△POA（SSS）． -----------------------2分
∴ ∠PCO ∠PAO 90° ．
∴ OD⊥CD ．
又点 C在⊙O上，
∴ PC是⊙O的切线； -----------------------4分
(2) 解: 如图，由（1）可证：
∠PDA ∠ACB 90°，∠APD ∠BAC．
又 PA AB，
∴△PAD≌△ABC（AAS）． -----------------------6分
∴ AD BC 2，AC 2AD 4．
在 Rt△ABC中，由勾股定理可得:
AB 22 42 2 5． -----------------------8分
m
21． 解：（1）将 A(1, 4)代入 y (m为常数，m 0)x 可得：m 4．
4
∴反比例函数关系式为： y2 ． -----------------------1分x
将 y －1代入 y 4 可得 x －4,
x
∴n －4； y - ----------------------2 分
把 A(1, 4)，B(－4, －1)代入 y1 ax＋b， A
得： a b 4,
C
4a b 1.
a 1 D O x∴ b 3 B
∴一次函数关系式为 y1 x+3； ----------------------4分
九年级数学答案 第 2 页 共 6 页
（2）AD BC； -----------------------6分
（3）由图可知：当－4＜x＜0或x＞1时，y1＞y2． -----------------------8分
22．解： （1）如图，以点 O为原点，OB所在直线为 x轴建立平面直角坐标系， -----------------------1分
设抛物线解析式为 y＝a（x－2）2+0.45，
把 A（0，0.25）代入得：0.25＝a（0－2）2+0.45，
解得：a＝－0.05．
∴抛物线的表达式为 y＝－0.05（x－2）2+0.45； -----------------------4分
（2） 把 y＝0代入，得－0.05（x－2）2+0.45＝0，
解得：x1＝5，x2＝﹣1，∴B（5，0），
∴OB＝5，
∴喷灌器 OA与围墙的距离 OB为 5m； -----------------------6分
（3） 如图，由题意得：CD＝0.4m，BC＝0.8m，
∴D（4.2，0.4），E（5，0.4），
设 y＝－0.05（x－2）2+k，把 D（4.2，0.4）代入
得，0.4＝－0.05（4.2－2）2+k，
解得：k＝0.642，∴y＝－0.05（x－2）2+0.642，
当 x＝0时，y＝0.442，∴（OA）min＝0.442m， -----------------------8分
设 y＝－0.05（x－2）2+k′，把 E（5，0.4）代入得，0.4＝－0.05（5－2）2+k′，
解得：k′＝0.85，∴y＝－0.05（x－2）2+0.85，
当 x＝0时，y＝－0.05（0－2）2+0.85＝0.65，
∴（OA）max＝0.65m，
∴0.442m ≤OA ≤0.65m． -----------------------10分
23. 1 = ，理由如下： -----------------------1分
∵△ 是等边三角形，
∴ ∠ = 60°，
∵ ∠ = 30°，∠ = ∠ + ∠ ，
九年级数学答案 第 3 页 共 6 页
∴ ∠ = 60° ∠ = 30°，
∴ ∠ = ∠ ，
∴ = ； -----------------------3分
2 如图 2，取 的中点 ，连接 ， ， -----------------------4分
∵ ∠ = 90°，∠ = 30°，
∴ ∠ = 60°， = ，
∴△ 为等边三角形．
∴ = ．
∵△ 是等边三角形，
∴ = ，∠ = 60° = ∠ ．
∴ ∠ = ∠ ，
∴△ ≌△ SAS ．
∴ ∠ = ∠ = 60°．
∴ ∠ = 180° 60° 60° = 60°．
∴△ ≌△ SAS ． -----------------------6分
∴ = ．
∴ = ； -----------------------7分
(3)如图 3，取 的中点 ，连接 ， ， ，
与(2)同理，△ ≌△ ，△ 是为等边三角形，
∴ ∠ = ∠ = 60°，
∴ ∠ = 60° = ∠ ．
又 = ， = ，
∴△ ≌△ (SAS) ．
∴ = ，
∴ = ，
∵ ⊥ ，
∴ = = 3，
∵ // ，
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∴ ∠ = 180° ∠ = 120°，
∵ ∠ = ∠ + 60° = ∠ + 60°，
∴ ∠ = ∠ ，
在△ 和△ 中，
∠ = ∠
∠ = ∠ ，
=
∴△ ≌△ (AAS) ．
∴ = ，
设 = ，则 = 5 ， = ，
∴ = = 4 ，
∵ = ，
∴ 4 = + 3 + 3，
解得， = 2，
∴ = 2． -----------------------11分
24．解：（1） ∵抛物线 y＝ax2+2x+c的对称轴为 x＝1，与 y轴交于点 C（0，5），
2
∴ 1，解得：a＝－1．
2a
又抛物线 y＝ax2+2x+c与 y轴交于点 C（0，5），
∴c＝5．
∴抛物线的解析式为 y＝－x2－2x+5. -----------------------2分
把 y＝－x+1代入 y＝－x2+2x+5
得 x2－3x－4=0，
解得：x1＝－1，x2＝4．
∴D（﹣1，2），E（4，﹣3）； -----------------------4分
（2）①如图 2，设直线 DE分别交 x轴，y轴于点 L，F，PQ交 y轴于点 H，
过点 G作 GK⊥y轴于点 K，
则 F（0，1），L（1，0），
∴OF＝OL＝1．
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∵∠FOL＝90°，
∴△FOL是等腰直角三角形．∴∠GFH＝45°．
∵四边形 DPEQ是菱形，
3 1
∴DG＝EG，PQ⊥DE．∴G（ ， ）．
2 2
1 3
∵GK⊥y轴，∴K（0， ）．∴FK＝GK＝ ．
2 2
∵∠FGH＝90°，∴△FGH是等腰直角三角形．
∴FH＝2FK＝3，
∴H（0，﹣2）．∴直线 GH的解析式为 y＝x－2．
把 y＝x－2代入 y＝－x2+2x+5得 x2－3x－4=0，

x
1 29
1 x
1 29
2
解得： 2 （舍去）， 2 ，
y 3 29 y 3 29 1 2 2 2
1 29 -3 29
∴点 P的坐标为（ ， ）； -----------------------8分
2 2
②如图 3，设直线 DE交 y轴于点 F，过点 P作 PJ∥y轴交 DE于 J，
设 P（t，－t2+2t+5），则 J（t，－t+1），
∴PJ＝－t2+2t+5－（－t+1）＝－t2+3t+4．
由①知∠GFH＝45°．
∵PJ∥y轴，
∴∠PJG＝∠GFH＝45°．
∵P,Q关于直线 DE对称，
∴PQ⊥DE，即∠PGJ＝90°，PQ＝2PG．
∴△PJG是等腰直角三角形．
∴PG＝ 2 PJ．
2
∴PQ＝2PG＝ 2 PJ＝ 2（﹣t2+3t+4）＝－ 2（t－ 3）2+ 25 2 ．
2 4
∵ 2＜0，
∴当 t＝ 3 时，线段 PQ的最大值为 25 2 ． -----------------------12分
2 4
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