第3课时 角平分线
角是轴对称图形， 角平分线 所在的直线是它的对称轴.
角平分线上的点到这个角的两边的距离 相等 .
自测 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为 3 .
知识点 角平分线
1.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是 （ C ）
A.OE是∠AOB的平分线
B.OC=OD
C.点C，D到OE的距离不相等
D.点E到OA，OB的距离相等
第1题图 第2题图
2.如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE=4，点P到OB的距离是2，则△POE的面积为 （ A ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3.如图，OD是∠AOB的平分线，点P到OA的距离PE为3.若N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围是 （ C ）
A.PN<3 B.PN>3 C.PN≥3 D.PN≤3
4.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线，若AC=10，CD=6，则点D到BC的距离是 4 ．
第4题图 第5题图
5.如图，D是线段BC的中点，AD⊥BC,若∠ABC=40°，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠CED的度数为 70 ° .
［易错提醒：实际问题中混淆垂直平分线和角平分线的运用场景］
6.如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在 （ A ）
A．三个角的平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
A基础过关
7.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C，D，则下列结论错误的是 （ B ）
A.PC=PD
B.∠CPD=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO
D.OC=OD
8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若AB=18,AC=12,△ABC的面积等于36,则DE= 125 .
9.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，求∠BDC的度数．
解：因为BD平分∠ABC，
所以∠DBC=12∠ABC=12×60 °=30 °，
因为CD平分∠ACB．
所以∠DCB=12∠ACB=12×40 °=20 °．
所以∠BDC=180 °-∠DBC-∠DCB
=180 °-30 °-20 °
=130 °．
B能力提升
10.如图，在△ABC中，AB=3BC，BD平分∠ABC交AC于点D，若△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，则关于S1与S2之间的数量关系，下列说法正确的是 （ B ）
A．S1=4S2 B．S1=3S2
C．S1=2S2 D．S1=S2
第10题图 第11题图
11.如图所示，AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE=1，则AB与CD之间的距离等于 2 .
12.（贵州校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
（1）∠EDB与∠FDB相等吗？请说明理由；
（2）若△ABC的面积为70，AB=16，DE=5，求BC的长．
解：（1）∠EDB与∠FDB相等，理由如下：
因为DE⊥AB，DF⊥BC，所以∠BED=∠BFD=90 °.
因为BD是△ABC的角平分线，所以∠EBD=∠FBD.
在△BDE和△BDF中，∠DBE=∠DBF,
∠BED=∠BFD,
BD=BD,
所以△BDE≌△BDF（AAS）.
所以∠EDB=∠FDB；
（2）因为BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
所以DF=DE=5.
因为S△ABD=12AB·DE=40,
所以S△BCD=12BC·DF=70-40=30.
所以BC=12．
C素养升华
13.如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB相交于点C，D，PC和PD有怎样的数量关系？请说明理由.
解：PC=PD.理由如下：
如图，过点P分别作PE⊥OB于点E，
PF⊥OA于点F，
则∠CFP=∠DEP=∠PEB=90 °.
因为OM是∠AOB的平分线，
所以PE=PF.
因为∠PEB=∠AOB=90 °,
所以PE∥AO.所以∠EPF=∠CFP=90 °.
因为∠CPF+∠FPD=∠CPD=90 °,
∠FPD+∠DPE=∠EPF=90 °,
所以∠CPF=∠DPE.
在△CFP和△DEP中，
∠CFP=∠DEP,
PF=PE,
∠CPF=∠DPE,
所以△CFP≌△DEP(ASA).
所以PC=PD.第3课时 角平分线
角是轴对称图形， 所在的直线是它的对称轴.
角平分线上的点到这个角的两边的距离 .
自测 如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC=3，点P到OA的距离为 .
知识点 角平分线
1.观察图中尺规作图痕迹，下列说法错误的是 （ ）
A.OE是∠AOB的平分线
B.OC=OD
C.点C，D到OE的距离不相等
D.点E到OA，OB的距离相等
第1题图 第2题图
2.如图，OP平分∠AOB，E为OA上一点，OE=4，点P到OB的距离是2，则△POE的面积为 （ ）
A．4 B．5 C．6 D．8
3.如图，OD是∠AOB的平分线，点P到OA的距离PE为3.若N是OB上的任意一点，则线段PN的取值范围是 （ ）
A.PN<3 B.PN>3 C.PN≥3 D.PN≤3
4.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD是△ABC的角平分线，若AC=10，CD=6，则点D到BC的距离是 ．
第4题图 第5题图
5.如图，D是线段BC的中点，AD⊥BC,若∠ABC=40°，∠ABC的平分线BE交AD于点E，连接EC，则∠CED的度数为 .
［易错提醒：实际问题中混淆垂直平分线和角平分线的运用场景］
6.如图，三条公路把A，B，C三个村庄连成一个三角形区域，某地区决定在这个三角形区域内修建一个集贸市场，要使集贸市场到三条公路的距离相等，则这个集贸市场应建在 （ ）
A．三个角的平分线的交点
B．三条边的垂直平分线的交点
C．三角形三条高的交点
D．三角形三条中线的交点
A基础过关
7.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C，D，则下列结论错误的是 （ ）
A.PC=PD
B.∠CPD=∠DOP
C.∠CPO=∠DPO
D.OC=OD
8.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，若AB=18,AC=12,△ABC的面积等于36,则DE= .
9.如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠ACB=40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，求∠BDC的度数．
B能力提升
10.如图，在△ABC中，AB=3BC，BD平分∠ABC交AC于点D，若△ABD的面积为S1，△BCD的面积为S2，则关于S1与S2之间的数量关系，下列说法正确的是 （ ）
A．S1=4S2 B．S1=3S2
C．S1=2S2 D．S1=S2
第10题图 第11题图
11.如图所示，AB∥CD,O为∠BAC,∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，且OE=1，则AB与CD之间的距离等于 .
12.（贵州校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F．
（1）∠EDB与∠FDB相等吗？请说明理由；
（2）若△ABC的面积为70，AB=16，DE=5，求BC的长．
C素养升华
13.如图，已知∠AOB=90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB相交于点C，D，PC和PD有怎样的数量关系？请说明理由.
