第2课时 垂线及其性质
1.两条直线相交成四个角，如果有一个角是 ，那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的 ，它们的交点叫作 .
自测1 直线AB与CD垂直于点O，则∠AOD= .
2.同一平面内，过一点 一条直线与已知直线垂直，直线外一点
与直线上各点连接的所有线段中， 最短，过直线l外一点A作l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的 .
自测2 如图所示，在灌溉农田时，要把河（直线l表示一条河）中的水引到农田P处，设计了四条路线PA，PB，PC，PD（其中PB⊥l)，所挖渠道最短的路线是（ ）
A.PA
B.PB
C.PC
D.PD
1.如图，已知AC⊥AB,∠1=30°,则∠2的度数是（ ）
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
2.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC， 则下列说法中正确的个数是 （ ）
①线段AB是点B到AC的垂线段；
②线段AC是点C到AB的垂线段；
③线段AD是点D到AC的垂线段；
④线段BD是点B到AD的垂线段.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是（ ）
A.两点确定一条直线
B.垂线段最短
C.已知直线的垂线只有一条
D.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4.如图，已知AB⊥CB于点B，AC⊥DC于点C，则下列判断不正确的是（ ）
A.AB
B.ADC.ACD.BC［易错提醒：对垂线段及点到直线的距离理解不正确］
5.下列说法中正确的是（ ）
A.直线外一点到已知直线的垂线段叫作这点到直线的距离
B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.可以画出直线外一点到已知直线的距离
D.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
A基础过关
6．（贵州校级期末）如图，点A，E，B在同一条直线上，CE⊥DE，若∠1=25°，则∠2的度数是（A）
A．65°
B．75°
C．85°
D．105°
7.如图，小红在进行立定跳远训练时，从点A起跳，落脚点为B，从起跳点到落脚点之间的距离是2 m,则小红这次跳远的成绩可能是（ ）
A．2.2 m B．2.1 m C．2 m D．1.9 m
8.如图，能表示点到直线的距离的线段共有（ ）
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
9.如图，直线AB与CD相交于点E，EF⊥AB,垂足为E，若∠BEC=120°,则∠DEF= .
10.如图，直线CD，EF相交于点O，OA⊥OB，若∠AOE=60°，∠COF=75°，则∠BOD的度数为 °．
B能力提升
11.已知∠α的两边分别与∠β的两边垂直，且∠α=20°,则∠β的度数为（ ）
A.20°
B.160°
C.20°或160°
D.70°
12.如图，直线AB,CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE，且∠AOC∶∠COF=2∶3，则∠DOF的度数为（ ）
A.105°
B.112.5°
C.120°
D.135°
13.如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O.
(1)若∠1=∠2，求∠DON的度数;
(2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠DOM的度数.
C素养升华
14.如图，O为直线AB上一点，OC为射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）若∠BOC=50°，求∠EOF的度数；
（2）若∠BOC是任意角α（0°≤α≤180°），（1）中的结论是否还成立？请说明理由及由此所发现的规律.第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第1课时 对顶角、余角和补角
1.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为 .在同一平面内，不相交的两条直线叫作 .
自测1 下列直线、射线、线段能相交的是（ ）
2.有公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作 ，对顶角 .
自测2 如图，∠1和∠2是对顶角的是（B）
3.如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为 ；如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为 .同角或等角的余角 ，同角或等角的补角 .
自测3 已知∠A=30°,则∠A的余角为 ,∠A的补角为 .
1.下列说法中正确的是（）
A.不相交的两条直线是平行线
B.在同一平面内，不相交的两条射线叫作平行线
C.在同一平面内，两条直线不相交就重合
D.在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
2.下列各组角中，∠1与∠2一定相等的是（）
3.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOC=80°,∠1=50°,则∠2的度数为 .
4.若∠1=54°,则∠1的余角是（ ）
A.36°
B.40°
C.46°
D.60°
5.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1∶∠2=1∶4，则∠1= ，∠3= .
［易错提醒：对对顶角的概念理解不清］
6.如图，三条直线相交于一点，请将图中的各组对顶角一一列举出来： .
A基础过关
7.如图，三条直线相交于一点，已知∠1+∠4=120°，则∠2+∠3的度数是（ ）
A.∠2
B.105°
C.120°
D.135°
8.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC,若∠EOC=40°,则∠BOD的度数为 .
9.如图，直线AB，CD交于点O，则∠BOD= .
10.如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠COB的平分线.
(1)∠AOC的对顶角是∠BOD;
(2)若∠BOC=130°，求∠DOE的度数.
B能力提升
11.如图，∠ABC=∠BDC=90°，则图中互余的角有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
12.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC,∠MON=90°,若∠AOM=35°,则∠CON的度数为（ ）
A.35° B.45° C.55° D.65°
13.如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM=90°.
(1)如图1，若OC平分∠AOM,求∠AOD的度数；
(2)如图2，若∠BOC=4∠BON,且OM平分∠CON,求∠MON的度数.
C素养升华
14.如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE=90°，OF平分∠AOE，∠COF=37°．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若射线OF以每秒5°绕点O顺时针转动，多长时间后，∠DOF与∠COE第一次构成对顶角 第2课时 垂线及其性质
1.两条直线相交成四个角，如果有一个角是直角，那么称这两条直线互相垂直，其中一条直线叫作另一条直线的垂线，它们的交点叫作垂足.
自测1 直线AB与CD垂直于点O，则∠AOD=90 °.
2.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，直线外一点
与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，过直线l外一点A作l的垂线，垂足为B，线段AB的长度叫作点A到直线l的距离.
自测2 如图所示，在灌溉农田时，要把河（直线l表示一条河）中的水引到农田P处，设计了四条路线PA，PB，PC，PD（其中PB⊥l)，所挖渠道最短的路线是（B）
A.PA
B.PB
C.PC
D.PD
1.如图，已知AC⊥AB,∠1=30°,则∠2的度数是（C）
A.40°
B.50°
C.60°
D.70°
2.如图，∠BAC=90°，AD⊥BC， 则下列说法中正确的个数是 （C）
①线段AB是点B到AC的垂线段；
②线段AC是点C到AB的垂线段；
③线段AD是点D到AC的垂线段；
④线段BD是点B到AD的垂线段.
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
3.如图，在同一平面内，OA⊥l，OB⊥l，垂足为O，则OA与OB重合的理由是（D）
A.两点确定一条直线
B.垂线段最短
C.已知直线的垂线只有一条
D.同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
4.如图，已知AB⊥CB于点B，AC⊥DC于点C，则下列判断不正确的是（B）
A.ABB.ADC.ACD.BC［易错提醒：对垂线段及点到直线的距离理解不正确］
5.下列说法中正确的是（D）
A.直线外一点到已知直线的垂线段叫作这点到直线的距离
B.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C.可以画出直线外一点到已知直线的距离
D.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短
A基础过关
6．（贵州校级期末）如图，点A，E，B在同一条直线上，CE⊥DE，若∠1=25°，则∠2的度数是（A）
A．65°
B．75°
C．85°
D．105°
7.如图，小红在进行立定跳远训练时，从点A起跳，落脚点为B，从起跳点到落脚点之间的距离是2 m,则小红这次跳远的成绩可能是（D）
A．2.2 m B．2.1 m C．2 m D．1.9 m
8.如图，能表示点到直线的距离的线段共有（D）
A.2条
B.3条
C.4条
D.5条
9.如图，直线AB与CD相交于点E，EF⊥AB,垂足为E，若∠BEC=120°,则∠DEF=30 °.
10.如图，直线CD，EF相交于点O，OA⊥OB，若∠AOE=60°，∠COF=75°，则∠BOD的度数为45 °．
B能力提升
11.已知∠α的两边分别与∠β的两边垂直，且∠α=20°,则∠β的度数为（C）
A.20°
B.160°
C.20°或160°
D.70°
12.如图，直线AB,CD相交于点O，OE平分∠BOD，OF⊥OE，且∠AOC∶∠COF=2∶3，则∠DOF的度数为（B）
A.105°
B.112.5°
C.120°
D.135°
13.如图，直线AB，CD相交于点O，OM⊥AB于点O.
(1)若∠1=∠2，求∠DON的度数;
(2)若∠BOC=4∠1,求∠AOC与∠DOM的度数.
解：（1）因为OM⊥AB,
所以∠AOM=90 °,即∠1+∠AOC=90 °.
又因为∠1=∠2,
所以∠2+∠AOC=90 °.
所以∠DON=180 °-(∠2+∠AOC)=180 °-90 °=90 °;
(2)因为∠BOC=4∠1,
即90 °+∠1=4∠1，可得∠1=30 °,
所以∠AOC=∠AOM-∠1=90 °-30 °=60 °.
由对顶角相等，得∠BOD=∠AOC=60 °,
故∠DOM=∠BOM+∠BOD=90 °+60 °=150 °.
C素养升华
14.如图，O为直线AB上一点，OC为射线，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC．
（1）若∠BOC=50°，求∠EOF的度数；
（2）若∠BOC是任意角α（0°≤α≤180°），（1）中的结论是否还成立？请说明理由及由此所发现的规律.
解：（1）因为∠BOC=50 °，
所以∠AOC=180 °-50 °=130 °.
因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
所以∠EOC=∠AOC=65 °，∠COF=∠BOC=25 °.
所以∠EOF=65 °+25 °=90 °；
（2）因为∠BOC=α，
所以∠AOC=180 °-α.
因为OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
所以∠EOC=∠AOC=90 °-12α，∠COF=∠BOC=12α.
所以∠EOF=90 °-α+α=90 °.
规律：邻补角的角平分线互相垂直．第二章 相交线与平行线
1 两条直线的位置关系
第1课时 对顶角、余角和补角
1.若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线.
自测1 下列直线、射线、线段能相交的是（C）
2.有公共顶点，且它们的两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角叫作对顶角，对顶角相等.
自测2 如图，∠1和∠2是对顶角的是（B）
3.如果两个角的和是180°，那么称这两个角互为补角；如果两个角的和是90°，那么称这两个角互为余角.同角或等角的余角相等，同角或等角的补角相等.
自测3 已知∠A=30°,则∠A的余角为60 °,∠A的补角为150 °.
1.下列说法中正确的是（D）
A.不相交的两条直线是平行线
B.在同一平面内，不相交的两条射线叫作平行线
C.在同一平面内，两条直线不相交就重合
D.在同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线
2.下列各组角中，∠1与∠2一定相等的是（D）
3.如图，直线AB，CD，EF相交于点O，且∠AOC=80°,∠1=50°,则∠2的度数为30 °.
4.若∠1=54°,则∠1的余角是（A）
A.36°
B.40°
C.46°
D.60°
5.如图，直线AB，CD相交于点O，若∠1∶∠2=1∶4，则∠1=36 °，∠3=144 °.
［易错提醒：对对顶角的概念理解不清］
6.如图，三条直线相交于一点，请将图中的各组对顶角一一列举出来：∠AOD和∠BOC，∠DOF和∠COE，∠BOF和∠AOE，∠AOF和∠BOE，∠DOB和∠AOC，∠COF和∠DOE.
A基础过关
7.如图，三条直线相交于一点，已知∠1+∠4=120°，则∠2+∠3的度数是（C）
A.∠2
B.105°
C.120°
D.135°
8.如图，直线AB，CD相交于点O，OE平分∠AOC,若∠EOC=40°,则∠BOD的度数为80 °.
9.如图，直线AB，CD交于点O，则∠BOD=60 °.
10.如图，直线AB，CD相交于点O，OE是∠COB的平分线.
(1)∠AOC的对顶角是∠BOD;
(2)若∠BOC=130°，求∠DOE的度数.
解：由OE是∠COB的平分线，得∠COE=∠BOC=65 °,由补角的性质，得∠DOE=180 °-∠COE
=180 °-65 °=115 °.
B能力提升
11.如图，∠ABC=∠BDC=90°，则图中互余的角有（D）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
12.如图，直线AB，CD相交于点O，射线OM平分∠AOC,∠MON=90°,若∠AOM=35°,则∠CON的度数为（C）
A.35° B.45° C.55° D.65°
13.如图，直线AB与CD相交于点O，∠AOM=90°.
(1)如图1，若OC平分∠AOM,求∠AOD的度数；
(2)如图2，若∠BOC=4∠BON,且OM平分∠CON,求∠MON的度数.
解:（1）因为∠AOM=90 °,OC平分∠AOM,
所以∠AOC=∠AOM=×90 °=45 °.
因为∠AOC+∠AOD=180 °,
所以∠AOD=180 °-∠AOC=180 °-45 °=135 °;
（2）因为∠BOC=4∠BON,
设∠BON=x °,则∠BOC=4x °,
所以∠CON=∠BOC-∠BON=4x °-x °=3x °.
因为OM平分∠CON,
所以∠COM=∠MON=∠CON=x °.
因为∠AOM=90 °, 所以∠BOM=180 °-∠AOM=90 °.
所以∠BOM=x °+x °=90 °.
所以x=36.
所以∠MON=x °=×36 °=54 °.
C素养升华
14.如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE=90°，OF平分∠AOE，∠COF=37°．
（1）求∠EOB的度数；
（2）若射线OF以每秒5°绕点O顺时针转动，多长时间后，∠DOF与∠COE第一次构成对顶角
解：（1）因为∠COE=90 °，∠COF=37 °，
所以∠EOF=90 °-37 °=53 °．
因为OF平分∠AOE，
所以∠AOE=53 °×2=106 °．
所以∠EOB=180 °-106 °=74 °；
（2）当射线OF运动到点E，O，F共线的位置时，∠DOF与∠COE构成对顶角,
因为∠EOF=53 °，
所以运动的角度为53 °+180 °=233 °.
233 °÷5 °=46.6（s），
即46.6 s后，∠DOF与∠COE第一次构成对顶角．