2 探索直线平行的条件
第1课时 利用同位角判定两条直线平行
1.两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同一方向，并且在第三条直线的同侧，这样的角叫作同位角.
自测1 下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（A）
2.同位角相等，两直线平行.
自测2 如图，已知直线a,b被直线c所截，∠1=60°，当∠2=60°时，a∥b.
3.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行.
自测3 已知直线AB，过直线外一点O，可以作1条与AB平行的直线．
1.如图标注的各角中，属于同位角的是（D）
A.∠1与∠2
B.∠3与∠4
C.∠2与∠4
D.∠1与∠4
2.如图，和∠A是同位角的有∠BED和∠CDE．
3.如图，∠1=∠2，则下列结论正确的是（C）
A.AD∥BC
B.AB∥CD
C.AD∥EF
D.EF∥BC
4.（教材P43T2改编）如图，直线AB，CD分别与直线EF相交于点E，F，∠1=105°，当∠2=75 °时，AB∥CD．
5.下列说法正确的个数是（B）
①两条直线不相交就平行；
②在同一平面内，与已知直线平行的直线有且只有一条；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④平行于同一直线的两条直线互相平行；
⑤两直线的位置关系只有相交、平行与垂直.
A.0个
B.1个
C.2个
D.4个
6.如图，直线a∥c，∠1=∠2，那么直线b，c的位置关系是b∥c．
［易错提醒：对同位角的概念理解不准确］
7.上图中与∠1是同位角的角有4个．
A基础过关
8.如图，若∠1=70°，要使a∥b，则需具备的另一个条件是（D）
A.∠2=110°
B.∠3=110°
C.∠4=105°
D.∠5=110°
9．（安顺平坝区月考）如图，要根据“同位角相等”直接判定AB∥DF，下列给出的条件中，正确的是（D）
A．∠1=∠A
B．∠A+∠2=180°
C．∠1=∠4
D．∠A=∠3
10.（教材P42图2-18改编）如图给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是同位角相等，两直线平行.
11.如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则当∠2=50°时，a∥b．
12.如图，P，Q分别是直线EF外的两点．
（1）过点P画直线AB∥EF，过点Q画直线CD∥EF；
（2）直线AB与CD有怎样的位置关系？为什么？
解：（1）如图所示，AB，CD即为所求；
（2）直线AB与CD互相平行，理由：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．
B能力提升
13.如图，点C在BE上，∠B=50°，CD平分∠ACE．要使AB∥CD，则∠ACB的度数为80 °．
14.如图，已知AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=35°,∠2=35°,AC与BD平行吗 AE与BF平行吗？请说明理由.
解：AC∥BD,AE∥BF.理由如下:
因为∠1=35 °,∠2=35 °,
所以∠1=∠2(等量代换).
所以AC∥BD(同位角相等，两直线平行).
又因为AC⊥AE,所以∠EAC=90 °.
所以∠EAB=∠EAC+∠1=125 °(等式的性质).
同理可得∠FBN=∠FBD+∠2=125 °,
所以∠EAB=∠FBN.
所以AE∥BF(同位角相等，两直线平行).
C素养升华
15.（教材P41图2-16改编）如图，a，b，c三根木棒钉在一起，∠1=70°，∠2=100°，现将木棒a，b同时顺时针旋转一周，速度分别为17°/s和2°/s，则多少秒时木棒a，b平行？
解：设t s后木棒a,b平行，依题意有100 °-17 °t=70 °-2 °t,
解得t=2．
或100 °-(17 °t-180 °)=70 °-2 °t,解得t=14．
当a停止运动时，b还在转动，也就是a回到原位置后，b还在转动，
若a∥b，则70 °-(2 °t-180 °)=100 °或70 °-(2 °t-360 °)=100 °，
解得t=75或165．
故2 s或14 s或75 s或165 s时木棒a,b平行．2 探索直线平行的条件
第1课时 利用同位角判定两条直线平行
1.两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的 ，并且在第三条直线的 ，这样的角叫作 .
自测1 下列图形中，∠1与∠2是同位角的是（ ）
2.同位角相等，两直线 .
自测2 如图，已知直线a,b被直线c所截，∠1=60°，当∠2= 时，a∥b.
3.过直线外一点 条直线与这条直线平行；平行于同一条直线的两条直线 .
自测3 已知直线AB，过直线外一点O，可以作 条与AB平行的直线．
1.如图标注的各角中，属于同位角的是（ ）
A.∠1与∠2
B.∠3与∠4
C.∠2与∠4
D.∠1与∠4
2.如图，和∠A是同位角的有 ．
3.如图，∠1=∠2，则下列结论正确的是（ ）
A.AD∥BC
B.AB∥CD
C.AD∥EF
D.EF∥BC
4.（教材P43T2改编）如图，直线AB，CD分别与直线EF相交于点E，F，∠1=105°，当∠2= 时，AB∥CD．
5.下列说法正确的个数是（ ）
①两条直线不相交就平行；
②在同一平面内，与已知直线平行的直线有且只有一条；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④平行于同一直线的两条直线互相平行；
⑤两直线的位置关系只有相交、平行与垂直.
A.0个
B.1个
C.2个
D.4个
6.如图，直线a∥c，∠1=∠2，那么直线b，c的位置关系是 ．
［易错提醒：对同位角的概念理解不准确］
7.上图中与∠1是同位角的角有 个．
A基础过关
8.如图，若∠1=70°，要使a∥b，则需具备的另一个条件是（ ）
A.∠2=110°
B.∠3=110°
C.∠4=105°
D.∠5=110°
9．（安顺平坝区月考）如图，要根据“同位角相等”直接判定AB∥DF，下列给出的条件中，正确的是（ ）
A．∠1=∠A
B．∠A+∠2=180°
C．∠1=∠4
D．∠A=∠3
10.（教材P42图2-18改编）如图给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 .
11.如图，把三角尺的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则当∠2= 时，a∥b．
12.如图，P，Q分别是直线EF外的两点．
（1）过点P画直线AB∥EF，过点Q画直线CD∥EF；
（2）直线AB与CD有怎样的位置关系？为什么？
B能力提升
13.如图，点C在BE上，∠B=50°，CD平分∠ACE．要使AB∥CD，则∠ACB的度数为 ．
14.如图，已知AC⊥AE,BD⊥BF,∠1=35°,∠2=35°,AC与BD平行吗 AE与BF平行吗？请说明理由.
C素养升华
15.（教材P41图2-16改编）如图，a，b，c三根木棒钉在一起，∠1=70°，∠2=100°，现将木棒a，b同时顺时针旋转一周，速度分别为17°/s和2°/s，则多少秒时木棒a，b平行？第2课时 利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
1.两条直线被第三条直线所截，如果两个角都在直线的 ，并且在第三条直线的 ，则这样的一对角叫作内错角；如果两个角在两条直线内侧，在第三条直线同侧，则这两个角叫作 .
自测1 如图1，∠2的内错角是 ，∠2同旁内角是 .
2.内错角 ，两直线平行；同旁内角 ，两直线平行.
自测2 如图2，已知直线a，b被直线c所截，若∠1=40°,则当∠2= 时,a∥b;若∠3=135°,则当∠2= 时，a∥b.
1.如图，已知直线a,b被直线c所截，那么∠1的内错角是（ ）
A.∠2
B.∠3
C.∠4
D.∠5
2.如图，与∠1是同旁内角的是（ ）
A.∠2
B.∠3
C.∠4
D.∠5
3.如图，已知∠1=∠2，则（ ）
A.∠3=∠4
B.AB∥CD
C.AD∥BC
D.以上结论都正确
4.如图所示，下列条件中不能推出AB∥CE的条件是（ ）
A．∠A=∠ACE
B．∠B=∠ECD
C．∠B=∠ACE
D．∠B+∠BCE=180°
5.如图，如果∠1=60°，∠2=120°，∠D=60°，那么AB与CD平行吗？BC与DE呢？
［易错提醒：注意判定条件所对应的平行线］
6.如图，已知下列条件：①∠1=∠2；②∠3+∠5=180°；③∠1+∠3=180°；④∠2=∠5.其中可以推出a∥b的是 （写出所有正确的序号）．
A基础过关
7．（黔东南州校级期中）如图，下列推理中正确的是（ ）
A．因为∠1=∠4，所以AD∥BC
B．因为∠2=∠3，所以AB∥CD
C．因为∠BAD+∠D=180°，所以AB∥CD
D．因为∠D+∠3+∠4=180°，所以AB∥CD
8.如图，点E在直线AB上，EC平分∠AED,∠DEB=100°,如果要使AB∥CD,那么∠C的度数为（ ）
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
9.工人师傅对一个如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个40°的角，然后准备在A处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，则第二次弯的角度应是 ．
10.如图,已知直线AB和直线外的点C，利用尺规作图过点C作直线DE,使DE∥AB.
B能力提升
11.如图，若∠3=∠4，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1=∠2
B．∠1=∠3且∠2=∠4
C．∠1+∠3=90°且∠2+∠4=90°
D．∠1+∠2=90°
12.如图，将一副三角尺的两直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠D=45°，若绕顶点C转动三角尺DCE，则当∠BCD= 时，DE∥AB．
13.如图，点P在CD上，已知∠BAP+∠APD=180°,∠1=∠2,请填写AE∥PF的理由.
解：因为∠BAP+∠APD=180°( )，
∠APC+∠APD=180°( ),
所以∠BAP=∠APC( ).
又因为∠1=∠2( )，
所以∠BAP-∠1=∠APC-∠2( ),
即∠EAP=∠APF.
所以AE∥PF( ).
C素养升华
14.如图，已知∠ABD和∠BDC的平分线相交于点E，BE交CD于点P，∠1+∠2=90°.
(1)AB与CD是否平行？为什么？
(2)试探究∠2与∠3的数量关系，并说明理由.第2课时 利用内错角、同旁内角判定两条直线平行
1.两条直线被第三条直线所截，如果两个角都在直线的内侧，并且在第三条直线的异侧，则这样的一对角叫作内错角；如果两个角在两条直线内侧，在第三条直线同侧，则这两个角叫作同旁内角.
自测1 如图1，∠2的内错角是∠3，∠2同旁内角是∠4.
2.内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.
自测2 如图2，已知直线a，b被直线c所截，若∠1=40°,则当∠2=40 °时,a∥b;若∠3=135°,则当∠2=45 °时，a∥b.
1.如图，已知直线a,b被直线c所截，那么∠1的内错角是（B）
A.∠2
B.∠3
C.∠4
D.∠5
2.如图，与∠1是同旁内角的是（D）
A.∠2
B.∠3
C.∠4
D.∠5
3.如图，已知∠1=∠2，则（B）
A.∠3=∠4
B.AB∥CD
C.AD∥BC
D.以上结论都正确
4.如图所示，下列条件中不能推出AB∥CE的条件是（C）
A．∠A=∠ACE
B．∠B=∠ECD
C．∠B=∠ACE
D．∠B+∠BCE=180°
5.如图，如果∠1=60°，∠2=120°，∠D=60°，那么AB与CD平行吗？BC与DE呢？
解：AB∥CD，BC∥DE．
理由如下：
因为∠1=60 °，∠ABC=∠1，
所以∠ABC=60 °．
又因为∠2=120 °，
所以∠ABC+∠2=180 °．
所以AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）．
又因为∠2+∠BCD=180 °，
所以∠BCD=60 °．
因为∠D=60 °，
所以∠BCD=∠D．
所以BC∥DE（内错角相等，两直线平行）．
［易错提醒：注意判定条件所对应的平行线］
6.如图，已知下列条件：①∠1=∠2；②∠3+∠5=180°；③∠1+∠3=180°；④∠2=∠5.其中可以推出a∥b的是③④（写出所有正确的序号）．
A基础过关
7．（黔东南州校级期中）如图，下列推理中正确的是（C）
A．因为∠1=∠4，所以AD∥BC
B．因为∠2=∠3，所以AB∥CD
C．因为∠BAD+∠D=180°，所以AB∥CD
D．因为∠D+∠3+∠4=180°，所以AB∥CD
8.如图，点E在直线AB上，EC平分∠AED,∠DEB=100°,如果要使AB∥CD,那么∠C的度数为（B）
A.30°
B.40°
C.50°
D.60°
9.工人师傅对一个如图所示的零件进行加工，把材料弯成了一个40°的角，然后准备在A处第二次加工拐弯，要保证弯过来的部分与BC保持平行，则第二次弯的角度应是40 °或140 °．
10.如图,已知直线AB和直线外的点C，利用尺规作图过点C作直线DE,使DE∥AB.
B能力提升
11.如图，若∠3=∠4，则下列条件中，不能判定AB∥CD的是（D）
A．∠1=∠2
B．∠1=∠3且∠2=∠4
C．∠1+∠3=90°且∠2+∠4=90°
D．∠1+∠2=90°
12.如图，将一副三角尺的两直角顶点C叠放在一起，其中∠A=30°，∠D=45°，若绕顶点C转动三角尺DCE，则当∠BCD=105 °或75 °时，DE∥AB．
13.如图，点P在CD上，已知∠BAP+∠APD=180°,∠1=∠2,请填写AE∥PF的理由.
解：因为∠BAP+∠APD=180°(已知)，
∠APC+∠APD=180°(平角定义),
所以∠BAP=∠APC(等量代换).
又因为∠1=∠2(已知)，
所以∠BAP-∠1=∠APC-∠2(等式的性质),
即∠EAP=∠APF.
所以AE∥PF(内错角相等，两直线平行).
C素养升华
14.如图，已知∠ABD和∠BDC的平分线相交于点E，BE交CD于点P，∠1+∠2=90°.
(1)AB与CD是否平行？为什么？
(2)试探究∠2与∠3的数量关系，并说明理由.
解：（1）AB∥CD.理由如下：
因为BE,DE分别平分∠ABD，∠BDC,
所以∠1=∠ABD,∠2=∠BDC.
因为∠1+∠2=90 °,
所以∠ABD+∠BDC=180 °.
所以AB∥CD(同旁内角互补，两直线平行)；
(2)∠2+∠3=90 °，理由如下：
因为DE平分∠BDC,所以∠2=∠EDP.
因为∠1+∠2=90 °,所以∠BED=90 °.
所以BE⊥DE.所以∠PED=90 °.
所以∠3+∠EDP=90 °.
又因为∠2=∠EDP,所以∠2+∠3=90 °.
