湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

湖南省长沙市第一中学 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.抛物线 = 2 2的焦点坐标是( )
1 1 1 1
A. (0, ) B. ( , 0) C. (0, ) D. ( , 0)
2 2 8 8
2.某大学开设篮球、足球等5门球类选修课，要求每个学生都必须选择其中的一门课程.现有小明、小强、小
豆3位同学进行选课，其中小明不选篮球和足球，则不同的选课方法共有( )
A. 36种 B. 60种 C. 75种 D. 85种
3.已知函数 ( )的导函数 ′( )的图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A. 函数 ( )有最小值
B. 函数 ( )有最大值
C. 函数 ( )有且仅有三个零点
D. 函数 ( )有且仅有两个极值点
4.在等比数列{ 8 }中，已知 2 = 2， 4 6 = 2 ，则公比 =( )
A. 2 B. √ 2 C. 2 D. ±2
5.已知抛物线 2 = 4 的焦点为 ，点 为抛物线上动点，点 为圆( 1)2 + ( 4)2 = 1上动点，则| | +
| |的最小值为( )
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
6.已知函数 ( ) = 2( ∈ )有三个不同的零点，则实数 的取值范围是( )
4 2 2 4
A. (0, 2) B. (0, ) C. (0, 2) D. (0, )
7.已知函数 ( ) = ( )， ∈ (0,2013 )，则函数 ( )的极大值之和为( )
2 (1 2012 ) (1 2012 ) (1 1006 ) (1 1006 )
A. 2 B. C. D. 1 1 2 1 2 1
8.已知某正三棱柱的外接球的表面积为8 ，则该正三棱柱的体积的最大值为( )
A. 4√ 2 B. 3√ 2 C. 2√ 2 D. √ 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.以下四个命题表述正确的是( )
第 1 页，共 8 页
A. 直线 + 4 12 = 0( ∈ )恒过定点(0,3)
B. 圆 ： 2 + 2 2 8 + 13 = 0的圆心到直线4 3 + 3 = 0的距离为2
C. 圆 ： 2 + 21 + 2 = 0与圆 2：
2 + 2 4 8 + 4 = 0恰有三条公切线
D. 两圆 2 + 2 + 4 4 = 0与 2 + 2 + 2 12 = 0的公共弦所在的直线方程为： + 2 + 6 = 0
10.已知曲线 ： 2 = | | + 1，则下列判断正确的是( )
A. 曲线 既是轴对称图形，又是中心对称图形
√ 3
B. 曲线 上的点与原点的最小距离为
2
3 3
C. 曲线 在第一、四象限的任意一点到点( , 0)的距离与其横坐标之差为定值
4 2
D. 直线 ： = + ，则该直线与曲线 无公共点的充要条件为 = 0且 ∈ ( 1,1)
11.已知正项数列{ }满足 1 = 1， +2( +1 ) = ( +2 +1)( ∈
)，记 = 1 2 + 2 3 + +
10
+1， 10 = ，则( ) 11
1 2024
A. { }是等差数列 B. = C. < 1 D. ∑50
2025 2025 =1
> 3

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
3 +
12.若曲线 = ( ) = + 在 = 2处的切线的倾斜角为 ，则 = ______．
2 sin cos
+1
( 1)
13.若不等式( 1) < 2 + 对于任意正整数 恒成立，则实数 的取值范围为______．

2 2
14.已知双曲线 ：2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点为 ，过点 作双曲线的一条渐近线的垂线 ，垂足为 ，
若直线 与双曲线 的另一条渐近线交于点 ，且 + 3 = 4 ( 为坐标原点)，则双曲线 的离心率为
______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
在△ 中， = 3， = 2， 为 边上一点，且 平分∠ ．

(1)若 = 3，求 ；


(2)若∠ = ，求线段 的长．
3
第 2 页，共 8 页
16.(本小题15分)
如图，三棱锥 由三个以 为公共直角顶点的直角三角板拼成，其中直角三角板 和 为两个全

等的直角三角板，且∠ = ， ， 分别为 ， 的中点，平面 与平面 的交线为 ．
6
(1)证明： ⊥平面 ；
(2)点 在直线 上，直线 与直线 的夹角为 ，直线 与平面 的夹角为 ，是否存在点 ，使得 + =

？如果存在，请求出| |；如果不存在，请说明理由．
2
17.(本小题15分)
已知等差数列{ }的首项 1 = 1，公差为 ( ≠ 0)，其前 项和为 ， = +1 2 ．
(1)求证：数列{ +1 }是等差数列；
2 1 3

(2)若{ }也是等差数列，求数列{ }的前 项和 ． +1
18.(本小题17分)
2 2
在平面直角坐标系 中， (√ 3, 0)为双曲线 1： 2 2 = 1( > 0, > 0)的右焦点，以 为圆心，1为半径
的圆与双曲线 的渐近线相切．
(1)求 1的方程；
(2)记 1的左、右顶点为 ， .弦 ⊥ 轴，记直线 与直线 交点为 ，其轨迹为曲线 2．
(Ⅰ)求 2的方程；
(Ⅱ)直线 1， 2是曲线 2的任意两条切线，且 1// 2，试探究在 轴上是否存在定点 ，满足点 到 1， 2的距
离之积恒为1？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
第 3 页，共 8 页
19.(本小题17分)
设函数 ( ) = 2 2 . ( ∈ )
(1)当 = 2时，讨论函数 = ( )的单调性；
+
(2)曲线 = ( )与直线 = 交于 ( , )， ( , )两点，求证： ′( 1 21 1 2 2 ) > 0； 2
1 1 1 1
(3)证明： + + + < ( ≥ 2, ∈ )．
3 5 2 1 2
第 4 页，共 8 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】3
3
13.【答案】 2 ≤ <
2
√ 6
14.【答案】
2

15.【答案】解：(1)设∠ = ∠ = , ∈ (0, )，
2
因为 平分∠ ， = = 3，故∠ = ∠ = 2 ，
sin∠ 2
在△ 中，由正弦定理，可得 = = = 2 ，
sin∠ sin
2+ 2 2 32+22 32 1
又由余弦定理有 2 = = = = ，
2 2×3×2 3
1 √ 6
又 2 = = 2 2 1，所以 = ，
3 3
2√ 6
故 = 2 = ；
3
√ 3
(2)由∠ = ，得 = ，
3 2
1 1
又由 △ = 2 = △ + △ = ( + ) ， 2 2
2 12 6√ 3
得 = = = ．
( + )sin 5 5
16.【答案】解：(1)证明：∵ ， 分别为 ， 的中点，∴ // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
第 5 页，共 8 页
∴ //平面 ，
又 平面 ，平面 ∩平面 = ，
∴ // // ，
∵ ⊥ ， ⊥ ，且 ∩ = ，
， 平面 ，
∴ ⊥平面 ，∴ ⊥平面 ．
(2)以 为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴，建立空间直角坐标系，
设 = 2，则 (2√ 3, 0,0)， (0,2,0)， (0,0,0)， (0,0,2)， (0,0,1)，
∵ // ，设 ( , 2,0)
1
，则 = ( , 2, 2)， = = (√ 3, 0,0)， = (0,2, 1)，
2
设平面 的法向量 = ( , , )，

{ = √ 3 = 0则 ，取 = 1，得 = (0,1,2)，
= 2 = 0
由题意 = |cos < , > | = = |cos < , > |，
2 4
∴ | | = | | 2√ 5
√ ，解得| | = ， 2+8 √ 5 √ 2+8 5
∴符合题意的点 存在， 2√ 5| | = ．
5
17.【答案】(1)证明：由题知， +1 = +1 +2 2 +1 ( +1 2 )，
又{ }是公差为 的等差数列，
故 +1 = 2 +1 2 +1 = 2 +1( 1)，
( +2 +1) ( +1 ) = 2 +2( 1) 2 +1( 1) = 2 ( 1)，
故( +1 ) ( 1)为定值，
又 2 1 = 2(
2 1)，
所以{ +1 }是首项为2(
2 1)，公差为2( 2 )的等差数列．
(2)解：因为{ }是等差数列，
所以( +2 +1) ( +1 ) = 2 ( 1) = 0，
即得 = 0(舍)或 = 1，
第 6 页，共 8 页
故 = ，
2 1 3
(2 1) 3 [3 ( +1)] 3 3 +1 3
故 = = = ，
+1 ( +1) ( +1) +1
32 3 33 32 3 +1 3 3 +1
故 = + + + = 3． 2 1 3 2 +1 +1

18.【答案】解：(1)由题知，取 1的一条渐近线 = ，设以 为圆心1为半径的圆与 = 相切于 ，

则 △ 中，tan∠ = ，且| | = ，

所以 = | | = 1， = | | = √ 2，
2
故所求双曲线 21的方程为 = 1； 2
(2)(Ⅰ)设 ( 0, 0)，则 ( 0, 0)，设点 ( , )，又 ( √ 2, 0)， (√ 2, 0)，

所以直线 的方程为 = 0 ( +√ 2)①，
0+√ 2

直线 的方程为 = 0 ( √ 2)②，
0 √ 2
2
2
① × ②得 = 0 ，
2 2 20 2
2 2
2
1
又 ( 0 , 0)在双曲线
2 = 1上，所以 0 20 = 1，可得
0
2 = ， 2 2 0 2 2
2 1 2
∴ 2 = ，化简可得 +
2 = 1， ≠ 0，
2 2 2
2
即曲线 2的方程为 +
2 = 1, ≠ 0；
2
(Ⅱ)由 2不包括椭圆左，右顶点知 1， 2的斜率存在，
设 1： = + ， 2： = + ( ≠ )，
= + ,
联立{ 2 2 (1 + 2
2) 2 + 4 + 2 2 2 = 0，
+ = 1
2
由 = 0 2 = 1 + 2 2，
同理 2 = 1 + 2 2，故 2 = 2 = ．
| + | | |
设存在 ( , 0)，则 = 1 | 2 2 2| = 1 + 2，又 2 = 1 + 2 2，
√ 2 2 1+ √ 1+
所以| 2(2 2)+ 1| = 1 + 2 2(1 2) = 0或 2( 2 3) = 2(不恒成立，舍去)，
所以 2 1 = 0，所以 = ±1，所以点 (±1,0)．
综上可得：存在； (1,0)或( 1,0)．
第 7 页，共 8 页
19.【答案】解：(1)当 = 2时， ( ) = 2 2 4 ，
4 2( +1)( 2)
′( ) = 2 2 = ，

∈ (0,2)时， ′( ) < 0， ( )单调递减； ∈ (2,+∞)时， ′( ) > 0， ( )单调递增．
2
(2)证明： ( ) = 2 + 2 ，则 ′( ) = + 2 ，

由题意，知 ( ) = 有两解 1， 2，不妨设 1 < 2，
+ 2 2
要证 ′( 1 2 ) > 0，即证 + + > 0，
2 + 1 21 2
①若 ≤ 0，则 1 + 2 > 0；
2 (2 + )( )
②若 > 0，由 ′( ) = +2 = 知， ( )在(0, )上单调递减，在( ,+∞)上单调递增，也

有 1 + 2 > ，
2 +
综合①②知， 1 +
1 2
2 > ，∴只需证 < ( )． 1+ 2 2
又 2 + 21 1 1 = ，
2 2 +
2
2 2 = ，
2
∴两式相减，整理得 = 1 2 ，代入( )式，
1+ 2 1 2
1
1 +
2( 1)
得 2 < 1 2

，即 2 1 + ln
1 < 0．
1 2 2 +1 2
2
1 2( 1)
令 = (0 < < 1)，即证 + < 0．
2 +1
2
2( 1) 4 1 ( 1)
令 ( ) = + (0 < < 1)，则 ′( ) = 2 + = 2 > 0， +1 ( +1) ( +1)
∴ ( )在其定义域上为增函数，
∴ ( ) < (1) = 0，
1+ 2
∴ ′( )> 0成立．
2
1 2 1+ 2 2 1 2 1
(3)证明：由(2)知， < ，故 > ， 2 > ， 1 2 2 2 1+ 12
ln( 1) 1
取 2 = ， 1 = 1，则 > ( ≥ 2)， 2 2 1
1 1 1 2 1+ 3 2+ + ln( 1) 1
累加，得 + + + < = ( ≥ 2)．
3 5 2 1 2 2
第 8 页，共 8 页