黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学 2024-2025 学年高一上学期期末数
学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 300° =( )
√ 3 1 1 √ 3
A. B. C. D.
2 2 2 2
2.设集合 = { ∈ | ≤ 1}， = { |2 > 0.5}，则集合 ∩ =( )
A. ( 1,1] B. [0,1] C. {0,1} D. { 1,0}
3.已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 ≥ 0时， ( ) = log2( + 1)，则 ( 3) =( )
A. 2 B. 1 C. 2 D. 1
4.已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < )的部分图象如图所示，
( ) =( )

A. ( ) = 2 (2 + )
6
5
B. ( ) = 2 (2 + )
6
1
C. ( ) = 2 ( + )
2 6
1
D. ( ) = 2 ( )
2 3
5.下列说法正确的是( )
A. 命题“ ∈ ， 2 + 2 + 1 ≤ 0”的否定是“ ∈ ， 2 + 2 + 1 ≥ 0”
B. 是第二象限角的必要不充分条件是 > 0且 < 0
C. 函数 ( ) = 2 1 1的零点是(1,0)
2
D. ( ) = + 的单调递增区间为( ∞, √ 2), (√ 2, +∞)

4 24° 24°
6.化简 + 12° =( )
12
A. 1 B. √ 2 C. √ 3 D. 2
7.随着冬天的到来，越来越多的旅客从全国各地来到“尔滨”赏冰乐雪，今年冰雪大世界以“冰雪同梦，
亚洲同心”为主题，一睹冰雕雪雕风采的同时还能体验各中冰上项目，如抽索，大滑梯，摩天轮等.如图所
示，某地摩天轮最高点离地面高度128 ，最低点离地面高度8 ，设置若干个座舱，游客从离地面最近的
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位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24 ，游客甲坐上摩天轮的座舱，开始转动
后距离地面高度为 ，下列说法正确的是( )
A. 摩天轮的轮盘直径为60

B. 关于 的函数解析式为 = 60 ( ) + 8
12 2
3
C. 关于 的函数解析式为 = 60 ( + ) + 68
12 2
D. 在游客乘坐一周的过程中，游客有16 时间距地面高度超过38

8.设函数 ( ) = cos( + )( > 0)在( , )上恰有两个零点，且 ( )的图象在( , )上恰有两个最高点，则
4 3 2 3 2
的取值范围是( )
63 33 63 33 45 23 45 23
A. [ , ] B. ( , ) C. [ , ] D. ( , )
4 2 4 2 4 2 4 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列各式比较大小，正确的是( )
A. 0.2300 > 0.3400 B. 0.2300 < 0.3400
1 1
C. 0.5 > 26 D. 0.5 < 6 5 5 2
10.下列有关最值的结论中，正确的是( )
1
A. 当 < 3时，函数 = + 的最小值为5
3
B. 若 ， 均为正数，且 + 4 = 4 ，则 的最小值为1
9
C. 若 ， 均为正数，且 + = 3，则 2 + 2的最小值为
2
1 1 1
D. 若 ， ， 均为正数，且 + + = 1，则 + + 的最小值为9

11.已知函数 ( )的定义域为 ， ( + ) ( ) = 2( ) 2( )，且当 > 0时， ( ) > 0，则( )
A. ( )是奇函数 B. ( )是以1为周期的周期函数
1
C. 当0 < < 1时， ( ) > ( ) D. ( 2 + 1) ≥ (2 )对 ∈ 恒成立

三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
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12.函数 ( ) = lg(2 1)的定义域为______．
13.《九章算术》是中国古代的数学名著，其中《方田》一章涉及到了弧田面积的
计算问题，如图所示，弧田是由弧 和弦 所围成的图中阴影部分.若弧田所在扇
2
形的圆心角为 ，扇形的弧长为2 ，则此弧田的面积为______．
3
2 +1 + 1, ≤ 0
14.设函数 ( ) = { ，若关于 的函数 ( ) = 2( ) ( 2) ( ) + 4恰好有五个零点，则实
| |, > 0
数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
3
sin( )+2 (5 + )
(1)已知角 终边所在直线经过点( 4,3)，求 2 的值；
3 ( + ) cos( )
2
1 4
(2)已知 = ， ∈ (0, )， = ， ∈ ( , )，求cos( + )的值．
5 2 5 2
16.(本小题15分)
2
已知定义在( 1,1)上的函数 ( ) = 2． 1+
(1)判断函数 ( )的单调性，并用定义证明；
(2)解不等式 ( 1) + (3 ) < 0．
17.(本小题15分)
已知函数 ( ) = (4 2 + 1) + 是偶函数．
(1)求实数 的值；
17
(2)若 ( ) ≤ 2 ，求 的集合． 4
18.(本小题17分)
3
已知函数 ( ) = 3√ 3 + 3 2 ．
2
(1)求函数 ( )的最小正周期和单调递增区间；

(2)若 ∈ [ , ]，求函数 ( )的值域；
4 3

(3)若方程 ( ) = 2在 ∈ [0, ]上有两个不相等的实数根 ，
3 1 2
，求cos( 1 2)的值．
19.(本小题17分)
已知函数 ( ) = | 2 | + ， ( ) = 2 + 4 ( ∈ )．
(1)若 = 1，求函数 ( )的单调增区间；
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(2)若方程 ( ) = ( )有3个不同的实根 1， 2， 3，且 1 < 2 < 3求实数 的取值范围；
1 1
(3)在(2)的条件下，若存在 1， 2， 3，使不等式 + < 0成立，求实数 的取值范围． 1 2 3
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
5
12.【答案】( + 2 , + 2 )， ∈
6 6
9√ 3
13.【答案】3
4
19
14.【答案】( , 7)
3
15.【答案】解：(1) ∵角 终边所在直线经过点( 4,3)，
3 3 4
∴ = = ， = ，
2 2 5 5√ ( 4) +3
3
sin( )+2 (5 + )
2 2 2∴ = = ；
3 ( + ) cos( ) 3 +cos 13
2
1 2√ 6
(2)已知 = ， ∈ (0, )，则 = √ 1 sin2 = ，
5 2 5
4 3
= ， ∈ ( , )，则 = √ 1 cos2 = ，
5 2 5
2√ 6 4 1 3 3+8√ 6
∴ cos( + ) = = × ( ) × = ．
5 5 5 5 25
16.【答案】解：(1)函数 ( )在( 1,1)上是增函数，
2 2 2( )(1 )
下面证明：设 1 < 1 < 2 < 1，则 ( ) ( ) =
1 2 = 1 2 1 21 2 ， 1+ 21 1+
2
2 (1+
2)(1+ 21 2)
∵ 1 < 1 < 2 < 1，∴ 1 < 1 2 < 1，且 1 2 < 0，则1 1 2 > 0，
则 ( 1) ( 2) < 0，即 ( 1) < ( 2)，
∴函数 ( )在( 1,1)上是增函数．
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2
(2) ∈ ( 1,1)， ( ) = 2 = ( )，故 ( )是奇函数， 1+
∵ ( 1) + (3 ) < 0，∴ ( 1) < (3 ) = ( 3 )，
∵ ( )是定义在( 1,1)上的增函数，
1 < 1 < 1
1
∴ { 1 < 3 < 1 ，解得0 < < ，
4
1 < 3
1
∴不等式的解集为(0, )．
4
17.【答案】解：(1)由题意知 ( ) = 2(4 + 1) + 的定义域为 ，
( ) = (4 2 + 1) = ( ) = (4

2 + 1) + ，
整理得2 + (4 + 1) (4 2 2 + 1) = 0，
4 +1 (4 +1) 4 (4 +1) 4
而 2(4
+ 1) 2(4
+ 1) = 2 = 2 = = 4

2 2 = 2 ， 4 +1 (4 +1) 4 4 +1
∴ 2 + 2 = 0，即 = 1；
4 +1
(2) ( ) = 2(4
+ 1) = 2(4
+ 1) 22 = 2 ， 2
17
∵ ( ) ≤ 2 ， 4
4 +1 17 4 +1 17
即 2 ≤ 2 ，∴ ≤ ， 2 4 2 4
2
+1 17设2 = ( > 0)，则 ≤ ，
4
∴ 4 2 17 + 4 ≤ 0，
∴ (4 1)( 4) ≤ 0，
1
∴ ≤ ≤ 4，
4
1
∴ ≤ 2 ≤ 4，
4
∴ 2 ≤ ≤ 2，
故解集为{ | 2 ≤ ≤ 2}．
3 3√ 3 1+ 2 3
18.【答案】解：(1) ( ) = 3√ 3 + 3 2 = 2 + 3 × = 3 (2 + )，
2 2 2 2 6

即 ( ) = 3 (2 + )，最小正周期为 ，
6

令 + 2 ≤ 2 + ≤ + 2 ，解得 + ≤ ≤ + ， ∈ ，
2 6 2 3 6

故单调递增区间为[ + , + ]( ∈ )；
3 6
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(2)因为 ≤ ≤ ，
4 3
5
所以 ≤ 2 + ≤ ，
3 6 6
√ 3
所以 ≤ sin(2 + ) ≤ 1，
2 6
3√ 3
即 ( )的值域为[ , 3]；
2
5
(3) ∈ [0, ]时， ≤ 2 + ≤ ，
3 6 6 6

因为 ( ) = 2在 ∈ [0, ]上有两个不相等的实数根 ，
3 1 2
，
2
所以sin(2 1 + ) = ， 6 3

2 1+ +2 2+6 6 则 = ，
2 2

所以 2 = ， 3 1
2
所以cos( 1 2) = cos(2 1 ) = sin(2 1 + ) = ． 3 6 3
2 , ≥ 2
19.【答案】解：(1) = 1时， ( ) = {
2
，
+ 3 , < 2
3
则单调增区间为( ∞, )，(2, +∞)；
2
2 2 + 2 4 , ≥ 2
(2)设 ( ) = ( ) ( ) = {
2
，
+ 2 + 2 4 , < 2
方程 ( ) = ( )有3个不同的实根 1， 2， 3，
即为函数 ( )有3个不同的零点 1， 2， 3，
2, ≥ 0
当 = 0时， ( ) = { 2 ，在 上单调递增，只有1个零点 = 0，不符合题意； , < 0
当 > 0时，因为函数 ( ) = | 2 | + 2 4 ( ∈ )有3个不同的零点 1， 2， 3，
且 ( )在( ∞, )上单调递增，在( , 2 )上单调递减，在(2 , +∞)上单调递增，
所以 ≥ 2 时， 2 2 + 2 4 = 0有1个根，
< 2 时， 2 + 2 + 2 4 = 0有2个根，
( ) = 2 2 4 > 0
故{ ，
(2 ) = 2 4 < 0
解得2 < < 4；
当 < 0时，当 ≥ 2 时，
方程 2 2 + 2 4 = 0的判别式 = 4 2 4( 2 4 ) = 16 < 0，
可知 2 2 + 2 4 = 0无解，
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所以函数 ( )不可能有3个不同的零点 1， 2， 3，
所以不符合题意．
综上 的取值范围是(2,4)；
(3)由(1)知2 < < 4， 1，
2 2
2是方程 + 2 + 4 = 0的两个不等实根，
则 1 + 2 = 2 ，
2
1 2 = 4 ，
是方程 2 23 2 + 4 = 0的较大根，
即 3 = + 2√ ，
1 1
由 + < 0，
1 2 3
+
得 > 3
1 2，
1 2
+
记 1 23 = ( )， 1 2
2 ( +2√ )
则 ( ) = ，
4 2
即等价于存在 ∈ (2,4)，使 > ( )，即 > ( ) ，
2 ( +2√ ) 2( +2√ ) √ (2+√ ) 2√ 2
因为 ( ) = = = = = ，
4 2 4 (2 √ )(2+√ ) 2 √ 2 1
√
显然 ( )在(2,4)上单调递增，
所以 ( ) > (2) = 2 + 2√ 2，
所以 的取值范围是(2 + 2√ 2, +∞)．
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