2024-2025学年上海市普陀区宜川中学高一（上）期末数学试卷（含答案）

2024-2025学年上海市普陀区宜川中学高一（上）期末数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题3分，共12分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.古人云“一屋不扫，何以扫天下”，这句谚语说明古人认为“能扫一屋”的一个条件是“能扫天下”．
A. 充分条件 B. 必要条件
C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件
2.已知，，且，那么关于的不等式，其解集不可能是( )
A. B. C. D.
3.对任意实数和正整数，定义集合，集合当中的元素个数为个时，的值不可能是( )
A. B. C. D.
4.已知定义在上的函数，对于给定集合，若对任意，，当时都有，则称是“封闭”函数已知给定两个命题：
：若是“封闭”函数，则是“封闭”函数．
：若是“封闭”函数，则在区间上严格减．
则下列正确的判断为( )
A. 是真命题，是真命题 B. 是假命题，是真命题
C. 是真命题，是假命题 D. 是假命题，是假命题
二、填空题：本题共12小题，每小题3分，共36分。
5.已知全集，，集合，，则 ______．
6.不等式的解集为______．
7.化简： ______．
8.已知，关于的函数在区间上是严格减函数，且在该区间函数值不恒为负，则实数 ______．
9.用和表示 ______．
10.已知一个扇形的周长是，面积是，则其圆心角的弧度 ______．
11.已知，关于的函数不是奇函数也不是偶函数，那么的取值范围是______．
12.下列关于的函数中，在其定义域上是增函数的是填序号：______．
；；；；．
13.若不等式对恒成立，则实数的取值范围是______．
14.已知角，均为锐角，且，满足，的值为______．
15.已知函数，若对于任意的正整数，在区间上存在个实数、、、，使得成立，则的最大值为______
16.已知函数的定义域为，若存在常数，使得对任意的，都有，且的图像是一条连续不断的曲线，则函数的值域为______．
三、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，已知．
若，求该三角形的外接圆半径；
当时，求该三角形面积的最大值．
18.本小题分
已知．
求的值；
求的值．
19.本小题分
已知函数是偶函数．
求的值；
若函数的图像与函数的图像没有交点，求实数的取值范围；
若函数，是否存在实数使得的最小值为．
20.本小题分
为了净化空气，某科研单位根据实验得出，在一定范围内，每喷洒个单位的净化剂，空气中释放的浓度单位：毫克立方米随着时间单位：小时变化的函数关系式近似为若多次喷洒，则某一时刻空气中的净化剂浓度为每次投放的净化剂在相应时刻所释放的浓度之和，由实验知，当空气中净化剂的浓度不低于毫克立方米时，它才能起到净化空气的作用．
若一次喷洒个单位的净化剂，则净化时间约达几小时？结果精确到，参考数据：，
若第一次喷洒个单位的净化剂，小时后再喷洒个单位的净化剂，设第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为毫克立方米，其中．
求的表达式；
求第二次喷洒后的小时内空气中净化剂浓度的最小值．
21.本小题分
已知函数的定义域为，现有下面两种对变换的操作：
变换：，其中．
变换：，其中．
若，，对进行变换后得到函数，解方程．
若，对进行变换后得到函数，解不等式．
若函数在上是严格增函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数，对函数先作变换，再作变换，得到函数对任意，若恒成立，证明：函数在上是严格增函数．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.或
9.
10.或
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.解：因为，
所以，即，
因为，所以，
所以或，即或，
所以或，该三角形的外接圆半径或；
因为，所以，，
所以，
因为，
所以，
所以
所以该三角形面积的最大值为．
18.解：，且，，，
，
，且，，
，
；
，，，
，
，
，
，
．
19.解：函数是偶函数，
，即恒成立，
，；
若函数的图像与函数的图像没有交点，
则方程无解，即无解，
令，
在上是单调减函数，且，，，
故的范围为；
由题意，，
令，则，，
当即时，当时，函数的最小值，解得；
当即时，
当时，函数的最小值，解得舍去，
当即时，当时，函数的最小值，
解得舍去，
综上所述，存在满足条件．
20.解：根据已知可得，一次喷洒个单位的净化剂，浓度，
则当时，由，可得，所以；
当时，由，可得，，解得，所以．
综上所述，，
所以一次喷洒个单位的净化剂，则净化时间约达小时；
由题意可知，第一次喷洒个单位的净化剂，
小时后的浓度为毫克立方米，
所以第二次喷洒小时后空气中净化剂浓度为，
，
当且仅当，即时取等号，
答：第二次喷洒小时时空气中净化剂浓度达到最小值毫克立方米．
21.解：由，，对进行变换后，
得，
即，解得；
由，对进行变换后得到函数
，
又，即，，
则当，即时，，
解得或，即或；
当，即时，，即，不等式恒成立，即；
综上所述，的范围为或；
证明：由题意对函数先作变换可得，
再作变换，得到函数，
对函数先作变换可得，
再作变换，得到函数，
所以对任意，，
当时，，又函数在上是严格增函数，
则，
由于，可知且，若其中，则，
即当时，，
任取，令，存在，使，
由函数在上是严格增函数，
可知，则，
依此类推可得，
即函数在上是严格增函数．
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