上海市黄浦区向明中学2024-2025学年高一上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

上海市黄浦区向明中学 2024-2025 学年高一上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，共 14 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.函数 ( ) = + 2的图像恒过定点 ，则 的坐标是( )
A. (0,1) B. (1,0) C. (1,2) D. (0,3)
1 1
2.若关于 的不等式 2 + 2( 1) + 2 < 0的解集为( 1, 2)，且 + = 2，则实数 的值为( ) 1 2
A. 4 B. 1 C. 1 D. 4
5
2, 0 ≤ ≤ 2
3.已知函数 ( )是定义在 上偶函数，当 > 0时， ( ) = {16 ，若函数 = ( ) 仅有4个
1
( ) + 1, > 2
2
零点，则实数 的取值范围是( )
5 5 5 5
A. (1, ) B. (0, ) C. [0, ) D. ( ∞, )
4 4 4 4
4.一只蜜蜂从蜂房 出发向右爬，每次只能爬向右侧相邻的两个蜂房(如图)，例如：从蜂房 只能爬到1号或
2号蜂房，从1号蜂房只能爬到2号或3号蜂房，…，以此类推，用 表示蜜蜂爬到 号蜂房的方法数，则 10 =( )
A. 10 B. 55 C. 89 D. 99
二、填空题：本题共 12 小题，共 42 分。
5.集合 = ( 1,1)， = ，则 ∩ = ______．
6.设命题 ： ∈ ， 2 ≥ ，则命题 的否定为______．
7.已知等差数列{ }满足2 1 + 3 11 = 20，则 7的值为______．
8.已知数列{ 2 }的前 项和 = + 3 ，则其通项公式为 =______．
1 2
9.已知正实数 、 满足 + = 1，则2 + 的最小值为______．

10.已知幂函数 ( ) = ( 2 1) 在 ∈ (0, +∞)上单调递减，则实数 =______．
11.设等比数列{ }的各项均为正数，且 5 6 + 4 7 = 18，则log3 1 + log3 2 + + log3 10 =______．
12.已知 5 = ， 7 = ，则log352 = ______. (用 ， 的代数式子表示)
13.函数 ( ) = ln( 2 8 + 12)的单调递增区间为______．
14.已知集合 = { | 2 3 + 2 = 0}，集合 = { | 2 + 3 5 = 0}，若 ∪ = ，则实数 的取值
集合为______．
第 1 页，共 6 页
15.已知对于任意的 ， ∈ ，恒有 ( ) = ( ) ( )，且当 > 0时， ( ) < 0，则能使 ( 2) > ( 4)
成立的一个 的整数值为______．
1 1
16.已知奇函数 ( )的定义域为 ，当 > 0时， ( ) = 2 + ，若对任意的 ∈ [ , ]， ( + ) < ( )恒
2 2
成立，则实数 的取值范围是______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 44 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题7分)
求下列关于 的不等式的解集：
5
(1) ≥ 1；
7
(2)2 2 2 3 2 > 0．
18.(本小题8分)
已知全集 = ，集合 = { || 3| + | 2| = 1}， = { |( )( 2 1) < 0}．
(1)若 ∩ = ，求实数 的取值范围；
(2)命题 ： ∈ ，命题 ： ∈ ，若 是 的必要条件，求实数 的取值范围．
19.(本小题8分)
1
已知数列{ }的首项为 1 = ，且满足 =
．
2 +1 4 +1
1
(1)求证{ }为等差数列，并求出数列{

}的通项公式；


( 1)
(2)设数列{ }的前 项和为 ，求 ．
20.(本小题9分)
某次展会上，跨国 公司带来了高端空调模型参展，通过展会调研，中国甲企业计划在明年与该跨国公司合
资生产此款空调.生产此款空调预计全年需投入固定成本260万元，每生产 千台空调，需另投入资金 万元，
10 2 + , 0 < < 40
且 = {901 2 9450 +10000 ，经测算，当生产10千台空调需另投入的资金 = 4000万元.现每千台空
, ≥ 40

调售价为900万元时，当年内生产的空调当年能全部销售完．
(1)求企业年利润 (万元)关于年产量 (千台)的函数关系式；
(2)产量为多少(千台)时，企业所获年利润最大？最大年利润多少？(注：利润=销售额 成本)
21.(本小题12分)
已知函数 ( ) = 2 + 2 (常数 ∈ )．
(1)若 = 1，且 ( ) = 4，求 的值；
第 2 页，共 6 页
(2)若 ≤ 4，求证：函数 ( )在[1, +∞)上是增函数；
(3)当 ( )为奇函数时，存在 ∈ [1,2]使得不等式 2( ) ( ) + 1 < 0成立，求实数 的取值范围．
第 3 页，共 6 页
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】{0}
6.【答案】 ∈ ， 2 <
7.【答案】4
8.【答案】2 + 2( ∈ )
9.【答案】8
10.【答案】 1
11.【答案】10
1
12.【答案】
+
13.【答案】(6, +∞)
14.【答案】{ |2 ≤ < 10}
15.【答案】 1(答案不唯一， = 1或 = 0或 = 1其中一个即可)
1 √ 5
16.【答案】( , 0)
2
5 2
17.【答案】解：(1) ≥ 1，∴ ≥ 0，
7 7
( 2)( 7) ≥ 0
∴ { ，∴ > 7或 ≤ 2，
7 ≠ 0
∴不等式的解集( ∞, 2] ∪ (7，+∞)．
(2)①当 = 0时，则 2 = 0不成立， ∈ ，
②当 ≠ 0，即 2 > 0时，
2 1
令2 2 2 3 2 = 0，则 = 或 = ，
2
2 1 2 1
若 > 0时， > ，∴ > 或 < ，
2 2
2 1 2 1
若 < 0时， < ，∴ < 或 > ，
2 2
综上，当 = 0时，不等式的解集为 ，
第 4 页，共 6 页
2 1
若 > 0时，不等式的解集为{ | > 或 < }，
2
1 2
若 < 0时，不等式的解集为{ | > 或 < }.
2
18.【答案】解：(1)集合 = { || 3| + | 2| = 1} = { |2 ≤ ≤ 3}，
1 3
因为 2 + 1 = 2 + 1 = ( )2 + > 0，
2 4
所以 2 + 1 > ，
所以 = { |( )( 2 1) < 0} = { | < < 2 + 1}，
若 ∩ = ，则 2 + 1 ≤ 2或 ≥ 3，
解得 1 ≤ ≤ 1或 ≥ 3，
即实数 的取值范围为{ | 1 ≤ ≤ 1或 ≥ 3}；
(2)由(1)可知，集合 = { |2 ≤ ≤ 3}， = { | < < 2 + 1}，
若 是 的必要条件，则 ，
< 2
则{ ，
2 + 1 > 3
解得 < √ 2或√ 2 < < 2，
所以实数 的取值范围为( ∞, √ 2) ∪ (√ 2, 2)．
1
19.【答案】解：(1)证明：数列{ }的首项为

1 = ，且满足 2 +1 = ， 4 +1
1 1 1
可得 = + 4，即有{ }是首项为2，公差为4的等差数列，
+1
1 1
则 = 2 + 4( 1) = 4 2，即 = ；
4 2

( 1)
(2)数列{ }的前 项和 = 2 ( 1) + 6 ( 1)
2 + 10 ( 1)3+. . . +(4 2) ( 1) ，

= 2 ( 1)
2 + 6 ( 1)3 + 10 ( 1)4+. . . +(4 2) ( 1) +1，
相减可得2 = 2 + 4[( 1)2 + ( 1)3 +. . . +( 1)
] (4 2) ( 1) +1
1
1 ( 1)
= 2 + 4 (4 2) ( 1) +1 = 4 ( 1) +1，
1 ( 1)
即有 = 2 ( 1)
+1．
10 2 + , 0 < < 40
20【. 答案】解：(1)因为 = {901 2 9450 +10000 ，当生产10千台空调需另投入的资金 = 4000万元，
, ≥ 40

所以10 × 102 + 10 = 4000，解得 = 300；
900 260 (10 2 + 300 ),0 < < 40
所以 = { 10000 ，
900 260 (901 + 9450), ≥ 40

第 5 页，共 6 页
10 2 + 600 260,0 < < 40
即 = { 10000 ；
+ 9190, ≥ 40

(2)当0 < < 40时， = 10 2 + 600 260 = 10( 30)2 + 8740，
当 = 30时， 取得最大值为8740；
10000 10000 10000
当 ≥ 40时， = + 9190 = ( + ) + 9190 ≤ 9190 2√ × = 8990，

10000
当且仅当 = ，即 = 100时， 取得最大值为8990；

综上所述：当 = 100时， 取得最大值8990，
即产量为100(千台)时，企业所获年利润最大，最大利润为8990(万元)．
21.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = 2 2 ，
由 ( ) = 4得2 2 = 4，即(2 )2 4 2 1 = 0，解得2 = 2 + √ 5或2 = 2 √ 5(舍)，
∴ = 2(2 + √ 5)；
2 2(4 )
(2)证明： ′( ) = 2 2 = ， 2 2
当 ≤ 4， ≥ 1时，4 ≥ 0，则 ′( ) ≥ 0，
∴函数 ( )在[1, +∞)上是增函数；
(3) ∵ ( )为奇函数，
∴ (0) = 1 + = 0，解得 = 1，经验证， = 1时符合题意，
∴ ( ) = 2 2 ，
又 ( )为 上的单调递增函数，
3 15
∴当 ∈ [1,2]时， ( ) ∈ [ , ]，
2 4
3 15 1
设 = ( )，则原问题等价于存在 ∈ [ , ]，使得 2 + 1 < 0成立，即 > + 成立，
2 4
1 3 15
设 ( ) = + ， ∈ [ , ]，
2 4
3 15
由双勾函数的性质可知， ( )在[ , ]单调递增，
2 4
3 13 13
∴ > ( ) = ，即实数 的取值范围为( , +∞)．
2 6 6
第 6 页，共 6 页