7.3.3 余弦函数的性质与图象 课件（共18张PPT）2024-2025学年人教B版（2019）高中数学必修第三册

(共18张PPT)
7.3.3 余弦函数的性质与图象
人教B版(2019)必修第三册
1.会用“五点法”“图象变换法”作余弦函数和y＝Acos(ωx＋φ)的图象.
2.理解余弦函数的性质，会求余弦函数的周期、单调区间及最值.
通过前面的学习，我们了解了正弦函数的图象与性质，那么余弦函数的图象与性质又是怎样的呢？
问题1：类比正弦函数的定义，说说什么是余弦函数？
对于任意一个角 x，都有唯一确定的余弦 cos x 与之对应，因此 y = cos x 是一个函数，一般称为余弦函数．
用余弦线可以直观地表示余弦函数的函数值，
如图， 就是角 x 的余弦线.
O
P
x
1
M
问题2：余弦函数与正弦函数之间有什么联系？
y=cos x=sin(x + )
思考：作余弦函数的图象，你能给出几种不同的方案呢？请你选择其中一个方案，作出余弦函数的图象.
（1）借助性质作图
（2）平移法
y=cos x=sin(x + )
y=sin x
y=sin(x + )
向左平移
个单位
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

余弦函数的图象
正弦函数的图象
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-3
-4
1

-2
y=sin(x+ )=cosx, x R
余弦曲线
正弦曲线
形状完全一样只是位置不同
定义域 零点
值 域 单调性
周 期 对称轴
奇偶性 对称中心
y
x
o
-
-1
2
3
-2
-3
1

R
[-1,1]
时，
时，
由图象记性质，
由性质画图象
偶函数
()
增区间
减区间
()
()
例1 求下列函数的值域：
(1)y=3cos x+1；(2)y=3cos2x-4cos x+1，x∈[，].
解：(1)∵ – 1 ≤ cos x ≤ 1，∴ -3 ≤cos x ≤ 3，且 – 2 ≤ 3cos x + 1 ≤ 4，
即 – 2 ≤ y ≤ 4.
当 cos x = -1 时，ymin= –2；当 cos x = 1 时，ymax= 4；
因此 y =3cos x + 1 的值域为 [–2，4]
(2)y=3cos2x-4cos x+1，x∈[，].
(2)y=3cos2x-4cos x+1=3(cos2x-cos x+)=3(cos x-)2-，
令cos x=t，则y=3(t-)2-，t∈[-1，1]，
∵-1≤ t≤1]时，-≤t-≤，
∴0≤(t-)2≤，
∴-≤3(t-)2-≤8，
∴该函数的值域为[-，8].
例2 函数y＝3cos 2x＋4(x∈R)是( )
A.最小正周期为π的偶函数 B.最小正周期为2π的偶函数
C.最小正周期为π的奇函数 D.最小正周期为2π的奇函数
解析：∵f(x)＝3cos 2x＋4，x∈R，
∴f(－x)＝3cos(－2x)＋4＝f(x)为偶函数，T==π.
A
判断三角函数的奇偶性的方法：
方法归纳
(1)利用图象法：若图象关于原点对称，则函数为奇函数；
若图象关于y轴对称，则函数为偶函数.
(2)根据奇偶性的定义判断：
若对定义域内的任意x都有f(-x)=f(x)，则函数为偶函数；
若对定义域内的任意x都有f(-x)=-f(x),则函数为奇函数.
例3 求函数 y = 2cos ( – ) 的周期和其图象的对称轴方程.
解：因为 y = 2cos ( – ) = 2sin [( – ) + ] = 2sin ( + )，所以 T = = 6π.
令 + = + kπ (k∈Z)，解得 x = + 3kπ (k∈Z).
所以函数 y = 2cos ( – ) 的周期为 6π，
其图象的对称轴方程为 x = + 3kπ (k∈Z).
例4 已知函数 f(x) = 2cos(–3x) ，x∈[-，]，求f(x)的单调递增区间.
解： f(x)= 2cos(–3x)可化为f(x)=2cos(3x-)，
故单调递增区间满足2kπ-π≤3x-≤2kπ，k∈Z，
解得kπ-≤x≤kπ+，k∈Z，
令k＝0，-≤x≤，
令k＝1，≤x≤，
∵x∈[-，]，∴ f(x)的单调递增区间是[-，]，[，].
余弦型函数单调区间的求法
①如果x的系数为负，则利用诱导公式变为正.
②将ωx＋φ看作整体，代入到余弦函数的单调区间解出x的范围.
③若求具体的或一个范围内的单调区间，则给k赋值，即可求出符合条件的单调区间.
方法归纳
1.下列函数中，周期为 的是(　　 )
2.函数 是( 　　)
A. 奇函数 B. 偶函数
C. 非奇非偶函数 D. 既是奇函数又是偶函数
D
B
3.若a＝sin 47°，b＝cos 37°，c＝cos 47°，则a，b，c大小关系为(　　 )
A.a>b>c B.b>c>a C.b>a>c D.c>b>a
4.函数 f(x) = 2cos(πx-)的图象的对称轴方程为( )
C
C
余弦函数y=cos x的性质与图象小结：
定义域 R
值 域 [-1，1]
奇偶性 偶函数
周期性 2π
单调性 递增：[– π + 2kπ，2kπ] (k∈Z)；递减：[2kπ，π + 2kπ] (k∈Z)
对称轴 x = kπ
对称中心 ( + kπ，0)