7.3.4 正切函数的性质与图象 课件（共18张PPT） 2024-2025学年人教B版（2019）高中数学必修第三册

(共18张PPT)
7.3.4 正切函数的性质与图象
人教B版(2019)必修第三册
1.了解正切函数图象的画法，理解正切函数的性质.
2.能利用正切函数的图象及性质解决相关问题.
三角函数包括正、余弦函数和正切函数，我们已经研究了正、余弦函数的图象和性质，那么正切函数的图象与性质又是怎样的呢？
类比正弦、余弦函数的定义，说说什么是正切函数？
对于任意一个角 x，只要 x ≠ + kπ，k∈Z，就有唯一确定的正切值 tan x 与之对应，因此 y = tan x 是一个函数，称为正切函数．
利用正切线可以直观地表示正切值，如图，
就是角 x 的正切线.
O
T
A
1
x
1.利用正切函数的定义，说出正切函数的【定义域】.
2.根据正切线，思考正切函数的【值域】.
如右图，AT为角x的正切线，正切线可以直观的表示正切值.
当x从0逐渐接近 时，tan x的值从0开始增大到正无穷；
当x从0逐渐接近 时，tan x的值从0开始减小到负无穷；
M
x
y
O
P
α的终边
A(1,0)
T
3.思考正切函数的【奇偶性】.
由诱导公式知：
正切函数是奇函数.
4.正切函数y=tan x是否为【周期函数】？
由诱导公式知：
∴y=tan x是周期函数， 是它的一个周期．
如何利用正切线画出函数y=tan x 在x∈ 的图像？
作法：(1) 等分：把单位圆右半圆分成8等份；
(2) 作正切线；
(3) 平移；
(4) 连线.
x
y
根据正切函数的周期性，把图象向左、向右平移，得到正切函数的图象，称为正切曲线.
y
x
1
-1

-
0
y
x
1
-1

-
0
观察正切函数的图像，从图像出发，总结正切函数的性质，填写下表：
y
x
1
-1

-
0
函数
定义域
值域
周期性
奇偶性
单调性
y=tanx
R
T=
奇函数
增区间
y
x
1
-1

-
0
渐近线方程：
思考：正切函数有对称轴吗？
无对称轴.　
对 称 中 心：
例1 下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( )
A.y＝sin(2x+)
B.y＝tan 2x
C.y＝2sin(π－x)
D.y＝tan(x＋π)
y＝sin(2x+)=cos 2x最小正周期为π，且是偶函数
最小正周期为，且是奇函数
y＝2sin(π－x)＝2sin x，最小正周期为2π，且是奇函数
y＝tan(x＋π)＝tan x，最小正周期为π，且是奇函数
D
例2 已知函数f(x)=3tan()，求f(x)的最小正周期和单调递减区间.
解：f(x)=3tan()=-3tan()，
∴f(x)的最小正周期T==4π，
令kπ-＜＜kπ+，k∈Z得4kπ-＜x＜4kπ+，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为(4kπ-，4kπ+)(k∈Z).
方法归纳
例3 求函数y=-tan2x+10tan x-1， 的值域.
解：设tan x=t，∵ ，∴ ，
y=-tan2x+10tan x-1=-t2+10t-1=-(t-5)2+24，
当t=1即 时，ymin=8；
当 即 时，ymax= .
∴函数的值域为 .
C
2.若 ，则x的取值范围是(　　 )
C
4.函数 的定义域是 ， = .
3.函数 的图像的一个对称中心是(　　 )
C
根据今天所学，回答下列问题：
（1）回顾今天学过哪些正切函数的性质？
（2）想一想正切函数的图象会与直线 x = + kπ 相交吗？