7.3.5 已知三角函数值求角 课件（共18张PPT） 2024-2025学年人教B版（2019）高中数学必修第三册

(共18张PPT)
第七章 三角函数
7.3.5 已知三角函数值求角
人教B版(2019)必修第三册
1.掌握已知三角函数值求角的方法，会用已知的三角函数值求角.
2.牢记一些比较常见的三角函数值及其在区间[– 2π，2π]上对应的角，并会用符号arcsin，arccos，arctan表示角.
知道，那么当时，
探究1:如何求解关于x的方程sin x＝a和不等式sin xa)的解集？
法一　利用三角函数线
如图，以射线OP与OP′为终边的角构成sin x＝a的解集.
终边在图中阴影部分(不含边界)的角构成sin xa的解集.
探究1:如何求解关于x的方程sin x＝a和不等式sin xa)的解集？
法二　利用三角函数图象
①如图，交点P与P′的横坐标为[0，2π]内使sin x＝a成立的x的值，即为sin x＝a在[0，2π]上的解.
②曲线上加粗部分(不含边界)对应的x值构成sin xa在[0，2π]上的解集.
③结合正弦函数的周期性把①②中的解集扩展到整个定义域内.
例1 已知sin x＝.
(1)当x∈[－]时，求x的取值集合；
(2)当x∈[0，2π]时，求x的取值集合；
(3)当x∈R时，求x的取值集合．
解：(1)∵y＝sin x在[－]上是增函数，且sin ＝，
∴x＝，∴{}是所求集合．
(2)∵sin x＝＞0，∴x为第一或第二象限的角，且sin ＝sin ＝，
∴在[0，2π]上符合条件的角有x＝或x＝π，
∴x的取值集合为{}．
(3)当x∈R时，x的取值集合为{x|x＝2kπ＋，或x＝2kπ＋，k∈Z}．
例1 已知sin x＝.
(2)当x∈[0，2π]时，求x的取值集合；
(3)当x∈R时，求x的取值集合．
对于已知正弦值求角有如下规律：sin x＝a(－1≤a≤1)，当x∈R时，可先求得[0，2π]内的所有解α，π－α，再利用周期性可求得：
{x|x＝2kπ＋α，或x＝2kπ＋π－α，k∈Z}．
方法归纳
例2 已知cos (2x－)＝，求x.
解：由cos (2x－)＝>0，知角2x－对应的余弦线方向向右，且长度为，
如图所示，可知角2x－的终边可能是OP，也可能是OP′.
又因为cos ＝cos (－)＝，
所以2x－＝－＋2kπ或2x－＝＋2kπ，k∈Z.
所以x＝＋kπ或x＝＋kπ，k∈Z.
例3 求不等式cos (x＋)>－的解集．
解：如图所示，在[－π，π]上，＝－或＝时，cos ()＝－，
所以＝－＋2kπ或＝＋2kπ，
k∈Z时，cos ()＝－.
令－＋2kπ<<＋2kπ，k∈Z，
解得－＋4kπ所以不等式的解集为{x|－＋4kπ例4 已知tan α＝1.
(1)若α∈，求角α；
(2)若α∈R，求角α.
解：(1)由正切函数在开区间上是增函数可知，符合条件tan α＝1的角只有一个，即α＝.
(2)α＝kπ＋(k∈Z)．
变式：已知tan x＝－1，写出在区间[－2π，0]内满足条件的x.
解：∵tan x＝－1＜0，
∴x是第二或第四象限的角．
由tan ＝－tan ＝－1可知，
所求符合条件的第四象限角为x＝－.
又由tan (－π)＝－tan ＝－1，得所求符合条件的第二象限角为x＝－π，
∴在[－2π，0]内满足条件的角是－与－.
探究2:对于sin x＝，cos x＝，tan x＝2，x∈(0，)对应的角显然不是特殊角，如何表示？
sin x＝，则x＝arcsin ，
cos x＝，则x＝arccos ，
tan x＝2，则x＝arctan 2.
在数学中，任意给定一个 y∈[-1，1]，当 sin x = y 且 x∈[，] 时，通常记作 x = arcsin y (反正弦函数)；
类似地，在区间 [0，π] 内，满足 cos x = y ( y∈[-1，1] ) 的 x 只有一个，这个 x 记作 arccos y，即 x = arccos y (反余弦函数)；
在区间 [，] 内，满足 tan x = y ( y∈R ) 的 x 只有一个，这个 x 记作 arctan y，即 x = arctan y (反正切函数).
例5 计算下列反三角函数的值.
（1）arcsin ； （2）arccos 0； （3）arctan 1.
解：（1）arcsin = ； （2）arccos 0 = ； （3）arctan 1 = .
1.已知cos x＝－，π＜x＜2π，则x＝(　　)
A.　　　B.
C. D.
2．已知α是三角形的内角，且sin α＝，则α＝(　　)
A. B.
C.或 D.或
B
D
ABC
3.(多选)以下各式中正确的是(　　)
4.已知tan 2x＝－且x∈[0，π]，则x＝________．
或
根据今天所学，回答下列问题：
（1）简述由已知的三角函数值求角的方法？
（2）说一说三角函数与反三角函数之间的关系？