1.5.1 正弦函数的图象与性质再认识 课件（共19张PPT）2024-2025学年北师大版（2019）高中数学必修第二册

(共19张PPT)
1.5.1 正弦函数的图象
与性质再认识
第1章 三角函数
1.了解正弦函数的图象；
2.掌握正弦函数的性质；
3.会利用正弦函数的图象和性质解决三角函数问题 .
单位圆上任意一点在圆周上旋转一周就回到原来的位置，这一现象可以用公式 sin(x±2π) =sin x，cos(x±2π) =cos x 来表示.
这说明，自变量每增加 (减少) 2π，正弦函数值、余弦函数值将重复出现. 利用这一特性，就可以简化正弦函数、余弦函数的图象与性质的研究过程.
研究函数y =sin x，x∈R 的图象，从画函数y =sin x，x∈[0,2π]的图象开始.
思考：在[0，2π]上任取一个值 x0，如何利用正弦函数的定义，确定正弦函数值 sin x0，并画出点 T (x0, sin x0)？
如图，在坐标系中画出以原点O为圆心的单位圆，
⊙O 与 x 轴正半轴的交点为 A (1，0).
在单位圆上，将点A绕着点O旋转 x0 弧度至点 B，
根据正弦函数的定义，点 B 的纵坐标 y0 = sin x0.
由此，以x0为横坐标， y0为纵坐标画点，
即得到函数图象上的点T(x0, sin x0).
事实上，利用信息技术，可使 x0 在区间 [0，2π] 上取到足够多的值而画出足够多的点 T (x0, sin x0)，将这些点用光滑的曲线连接起来，可得到比较精确的函数 y = sin x，x∈[0，2π] 的图象.
x
y
0
1
-1
y = sinx (xR)
利用图象平移
终边相同角的三角函数值相等，即：sin (x±2kπ) = sin x，k∈Z.
y =sin x，x∈[0,2π]
y =sin x，x∈R
f (x±2kπ) = f(x)
正弦函数的图象叫做正弦曲线，是一条“波浪起伏”的连续光滑曲线.
思考：在确定正弦函数的图象形状时，应抓住哪些关键点？
在函数 y = sin x，x∈[0，2π] 的图象上，应关注五个点：
.
正弦函数的“五点画图法”：
O
x
y
1
-1
●
●
●
●
●
.
正弦函数的性质
1. 正弦函数的定义域：R.
x
y
0
1
-1
y = sin x (x∈R)
x
6
y
o
-
-1
2
3
4
5
-2
-3
-4
1

y = sin x，x∈R
2. 正弦函数的周期性：
2π.
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

y = sinx，x∈R
（1）请指出正弦函数的 3 个单调递增区间及 3 个单调递减区间.
3. 正弦函数的单调性
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

y=sinx，x∈R
（2）请写出正弦函数在整个定义域内的单调递增区间：
3. 正弦函数的单调性
，(k∈Z).
x
y
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

y=sinx，x∈R
（3）类比写出正弦函数在整个定义域内的单调递减区间：
3. 正弦函数的单调性
，(k∈Z)，
正弦函数的单调性
单调递减区间
(k∈Z).
(k∈Z)；
单调递增区间
x
y
O
1
-1
y = sin x (x∈R)
4. 正弦函数的最值：
最大值为1，最小值为-1 .
y
x
o
-
-1
2
3
4
-2
-3
1

5. 正弦函数的奇偶性：
y=sinx
奇函数.
例1：画出函数 y=1+sin x，x∈[0，2π] 的简图.
解：按五个关键点列表：
x 0 π 2π
sin x 0 1 0 -1 0
1+sin x 1 2 1 0 1
描点并将它们用光滑的曲线连接起来：
例2：
解：
，
正弦函数的性质
1. 正弦函数的定义域：R.
5. 正弦函数的奇偶性：奇函数.
4. 正弦函数的最值：最大值为1，最小值为-1；
3. 正弦函数的单调性：单调递增区间 (k∈Z)；
单调递减区间 (k∈Z)；
2. 正弦函数的周期性：2π.