西南名校联盟2024-2025学年上学期高考数学诊断试卷（一）（PDF版，含答案）

西南名校联盟 2024-2025 学年上学期高考数学诊断试卷（一）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在复平面内，向量 对应的复数为 1 + 3 ，向量 对应的复数为 2+ ，则向量 对应的复数为( )
A. 1 + 2 B. 1 2 C. 3 4 D. 3 + 4
2.下列四个条件中，使 > 成立的充要条件是( )
A. ln( ) > 0 B. | | > C. 2 > 2 D. 2 > 2
1
3.在(1 )8的二项展开式中，第3项的二项式系数是( )
2
A. 8 B. 8 C. 28 D. 28
2 1
4.已知数列{ }满足 +1 = ，且 = ，则 =( ) 2 1 2 2025
4 1
A. 3 B. C. D. 2
3 2
5.已知直线2 + 3 2 = 0与直线2 5( + 1) + 1 = 0互相垂直，则 为( )
11 11 11 11
A. B. 或0 C. D. 或0
15 15 4 4
6.已知圆锥的母线长度为4，一个质点从圆锥的底面圆周上一点出发，绕着圆锥侧面运动一周，再回到出发
点的最短距离为4√ 2，则此圆锥的体积为( )
√ 15 4√ 3 8√ 3 10√ 6
A. B. C. D.
3 3 3 3
1
7.已知函数 ( ) = 2 + ， ∈ .若 ( )有两个极值点
2 1
， 2，且 ( 1)+ ( 2) < ( 1 + 2)恒成
立，则实数 的取值范围为( )
3 3
A. [ ,+∞) B. [ ,+∞) C. [ √ 2,+∞) D. [√ 2,+∞)
2 2
8.在△ 中，内角 ， ， 所对边分别为 ， ， ，若2√ 3 = 3 2 + 3 2 sin2 ，则

=( )

1 √ 3 √ 2
A. B. C. D. 2
2 3 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (1,2)， = ( , 3)，则下列结论正确的是( )
3
A. 若 ， 可以作为基底，则 ≠ B. 若| | = √ 2，则 = 0
2

C. 若 ⊥ ，则 = 6 D. 若 与 的夹角为 ，则 = 1或9
4
2
10.已知幂函数 ( ) = (8 2 5) ，则( )
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√ 3
A. = ±
2
B. ( )的定义域为
C. ( )为非奇非偶函数
4
D. 不等式 (2 + 1) > (5 )的解集为( ,+∞)
3
11.已知各项均为正数的数列{ }的前 项和为
2
，且 = 2 ，则下列说法正确的是( )
A. { }的第2项小于1 B. ≤ +1
C. { }为等比数列 D. { }中存在大于100的数
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
2 2
12.已知双曲线 ： = 1( > 0, > 0)，其渐近线方程为4 ± 5 = 0，则该双曲线的离心率为______．

1 3
13.已知 > 0，函数 = + ( > 2)有最小值 ，则 = ______．
2 2
14.已知甲袋中装有3个红球，2个白球，乙袋中装有2个红球，4个白球，两个袋子均不透明，其中的小球除
颜色外完全一致.现从两袋中各随机取出一个球，若2个球同色，则将取出的2个球全部放入甲袋中，若2个球
不同色，则将取出的2个球全部放入乙袋中，每次取球互不影响.按上述方法重复操作两次后，乙袋中恰有4个
小球的概率是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)，过抛物线上点 (2,3)且斜率为 的直线 与抛物线 仅有一个交点．
(1)求抛物线 的方程；
(2)求 的值．
16.(本小题12分)
如图，某市拟在长为16 的道路 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 ，该曲线段
为函数 = ( > 0, > 0)， ∈ [0,8]的图象，且图象的最高点为 (6,4√ 3)；赛道的后一部分为折线
段 ，为保证参赛运动员的安全，限定∠ = 120°．
(1)求 ， 的值和 ， 两点间的距离；
√ 3 1
(2)若 = ，求折线段赛道 的长度．
2
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17.(本小题12分)
如图，在三棱柱 1 1 1中，侧面 1 1为菱形，∠ 1 = 60°，底面 为等边三角形，平面 1 1 ⊥
1 1
平面 ，点 ， 满足 1 = 1 1， 1 = 1 1，点 为棱 1 上的动点(含端点)． 3 2
(1)当 与 重合时，证明：平面 ⊥平面 ；
√ 6
(2)是否存在点 ，使得直线 与平面 所成角的正弦值为 ？若存在，求出 1 的值；若不存在，请说明
4 1
理由．
18.(本小题12分)
函数 ( ) = ln(2 + 1) 4 ．
(1)求 ( )在点(0, (0))处的切线方程；

(2)若存在 ∈ [0, ]，使得 ( ) ≥ 成立，求 的取值范围．
2
19.(本小题12分)
为确保饮用水微生物安全性，某自来水厂计划改进原有饮用水消毒方法.据已有数据记录，原有消毒方法对
每个大肠杆菌的灭活率均为99.2%，现检验出一批未经消毒的水中大肠杆菌含量为500个/升．
(1)经原有消毒方法处理后，计算一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率；(结果保留3位小数)
(2)在独立重复实验中， 为事件 在试验中出现的概率， 为试验总次数，随机变量 为事件 发生的次数.若

较小， 较大，而 的大小适中，不妨记 = ，则 ( = ) =
(1 ) = ( ) (1 ) ， = 0，

1，2，…，经计算，当 → +∞时， → ∞ ( ) (1 )
= .若随机变量 的概率分布密度函数为
!


( = ) = ， = 0，1，2，…，称 服从参数为 的泊松分布，记作 ～ ( ). (其中， = 2.71828…为
!
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自然对数底数)
①若经原有消毒方法处理后的一升水中含有的大肠杆菌个数 服从泊松分布，计算一升水中大肠杆菌个数不
超出5个的概率(结果保留3位小数)，并证明： ( ) = 4；
②改进消毒方法后，从经消毒后的水中随机抽取50升样本，化验每升水中大肠杆菌的个数，结果如下：
大肠杆菌数/升 0 1 2 3 4 5
升数 17 20 10 2 1 0
若每升水中含有的大肠杆菌个数 仍服从泊松分布，要使出现上述情况的概率最大，则改进后的消毒方法对
每个大肠杆菌的灭活率为多少？

参考数据：①指数函数的幂级数展开式为 = ∑ ， 4 =0 = 0.0183，②0992
500 = 0.018， 1
! 500
0.008×
0.992499 ≈ 0.073， 25000.008
2 × 0.992400 ≈ 0.146， 3 3 497≈5000.008 × 0.992 0.196，
4 4 496
5000.008 × 0.992 ≈
0.196， 55000.008
5 × 0.992495 ≈ 0.157．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
√ 41
12.【答案】
5
13.【答案】4
48
14.【答案】
225
15.【答案】解：(1) ∵点 (2,3)在抛物线 ： 2 = 2 ( > 0)上，
9
∴ 9 = 2 × 2，∴ 2 = ，
2
9
∴抛物线 的方程为 2 = ；
2
(2)根据题意可知当直线 与抛物线 相切于点 或过 平行于抛物线的对称轴时满足题意，
又对 2
9 9
= 两边关于 求导可得2 ′ = ，
2 2
9
∴ ′ = ，
4
3
∴所求 = ′| =3 = ，或 = 0， 4
3
∴ 的值为 或0．
4
2
16.【答案】解；(1)依题意知， = 4√ 3， = 4 × 6 = 24，所以 = = ，
12

所以 = 4√ 3sin ，当 = 8时， = 4√ 3sin( × 8) = 6．
12 12
所以 (8,6)，
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又 (16,0)，所以 = √ (16 8)2 + (0 6)2 = 10，
即 之间的距离为10 ．
(2)在△ 中，∠ = 120°， = 10，
由余弦定理得， 2 = 2 + 2 2 120°，
√ 3 1 √ 3 1 1
即100 = 2 + ( )2 2 2 ( )，
2 2 2
10√ 6 √ 3 1 10√ 6 15√ 2 5√ 6
解得 = ，所以 = × = ，
3 2 3 3
10√ 6 15√ 2 5√ 6 15√ 2+5√ 6
所以 + = + = ，
3 3 3
15√ 2+5√ 3
即折线段 的长为 ．
3
17.【答案】(1)证明：连接 ， 1 ，
在菱形 1 1中，∠ 1 = 60°，所以△ 1 1 是正三角形，
因为 是 1 1的中点，所以 ⊥ 1 1，
又 // 1 1，所以 ⊥ ，
因为平面 1 1 ⊥平面 ，平面 1 1 ∩平面 = ，
平面 1 1，
所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以平面 ⊥平面 ，
故当 与 重合时，平面 ⊥平面 ．
(2)解：取 的中点 ，连接 1， ，则 1 ⊥ ， ⊥ ，
因为平面 1 1 ⊥平面 ，平面 1 1 ∩平面 = ， 1 平面 1 1，
所以 1 ⊥平面 ，
故以 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
设 = 2，则 (0, 1,0)， (0,1,0)， (√ 3, 0,0)， 1(0,0,√ 3)， 1(0,2,√ 3)， (0,1,√ 3)，
由
1 1 1
1 =
√ 3 1
3 1
1 = = (√ 3, 1,0)，知 ( , , 3)， 3 3 √3 3
设存在点 满足题意，且 1 = 1 = (0, 1, √ 3)， ∈ [0,1]，则 (0,2 ,√ 3 √ 3 )，
所以
√ 3 2 √ 3 5
= ( , , 0)， = ( , , √ 3 )， = (0,2,0)，
3 3 3 3

√ 3 2
= + = 0
设平面 的法向量为 = ( , , )，则{ 3 3 ，
√ 3 5
= + ( ) √ 3 = 0
3 3
取 = 2 ，则 = √ 3 ， = 1 ，所以 = (2 ,√ 3 , 1 )，
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因为直线 与平面 所成角的正弦值为√ 6，
4
| | |2√ 3 | √ 6 1
所以|cos < ， > | = = =| | | | 2 2 2 4 ，解得 = ，
2×√ 4 +3 +(1 ) 2
1
所以 =
1 1
1 ，即 = ． 2 1 1 2
2
18.【答案】解：(1)因为 ( ) = ln(2 + 1) 4 ，所以 ′( ) = 4 ，
(2 +1)
所以 ′(0) = 2.又 (0) = 1 4 0 = 0，
所以 ( )在点(0, (0))处的切线方程为 = 2 ．

(2)因为存在 ∈ [0, ]，使得 ( ) ≥ 成立，所以 ≤ ( ) ．
2
2
由(1)知 ′( ) = 4 ，
(2 +1)
2
令 ( ) = 4 ，0 ≤ ≤ ，
(2 +1) 2
4
′( ) = 2 +4 ，
(2 +1)
4
因为 ′( )在 ∈ [0, ]上单调递增， ′(0) = 4 < 0， ′( ) = 4
2 2 2
> 0，
( +1)

所以 0 ∈ (0, )，使得 ′( ) = 0， 2 0
当 ∈ [0, 0)， ′( ) < 0， ( )单调递减，

当 ∈ ( 0 , ], ′( ) > 0, ( )单调递增， 2
2
′(0) = (0) = 2 < 0， ′( ) = ( ) = > 0，
2 2 +1

所以 1 ∈ (0, )，使得 ′( 1) = 0， 2
当 ∈ [0, 1)， ′( ) < 0， ( )单调递减，

当 ∈ ( 1 , ], ′( ) > 0, ( )单调递增， 2

(0) = 0， ( ) = ln( + 1) 4 < 0，所以 ( ) = (0) = 0，故 ∈ ( ∞, 0]． 2
19.【答案】解：(1)由题意可得，每个大肠杆菌的存活率为1 99.2% = 0.008，
设一升水中大肠杆菌个数为 ，
则 ～ (500,0.008), ( ≤ 5) = ∑5 =0 500 0.008
× 0.992500 ≈ 0.018+ 0.073+ 0.146+ 0.196+ 0.196+
0.157 = 0.786，
故一升水中大肠杆菌个数不超出5个的概率约为0.786；
(2)证明：①因为 ～ ( )， = 500× 0.008= 4，
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40 4 41 4
所以 ( = 0) = = 4 , ( = 1) = = 4 4，
0! 1!
42 4 3 4
( = 2) = = 8 4
4 32
, ( = 3) = = 4，
2! 3! 3
44 4 32 45 4 128
( = 4) = = 4 , ( = 5) = = 4，
4! 3 5! 15
4
5 4 643 4 643×0.0183 ( ≤ 5) = ∑ =0 = = ≈ 0.784， ! 15 15
1
∑∞ ∞ ∞ ( ) = =0 ( = ) = ∑ =0 = ∑ ! =1 = = = 4； ( 1)!


②因为 ( = ) = , = 0,1,2,
!
则出现上述情况的概率为：
0 1 2 3 4 5

= ( )17 ( )20 ( )10

( )2

( 1

) ( )0
0! 1! 2! 3! 4! 5!
1
= 50 50
210
，
×36×24
1
令 ( ) = 50 50
1
210
，取对数得ln[ ( )] = 50 50 + ln ，
×36×24 210×36×24
1 50
令 = 50 50 + ln
210
，则 = 50，
×36×24
令 ′ = 0，得 = 1，
1
当 ∈ (0,1)时， = 50 50 + ln
210
单调递增，
×36×24
1
当 ∈ (1,+∞)时， = 50 50 + ln 10 单调递减， 2 ×36×24
所以 = | =1，
因为 ( ) = ，所以 ( ) = (1)，
1
则1 = 99.8%，
500
故改进后的消毒方法对每个大肠杆菌的灭活率为99.8%．
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