1.6 函数y=Asin（ωx+φ）的性质与图象 课件（共21张PPT） 2024-2025学年北师大版（2019）高中数学必修第二册

(共21张PPT)
§6 函数y 的性质与图象
第1章 三角函数
1.了解 函数的图象；
2.掌握 函数的性质；
3.会利用函数的图象和性质解决三角函数问题 .
情境：筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用. 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理. 假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动. 你能用一个合适的函数模型来刻画盛水筒（视为质点）距离水面的相对高度与时间的关系吗？
因筒车上盛水筒的运动具有周期性，可以考虑利用三角函数模型刻画它的运动规律.
如图，将筒车抽象为一个几何图形，设经过t s后，盛水筒M从点P0运动到点P.
由筒车的工作原理可知，这个盛水筒距离水面的高度H ，由以下量所决定：筒车转轮的中心O到水面的距离h，筒车的半径r，筒车转动的角速度ω，盛水筒的初始位置以及所经过的时间t.
下面我们分析这些量的相互关系，进而建立盛水筒 M 运动的数学模型.
如图，以 O 为原点，以与水平面平行的直线为 x轴建立直角坐标系.
设 t = 0 时，盛水筒 M 位于点 P0，以 Ox 为始边，OP 为终边的角为 φ，经过 t s 后运动到点 P(x,y).
于是，以 Ox 为始边，OP 为终边的角为 ωx+φ，并且有 y=rsin(ωx+φ).
所以，盛水筒 M 距离水面的高度 H 与时间 t 的关系是H=rsin(ωx+φ)+h.
一. 探索ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响
（1）作图：
当 时，得到 的图象.
取A=1， ，当 时，得到 的图象.
（2）探究 ：
一般地，函数y=sin(ωx+φ)的周期是 ，把y=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标缩短（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的 倍（纵坐标不变），就得到y=sin(ωx+φ)的图象.
二. 探索φ对y=sin(x+φ)的图象的影响
取A=1， ，
当起点位于 时， ，可得函数 的图象；
-
-
-1
1
-
当起点位于 时， ，可得函数 的图象.
根据上面的研究，归纳出 对函数 图象影响的一般化结论.
一般地，当动点M的起点位置Q所对应的角为φ时，对应的函数是y=sin(x+φ)(φ≠0)，把正弦曲线上的所有点向左（当φ>0时）或向右（当φ<0时)平移|φ|个单位长度，就得到函数y=sin(x+φ)的图象.
问题 : 如果 取 对应的函数图象如何变化呢？
三. 探索 A 对 y=Asin(ωx+φ) 的图象的影响
当参数A变化时，对函数 图象有什么影响？
根据上面的研究，归纳出A(A>0)对函数图象影响的一般化结论.
一般地，函数y=Asin(ωx+φ)的图象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当0纵坐标不变
1
-１
2
-2
x
o
y
3
-3
2
y=sinx 　　
y=sin(x- ) ① 　　
②
③　　
一般地，函数y=Asin(ωx+φ)(A>0，ω>0)的图象，可以用下面的方法得到：
①先画出函数y=sin x的图象；
②再把正弦曲线向左（或右）平移|φ|个单位长度，得到函数y=sin(x+φ) 的图象；
③然后把曲线上各点的横坐标变为原来的A倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(ωx+φ)的图象；
④最后把曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍（横坐标不变），这时的曲线就是函数y=Asin(ωx+φ)的图象.
（画法二）利用“五点法”画函数 在一个周期（T = 6π）内的图像：
x
y
O
2
-2
C
B
C
D
A.
B.
C.
D.
C
A.
B.
C.
D.
1. ω 对y=sin(ωx+φ)的图象的影响.
一般地，函数y=sin(ωx+φ)的周期是 ，把y=sin(x+φ)图象上所有点的横坐标缩短(当ω>1时)或伸长(当0<ω<1时)到原来的 倍（纵坐标不变），就得到y=sin(ωx+φ)的图象.
2. φ对y=sin(x+φ)的图象的影响.
函数y=sin(x+φ)(φ≠0)，把正弦曲线上的所有点向左（当φ>0时）或向右（当φ<0时)平移|φ|个单位长度，就得到函数y=sin(x+φ)的图象.
3. A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响.
一般地，函数y=Asin(ωx+φ)的图象，可以看作是把y=sin(ωx+φ)图象上所有点的纵坐标伸长(当A>1时)或缩短(当0从而，函数y=Asin(ωx+φ)的值域是[-A，A]，最大值是A，最小值是-A.