2025年数学寒假知识巩固第12章全等三角形辅助线及模型专练（含解析）

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2025年数学寒假知识巩固练习题第12章全等三角形辅助线及模型专练
复习范围：第12章全等三角形；考试时间：60分钟；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．利用公共边构造全等三角形
1．如图，AB＝AC，BD＝CD．
（1）求证：∠B＝∠C；
（2）若∠BAC＝120°，∠BDC＝80°，求∠B的度数．
2．如图，AB＝AC，BD＝CD．求证：
（1）∠B＝∠C；
（2）∠BDC＝2∠B+∠BAC．
3．如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的角平分线相交于E，过E的直线分别交DC，AB于CB两点．
（1）判断AE与DE的位置关系．并说明理由；
（2）求证：AD＝AB+DC
类型二．倍长线段构造全等三角形
4．如图，在△ABC中，AD为中线，在DA的延长线上取一点E，连接EC，使∠E＝∠BAD．过点C作CF⊥AD于点F．下列结论中正确的个数为（　　）
①AF＝CF；
②AB＝CE；
③AE＝2DF；
④S△ABD＝S△ACD；
⑤S△ABD+S△CDF＝S△ECF．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，已知：CD＝AB，∠BAD＝∠BDA，AE是△ABD的中线，求证：AC＝2AE．
6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，
（1）若∠B＝∠C，求证：AB＝DC；
（2）若E是CD的中点，AB⊥AE，且AB＝4，AE＝5，求四边形ABCD的面积．
三．倍长线段构造全等三角形
7．如图，在△ABC中∠A＝60°，BD，CE均为△ABC的角平分线且相交于点O．
（1）填空：∠BOC＝　 　°
（2）求证：BC＝BE+CD
8．如图，在△ABC，∠CAB＝∠CBA＝45°，CA＝CB，点E为BC的中点，CN⊥AE交AB于N．
（1）求证：∠BCN＝∠CAE；
（2）求证：AE＝CN+EN（请用多种方法证明）
四．角平分线遇垂线，延长构造全等三角形
9．如图，△ABC的面积为8cm2，AP垂直∠B的平分线BP于点P，则△PBC的面积为 　 　cm2．
10．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，BD平分∠ABC，CE⊥BD交BD的延长线于点E．
求证：CEBD．
11．如图．在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE，垂足为D，求证：∠2＝∠1+∠C．
五．作垂线法
12．如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，过C作CE⊥AB于E，且CD＝CB，∠ABC+∠ADC＝180°．求证：AE（AB+AD）．
13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，∠ABC＝45°，点D为BC的中点，CE⊥AD于点E，其延长线交AB于点F，连接DF．求证：∠ADC＝∠BDF．
六．平移模型
14．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EH＝2．
（1）求∠F的度数与DH的长；
（2）求证：AB∥DE．
15．如图，点B、C、E、F在同一直线上，AB⊥BC于点B，△DEF≌△ABC，且BC＝6，CE＝2．
（1）求CF的长；
（2）判断DE与EF的位置关系，并说明理由．
七．对称模型
16．如图，已知点D为△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F，且BF＝CE．
求证：
（1）AB＝AC；
（2）AD平分∠BAC．
17．如图，在△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，BD与CE相交于点O．
（1）求证：BD＝CE；
（2）若∠ABC＝50°，求∠BOC的度数．
八．一线三等角模型
18．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．
（1）当直线MN绕点C旋转到图（1）的位置时，
求证：①△ADC≌△CEB；
②DE＝AD+BE；
（2）当直线MN绕点C旋转到图（2）的位置时，求证：DE＝AD﹣BE；
（3）当直线MN绕点C旋转到图（3）的位置时，请直接写出DE，AD，BE之间的等量关系．
19．如图，△ABC的两条高AD，CE交于点F，AF＝BC．
（1）求证：BE＝EF；
（2）若BE＝4，CF＝5，求△ACF的面积．
20．如图，在△ABC，△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C，D，E在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE．
（2）请写出BD，CE的关系，并证明．
九．半角模型
21．已知，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠ADC＝180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF∠BAD．
（1）为探究上述问题，小王同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当∠B＝∠ADC＝90°时．
小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．
请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路．
小明的解题思路：先证明△ABE≌　 　；再证明了△AEF≌　 　，即可得出BE，EF，FD之间的数量关系为 　 　．
（2）请你借鉴小王的方法探究图2，当∠B+∠ADC＝180°时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由．
（3）如图3，若E、F分别是边BC、CD延长线上的点，其他已知条件不变，此时线段EF、BE、FD之间的数量关系为 　 　．（不用证明）
参考答案
1．证明：（1）连接AD，如图：
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠B＝∠C；
（2）∵△ABD≌△ACD，
∴∠B＝∠C，
在四边形ABCD中，∠B．
2．（1）证明：如图，连接AD，
在△ABD和△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠B＝∠C．
（2）证明：如图，延长AD至点E，
∵∠BDE＝∠B+∠BAD，∠CDE＝∠C+∠CAD，
∴∠BDC＝∠BDE+∠CDE＝∠B+∠C+∠BAD+∠CAD＝∠B+∠C+∠BAC，
由（1）已证：∠B＝∠C，
∴∠BDC＝2∠B+∠BAC．
3．解：（1）AE⊥DE，
理由：∵DC∥AB，
∴∠BAD+∠ADC＝180°，
∵∠BAD和∠ADC的角平分线相交于E，
∴∠3∠ADC，∠1∠BAD，
∴∠1+∠3（∠BAD+∠ADC）180°＝90°，
∴∠AED＝90°，
∴AE⊥DE；
（2）在AD上截取AF＝AB，连接EF，如图所示：
在△ABE和△AFE中，，
∴△ABE≌△AFE（SAS），
∴∠AFE＝∠B，
∵AB∥DC，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠AFE+∠DFE＝180°，
∴∠DFE＝∠C，
在△DEF和△DEC中，，
∴△DEF≌△DEC（AAS），
∴DF＝DC，
∴AB+DC＝AF+DF＝AD，
即AD＝AB+DC．
4．解：过点B作BG⊥AD于点G，
∵AD为中线，
∴BD＝CD．
∵BG⊥AD，CF⊥AD，
∴∠G＝∠CFD＝90°，
∵∠BDG＝∠CDF，
△BDG≌△CDF（AAS），
∴AB＝CE，BG＝CF，DG＝DF，故②正确；①错误；
∵∠E＝∠BAD，
∴△ABG≌△ECF（AAS），
∴AG＝EF，
∴AE＝GF，
∴AE＝2DF，故③正确；
∵BD＝CD，
∴S△ABD＝2S△ADC，故④正确；
∴S△ABD＝S△ACD，
∵AE＝2DF，
∴S△AEC＝2S△CDF，
∴S△ABD+S△CDF＝S△ACD+S△CDF
＝S△ACF+S△CDF+S△CDF
＝S△ACF+2S△CDF
＝S△ACF+S△AEC
＝S△ECF，
∴⑤故正确．
故选：D．
5．证明：延长AE至F，使AE＝EF，连接BF，
在△ADE与△BFE中，
，
∴△AED≌△FEB（SAS），
∴BF＝DA，∠FBE＝∠ADE，
∵∠ABF＝∠ABD+∠FBE，
∴∠ABF＝∠ABD+∠ADB＝∠ABD+∠BAD＝∠ADC，
在△ABF与△ADC中，
，
∴△ABF≌△CDA（SAS），
∴AC＝AF，
∵AF＝2AE，
∴AC＝2AE．
6．（1）证明：如图，延长BA，CD相交于点G，
∵∠B＝∠DCB，
∴GB＝GC，
∵AD∥BC，
∴∠GAD＝∠B，∠GDA＝∠DCB，
∴∠GAD＝∠GDA，
∴GA＝GD，
∴GB﹣GA＝GC﹣GD，
即AB＝DC．
（2）解：延长AE交BC的延长线于F，
∵AD∥BC，
∴∠DAE＝∠F，∠ADE＝∠FCE，
∵E是CD的中点，
∴DE＝CE，
∴△ADE≌△FCE（AAS），
∴EF＝AE＝5，
∴AF＝2×5＝10，
∴S四边形ABCD＝S△ABFAB AF4×10＝20．
7．（1）解：∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°；
∵BD，CE均为△ABC的角平分线，
∴∠OBC∠ABC，∠OCB∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB（∠ABC+∠ACB）＝60°，
∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣60°＝120°，
故答案为：120；
（2）证明：在BC上截取BF＝BE，如图，
∵OB平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
在△BOE和△BOF中，
，
∴△BOE≌△BOF（SAS），
∴∠BOE＝∠BOF，
∵∠BOC＝120°，
∴∠BOE＝∠COD＝60°，
∴∠BOF＝60°，
∵OC平分∠ACB，
∴∠ACO＝∠BCO，
在△COD和△COF中，
，
∴△COD≌△COF（ASA），
∴CD＝CF，
∴BC＝BF+CF＝BE+CD．
8．证明：（1）∵∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴∠ACB＝90°，
∵CN⊥AE，
∴∠COE＝90°，
∴∠CEA+∠1＝90°，∠CEA+∠2＝90°，
∴∠BCN＝∠CAE；
（2）法一：如图1，延长CN至F，使CF＝AE，连接BF，
在△CAE和△BCF中
，
∴△CAE≌△BCF（SAS），
∴∠ACE＝∠CBF＝90°，CE＝BF，
∵∠CBA＝45°，
∴∠FBN＝45°＝∠EBN，
∵E为BC中点，
∴CE＝BE＝BF，
在△EBN和△FBN中，
，
∴△EBN≌△FBN（SAS），
∴NE＝NF，
∴AE＝CN+EN．
法二：如图2，在AE上截取AF＝CN，
在△ACF和△CBN中，
，
∴△ACF≌△CBN，
∴CF＝BN，∠ACF＝∠B＝45°，
∴∠ECF＝45°＝∠B，
在△BEN和△CEF中，
，
∴△BEN≌△CEF，
∴EN＝EF，
∴AE＝AF+EF＝CN+EN．
9．解：延长AP交BC于E，
∵AP垂直∠B的平分线BP于P，
∠ABP＝∠EBP，
又知BP＝BP，∠APB＝∠BPE＝90°，
∴△ABP≌△BEP，
∴S△ABP＝S△BEP，AP＝PE，
∴△APC和△CPE等底同高，
∴S△APC＝S△PCE，
∴S△PBC＝S△PBE+S△PCES△ABC＝4cm2，
故答案为：4．
10．证明：如图，延长CE，BA交于点F．
∵CE⊥BD，∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAF＝∠BEC＝90°．
又∵∠ADB＝∠EDC，
∴∠ABD＝∠ACF．
在△ABD与△ACF中，
∴△ABD≌△ACF（ASA）．
∴BD＝CF．
∵BD平分∠ABC，
∴∠CBE＝∠FBE．
在△BCE与△BFE中，
∴△BCE≌△BFE（ASA）．
∴CE＝FE，即CECF．
∴CEBD．
11．证明：如图，延长AD交BC于点F，
∵BE是角平分线，AD⊥BE，
∴△ABF是等腰三角形，且∠2＝∠AFB，
又∵∠AFB＝∠1+∠C，
∴∠2＝∠1+∠C．
12．证明：过C作CM⊥AD于M，
∵CE⊥AB，
∴∠M＝∠CEB＝90°，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠MDC＝180°，
∴∠B＝∠MDC，
∵AC平分∠BAD，CM⊥AD，CE⊥AB，
∴CM＝CE，∠MAC＝∠EAC，
在△MAC和△EAC中，
，
∴△MAC≌△EAC（AAS），
∴AM＝AE，
∵∠ABC+∠ADC＝180°，∠ADC+∠MDC＝180°，
∴∠ABC＝∠MDC，CM＝CE，
∴Rt△DMC≌Rt△BEC（AAS），
∴BE＝DM，
∴AB+AD
＝AE+BE+AD
＝AE+DM+AD
＝2AM
＝2AE，
即AE（AB+AD）．
13．证明：作BG⊥CB，交CF的延长线于点G，如图所示：
∵∠CBG＝90°，CF⊥AD，
∴∠CAD+∠ADC＝∠BCG+∠ADC＝90°，
∴∠CAD＝∠BCG，
在△ACD和△CBG中，
，
∴△ACD≌△CBG（ASA），
∴CD＝BG，∠CDA＝∠CGB，
∵CD＝BD，
∴BG＝BD，
∵∠ABC＝45°，
∴∠FBD＝∠GBF∠CBG，
在△BFG和△BFD中，
，
∴△BFG≌△BFD（SAS），
∴∠FGB＝∠FDB，
∴∠ADC＝∠BDF．
14．解：（1）∵∠A＝85°，∠B＝60°，
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝35°，
∵△ABC≌△DEF，AB＝8，
∴∠F＝∠ACB＝35°，DE＝AB＝8，
∵EH＝2，
∴DH＝8﹣2＝6；
（2）证明：∵△ABC≌△DEF，
∴∠DEF＝∠B，
∴AB∥DE．
15．解：（1）∵△DEF≌△ABC，
∴EF＝BC＝6，
∵CE＝2，
∴CF＝CE+EF＝2+6＝8；
（2）DE⊥EF，理由如下：
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°
∵△DEF≌△ABC，
∴∠DEF＝∠ABC＝90°，
∴DE⊥EF．
16．证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD＝CD．
∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴△CDE与△BDF均为直角三角形，
∵BF＝CE，
∴Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），
∴∠B＝∠C，
∴AB＝AC．
（2）∵Rt△BDF≌Rt△CDE（HL），
∴DF＝DE．
又∵DE⊥AC，DF⊥AB，
∴AD平分∠BAC．
17．（1）证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠ADB＝∠AEC＝90°，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（AAS），
∴BD＝CE．
（2）解：∵AB＝AC，
∴∠ACB＝∠ABC＝50°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∵∠ADB＝∠AEC＝90°，
∴∠DOE＝360°﹣90°﹣90°﹣80°＝100°，
∴∠BOC＝∠DOE＝100°，
∴∠BOC的度数是100°．
18．解：（1）①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠ACB＝90°＝∠CEB，
∴∠CAD+∠ACD＝90°，∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
②∵△ADC≌△CEB，
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE+CD＝AD+BE；
（2）证明：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS）；
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CE﹣CD＝AD﹣BE；
（3）当MN旋转到题图（3）的位置时，AD，DE，BE所满足的等量关系是：DE＝BE﹣AD．
理由如下：∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC＝∠CEB＝∠ACB＝90°，
∴∠CAD＝∠BCE，
∵在△ADC和△CEB中，
，
∴△ADC≌△CEB（AAS），
∴CE＝AD，CD＝BE，
∴DE＝CD﹣CE＝BE﹣AD．
19．（1）证明：∵△ABC的两条高AD，CE交于点F，
∴∠BEC＝∠AEC＝90°，
∴∠BCE+∠B＝∠DAB+∠B＝90°，
∴∠BCE＝∠DAB，
在△BCE和△AEF中，
，
∴△BCE≌△FAE（AAS），
∴BE＝EF；
（2）解：∵△BCE≌△FAE，
∴AE＝CE，
而BE＝4，CF＝5，
∴EF＝4，
∴CE＝AE＝9，
∴S△ACFCF×AE5×9．
20．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，
∴∠BAD＝∠CAE，
在△BAD和△CAE中，
，
∴△BAD≌△CAE（SAS）；
（2）解：BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：
由（1）知，△BAD≌△CAE，
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∵∠ABD+∠DBC＝45°，
∴∠ACE+∠DBC＝45°，
∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，
则BD⊥CE．
21．（1）证明：如图1中，延长FD到点G，使DG＝BE，连接AG．
∵∠ADG＝∠ABC＝∠ADF＝90°，AB＝AD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴AE＝AG，∠1＝∠2，
∴∠1+∠3＝∠2+∠3＝∠EAF∠BAD，
∴∠GAF＝∠EAF，
∵AF＝AF，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF＝EG，
∵FG＝FD+DG，
∴EF＝DF+BE，
故答案为：△ADG，△AEG，EF＝BE+FD；
（2）解：上述结论依然成立．
证明：如图2，延长CB至M，使BM＝DF，连接AM．
∵∠ABC+∠D＝180°，∠1+∠ABC＝180°，
∴∠1＝∠D，
在△ABM与△ADF中，
，
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF＝AM，∠2＝∠3．
∵∠EAF∠BAD，
∴∠2+∠4＝∠3+∠4＝∠MAE，
∴∠MAE＝∠FAE，
在△AME与△AFE中，
，
∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF＝ME．
∴EF＝ME＝BE+BM＝BE+DF；
（3）解：在BE上截取BG，使BG＝DF，连接AG，
∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADF+∠ADC＝180°，
∴∠B＝∠ADF，
在△ABG与△ADF中，
，
∴△ABG≌△ADF（SAS），
∴∠BAG＝∠DAF，AG＝AF，
∴∠BAG+∠EAD＝∠DAF+∠EAD＝∠EAF∠BAD，
∴∠GAE＝∠EAF．
∵AE＝AE，
∴△AEG≌△AEF（SAS），
∴EG＝EF，
∵EG＝BE﹣BG，
∴EF＝BE﹣FD．
故答案为：EF＝BE﹣FD．
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