2025年数学寒假知识巩固第13章轴对称（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
2025年数学寒假知识巩固练习题第13章轴对称
复习范围：第13章轴对称；考试时间：60分钟；
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一．选择题（共4小题）
1．下列图形中，对称轴最多的是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A'重合，若∠A＝55°，则∠1+∠2＝（　　）
A．75° B．110° C．105° D．125°
3．如图，已知AB＝AC，BC＝4cm，△CBD周长为12cm，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则△ACB的周长为（　　）
A．20cm B．16cm C．17cm D．18cm
2题图 3题图 4 题图 5题图
4．如图，△ABC和△DEF都是等边三角形，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，若△ABC的周长为15，AF＝2，则BE的长为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
二．填空题（共5小题）
5．如图，点P为∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，P1P2＝18，则△PMN的周长为 　 　．
6．如图，在△ABC中，∠A＝52°，∠ACB的角平分线CF与BC的垂直平分线DE交于点O，连接OB．若∠ABO＝20°，则∠ACB＝　 　．
7．若等腰三角形一个内角的度数为50°，则它的顶角的度数是 　 　．
8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，且BD＝DE＝EA＝AC，若∠ACB＝75°，则∠DEA的度数为 　 　．
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB于点D，DE∥BC交AC于点E．如果BD＝2，那么DE＝　 　．
三．解答题（共6小题）
10．如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，△ABC的顶点都在网格线的交点上，点B的坐标为（﹣2，0），点C的坐标为（﹣1，2）．
（1）根据上述条件，在网格中建立平面直角坐标系xOy；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1；
（3）写出点A关于x轴的对称点的坐标．
11．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上．
（1）求证：BE＝CE；
（2）若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC，垂足为F，∠BAC＝45°，原题设其他条件不变，如图2，求证：①△AEF≌△BCF；②AE＝2BD．
12．等边△ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，问△APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论．
13．如图，在△ABC中，BD是高，点D是AC边的中点，点E在BC边的延长线上，ED的延长线交AB于点F，且EF⊥AB，若∠E＝30°．
（1）求证：△ABC是等边三角形；
（2）请判断线段AD与CE的大小关系，并说明理由．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．
（1）求证：AF＝AD；
（2）若∠F＝30°，BD＝4，EC＝6，求AC的长．
15．如图，在△ABC中，边AB的垂直平分线EF分别交边BC，AB于点E，F，过点A作AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点．
（1）求证：BE＝AC；
（2）若∠B＝35°，求∠BAC的度数．
参考答案
一．选择题（共4小题）
1．解：选项A的图形有无数条对称轴，选项B的图形有三条对称轴，选项D的图形有四条对称轴，选项D的图形有两条对称轴，
所以对称轴最多的是A．
选：A．
2．解：∵∠A＝55°，
∴∠ADE+∠AED＝180°﹣55°＝125°，
∵△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，
∴∠A′DE＝∠ADE，∠A′ED＝∠AED，
∴∠1+∠2＝180°﹣（∠A′ED+∠AED）+180°﹣（∠A′DE+∠ADE）＝360°﹣2×125°＝110°．
选：B．
3．解：∵AB的垂直平分线MN交AC于点D，
∴AD＝BD，
∴△CBD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝12cm，
∵BC＝4cm，
∴AC＝12﹣4＝8（cm），
∵AB＝AC，
∴△ACB的周长为：8+8+4＝20（cm），
选：A．
4．解：∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝60°，
∴∠ADF+∠AFD＝120°，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠FDE＝60°，DF＝ED，
∴∠ADF+∠BDE＝120°，
∴∠AFD＝∠BDE，
在△AFD和△BDE中，
，
∴△AFD≌△BDE（AAS），
∴BD＝AF＝2，BE＝AD，
∵△ABC的周长为15且△ABC是等边三角形，
∴AB＝5，
∴AD＝AB﹣BD＝5﹣2＝3，
∴BE＝3，
选：B．
二．填空题（共5小题）
5．解：∵P点关于OA、OB的对称点P1，P2，
∴NP＝NP2，MP＝MP1，
∴△PMN的周长＝PN+MN+MP＝P2N+NM+MP1＝P1P2＝18，
答案为：18．
6．解：∵OE垂直平分BC，
∴OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∵CF平分∠ACB，
∴∠ACF＝∠OCB，
∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠A+∠ABO+3∠ACF＝180°，
∵∠A＝52°，∠ABO＝20°，
∴∠ACF＝36°，
∴∠ACB＝2∠ACF＝72°．
答案为：72°．
7．解：如图所示，△ABC中，AB＝AC．
有两种情况：
①顶角∠A＝50°；
②当底角是50°时，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C＝50°，
∵∠A+∠B+∠C＝180°，
∴∠A＝180°﹣50°﹣50°＝80°，
∴这个等腰三角形的顶角为50°或80°．
答案为：50°或80°．
8．解：设∠B＝x，
∵AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACB＝75°，
∵BD＝DE，
∴∠B＝∠BED＝x，
∵∠ADE是△BDE的一个外角，
∴∠ADE＝∠B+∠BED＝2x，
∵ED＝EA，
∴∠ADE＝∠DAE＝2x，
∵∠AEC是△ABE的一个外角，
∴∠AEC＝∠B+∠DAE＝x+2x＝3x，
∴3x＝75°，
∴x＝25°，
∴∠BED＝25°，
∴∠DEA＝180°﹣∠AEC﹣∠BED＝80°，
答案为：80°．
9．解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，
∴∠B＝60°，AB＝2BC，
∵CD⊥AC，
∴∠A＝∠DCB＝30°，
∴BC＝2BD＝4，
∴AB＝2BC＝8，
∴AD＝AB﹣BD＝8﹣2＝6，
∵∠ACB＝90°，DE∥BC，
∴∠AED＝∠ACB＝90°，
∵∠A＝30°
∴DEAD＝3．
答案为：3．
三．解答题（共6小题）
10．解：（1）如图，即为平面直角坐标系；
（2）如图，△A1B1C1即为所求；
（3）∵关于x轴的对称的点“横坐标不变，纵坐变为相反数”，A（﹣4，4），
∴点A关于x轴的对称点的坐标为（﹣4，﹣4）．
11．证明：（1）∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴BE＝CE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）；
（2）①∵BF⊥AC，
∴∠CFB＝∠AFB＝90°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠ABF＝∠BAF＝45°，
∴AF＝BF，
∵AD⊥BC，BF⊥AC，
∴∠AFE＝∠BFC＝∠ADC＝90°，
∴∠FAE+∠C＝90°，∠CBF+∠C＝90°，
∴∠FAE＝∠CBF，
在△AEF和△BCF中
，
∴△AEF≌△BCF（ASA）；
②∵△AEF≌△BCF，
∴AE＝BC，
∵D为BC的中点，
∴BC＝2BD，
∴AE＝2BD．
12．解：△APQ为等边三角形．
证明：∵△ABC为等边三角形，
∴AB＝AC．
在△ABP与△ACQ中，
∵，
∴△ABP≌△ACQ（SAS）．
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ．
∵∠BAC＝∠BAP+∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ+∠PAC＝60°，
∴△APQ是等边三角形．
13．（1）证明：∵BD⊥AC，点D是AC边的中点，
∴BD垂直平分AC，
∴AB＝CB，
∵EF⊥AB，
∴∠ABC+∠E＝90°，
∵∠E＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴△ABC是等边三角形；
（2）解：AD＝CE，理由如下：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，
∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∠E＝30°，
∴∠CDE＝30°＝∠E，
∴CD＝CE，
∵点D是AC边的中点，
∴AD＝CD，
∴AD＝CE．
14．（1）证明：∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵FE⊥BC，
∴∠FEC＝∠FEB＝90°，
∴∠F+∠C＝90°，∠B+∠BDE＝90°，
∴∠F＝∠BDE，
∵∠BDE＝∠FDA，
∴∠F＝∠ADF，
∴AF＝AD；
（2）解：∵DE⊥BC，
∴∠DEB＝90°，
∵∠F＝30°，
∴∠BDE＝30°，∠C＝60°，
∵AB＝AC，
∴△ABC为等边三角形．
∴BC＝AC，
∵BD＝4，
∴
∴BC＝BE+EC＝2+6＝8，
∴AC＝8．
15．（1）证明：连接AE，
∵AD⊥BC于点D，且D为线段CE的中点，
∴AD垂直平分CE，
∴AC＝AE，
∵EF垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∴BE＝AC；
（2）解：∵AE＝BE，∠B＝35°，
∴∠BAE＝∠B＝35°，
∵AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣35°＝55°，
∴∠EAD＝55°﹣35°＝20°，
∵AC＝AE，
∴∠AED＝∠C，
∵∠AED+∠EAD＝∠C+∠CAD＝90°，
∴∠CAD＝∠EAD＝20°，
∴∠BAC＝∠BAD+∠CAD＝55°+20°＝75°．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)