上海市静安区风华中学2024-2025学年高二上学期期末数学试卷（PDF版，含答案）

上海市静安区风华中学 2024-2025 学年高二上学期期末数学试卷
一、单选题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.空间两条互相平行的直线指的是( )
A. 在空间没有公共点的两条直线
B. 分别在两个平面上的两条直线
C. 在两个不同的平面上且没有公共点的两条直线
D. 在同一平面上且没有公共点的两条直线
2.方程
2
16 =
5 5
16 的解集是( )
A. {1,3,5,7} B. {1,3,5} C. {3,5} D. {1,3}
3.祖暅，又名祖暅之，是我国南北朝时期的数学家、天文学家祖冲之的儿子.他在《级术》中提出“幂势既
同，则积不容异”的结论，其中“幂”是面积.“势”是高，意思就是：夹在两个平行平面间的两个几何体，
被平行于这两个平行平面的任一平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积
相等(如图①).这一原理主要应用于计算一些复杂几何体的体积，若某艺术品如图②所示，高为40 ，底面
为边长20 的正三角形挖去以底边为直径的圆(如图③)，则该艺术品的体积为( )
1000 2000
A. (1000√ 3 ) 3 B. (2000√ 3 ) 3
3 3
2000√ 3 2000 3 1000√ 3 1000C. ( ) D. ( ) 3
3 9 3 9
二、填空题：本题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。
4.空间中已知直线 ，直线 ，直线 ，若直线 //直线 ，直线 与直线 异面，则直线 与直线 的位置关系
是______．
2
5.在( + )5的二项展开式中， 3的系数是______(用数字作答)．

6.甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为
______．
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7.球的表面积扩大为原来的4倍，它的体积扩大为原来的______ 倍．
8.甲、乙等五名社区志愿者被随机分配到 、 、 、 四个不同岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者，则
甲、乙两人同时参加岗位 服务的排法有______种.
9.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位：分)，分数从低到高依次：56，70，72，78，79，80，
81，83，84，86，88，90，91，94，98，则这15人成绩的第80百分位数是 ．
10.有以下命题：
①若 = + ( , ∈ )，则 与 、 共面；
②若 与 、 共面，则 = + ( , ∈ )；
③若 = + ( , ∈ )，则 、 、 、 共面；
④若 、 、 、 共面，则 = + ( , ∈ ).则所有真命题的序号为______．
11.如图是某班一次数学测试成绩的茎叶图(图中仅列出[50,60)，[90,100)的数据)和频率分布直方图，则
= ______．
12.如图，在棱长为2的正方体 1 1 1 1中， 为线段 1 上的动点(不
含端点)，则下列结论正确的是______．
①平面 1 1 ⊥平面 1 ；
② 1 ⊥ ；

③∠ 1的取值范围是[ , )2 ；
4
④三棱锥 1 1 的体积为定值 ． 3
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13.已知四棱柱 1 1 1 1底面 为平行四边形， 1 = 3， = 4
且 1 1 = 5，则异面直线 1与 的夹角余弦值为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
14.(本小题12分)
如图，在四面体 中， = 8， = 6， 、 分别为 、 的中点，并且异面直线 与 所成的
角为90°.求 的长．
15.(本小题12分)
如图，在四棱锥 中， // ，且∠ = ∠ = 90°．
(1)证明：平面 ⊥平面 ；
8
(2)若 = = = ，∠ = 90°，且四棱锥 的体积为 ，
3
求 与平面 所成的线面角的大小．
16.(本小题12分)
如图， 是圆柱 1的一条母线， 是底面的一条直径， 是圆 上一点，且 = = 5， = 3．
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(1)求直线 与平面 所成角的大小；
(2)求点 到平面 的距离．
17.(本小题12分)
水果分为一级果和二级果，共136箱，其中一级果102箱，二级果34箱．
(1)随机挑选两箱水果，求恰好一级果和二级果各一箱的概率；
(2)进行分层抽样，共抽8箱水果，求一级果和二级果各几箱；
(3)抽取若干箱水果，其中一级果共120个，单果质量平均数为303.45克，方差为603.46；二级果48个，单
果质量平均数为240.41克，方差为648.21；求168个水果的方差和平均数，并预估果园中单果的质量．
18.(本小题12分)
在四棱锥 中，底面 是矩形， ⊥平面 ， = = 4， = 2，以 的中点 为球心、
为直径的球面交 于点 ，交 于点 ．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求点 到平面 的距离．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】相交或异面
5.【答案】10
6.【答案】0.8
7.【答案】8
8.【答案】6
9.【答案】90.5
10.【答案】①③
11.【答案】0.004
12.【答案】①②④
5
13.【答案】
12
14.【答案】解：取 中点 ，连接 ， ，
又因为 = 8， = 6， ， 分别为 ， 的中点，
1 1
所以 // ， = = 4， // ， = = 3，
2 2
又因为异面直线 与 所成的角为90°，所以∠ = 90°，
所以 2 = 2 + 2 = 42 + 32 = 25，
所以 = 5．
15.【答案】证明：(1) ∵在四棱锥 中，∠ = ∠ = 90°，
∴ ⊥ ， ⊥ ，
又∵ // ，
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∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ；
(2)解：取 中点 ，连结 ，
∵ = ， 为 的中点，
∴ ⊥ ，
∴ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵ ∩ = ，
∴ ⊥底面 ，
设 = = = = ，
则 √ 2 = √ 2 + 2 = √ 2 ， = ，
2
8
∵四棱锥 的体积为 ， ⊥底面 ，
3
1 1 1 √ 2 1 8
∴ = × 四边形 × = × × × = × × √ 2 × =
3 = ，解得 = 2，
3 3 3 2 3 3
√ 2
= = √ 2，
2
∴ = √ 2 + 2 + 2 = √ 2 + 2 + 4 = 2√ 2，
∵ ⊥底面 ，
∴ ∠ 为 与平面 所成的角，
在 △ 中， √ 2 1sin∠ = = = ，
2√ 2 2
∴ ∠ = 30°，
故 与平面 所成的线面角为30°．
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16.【答案】解：(1) ∵ ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
∵ 是圆 的直径，
∴ ⊥ ，
又 平面 ， 平面 ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ．
∴ ∠ 是 与平面 所成的角．
∵ = = 5，∴ = 5√ 2，
3√ 2
∴ sin∠ = = ．
10
∴直线 与平面 所成角的大小为 3√ 2arcsin ．
10
(2)过 作 ⊥ ，垂足为 ，
由(1)得 ⊥平面 ， 平面 ，
∴平面 ⊥平面 ，
又平面 ∩平面 = ， 平面 ， ⊥ ，
∴ ⊥平面 ．
∵ = √ 2 2 = 4，∴ = √ 2 + 2 = √ 41．
20√ 41
∴ = = ．
41
即 到平面 的距离为20√ 41．
41
17.【答案】解：(1)古典概型：设 事件为恰好选到一级果和二级果各一箱，样本空间的样本点的个数 =
136×135
2136 = = 9180， 2
事件的样本点的公式 = 1 1102 34 = 3468，
3468 17
所以 ( ) = = = ；
9180 45
(2)因为一级果箱数：二级果箱数= 3：1，
所以8箱水果中有一级果抽取6箱，二级果抽取2箱；
(3)设一级果平均质量为 ，方差为 2 2 ，二级果质量为 ，方差为 ，总体样本平均质量为 平均值，方差为
2，

因为 = 303.45， = 240.41， 2 = 603.46， 2 = 648.21，
120 48
所以 = × 303.45+ × 240.41= 285.44克，
120+48 120+48
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2 120 48 = × [603.46+ (303.45 285.44)2]+ × [648.21+ (240.41 285.44)2] = 1427.27克 2．
120+48 120+48
102 34
预估：平均质量为 + = 287.69克．
136 136
18.【答案】解：(1)证明：依题设知， 是所作球面的直径，则 ⊥ ，
∵ ⊥平面 ，
则 ⊥ ，
又 ⊥ ， ， 平面 ， ∩ = ，
∴ ⊥平面 ，
又 平面 ，
则 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
(2)由(1)知， ⊥ ，
又 = ，则 是 的中点，
则 = 2√ 2， = √ 2 + 2 = 2√ 3，
1
则 △ = = 2√ 6， 2
设 到平面 的距离为 ，
由 = 得2√ 6 = 8，
2√ 6
可求得 = ，
3
设直线 与平面 所成角的大小为 ，
√ 6
则 = = ；
3
(3)由已知求得 = 6，
易知 ⊥ ，
2 8
由 = 得 = = ，
3
5
∴ = ，
9
5
故 点到平面 的距离等于 点到平面 距离的 ，
9
又∵ 是 的中点，则 、 到平面 的距离相等，
5 10√ 6
由(2)可知所求距离为 = ．
9 27
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