(共8张PPT)
综合与实践 喷泉设计问题
初中阶段综合与实践领域，可采用项目式学习的方式，以问题解决为导向，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活中遇到的现实问题.在项目式学习的大框架下，围绕二次函数在实际生活应用方面选择“喷泉设计问题”这一项目进行探究，提高学生发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力.
综合与实践 喷泉设计问题
1. 数学小组在学习了二次函数后，进一步查阅其相关资料进行学习：
材料一 直线与圆有三种位置关系：相交、相切、相离．类比直线与圆的位置关系，给出如下定义：与坐标轴不平行的直线与抛物线有两个交点时，称直线与抛物线相交；直线与抛物线有且只有一个交点时，称直线与抛物线相切，这个交点称作切点；直线与抛物线没有交点时，称直线与抛物线相离．
材料二 判断抛物线 y=ax2+bx+c 与直线y=kx+m（k≠0）的位置关系：联立
得 ax2+（b-k）x+c-m=0．
综合与实践 喷泉设计问题
根据一元二次方程根的判别式 Δ=（b-k）2-4a（c-m）．①当 Δ=（b-k）2-4a（c-m）＞0 时，抛物线与直线有两个交点，则直线与抛物线相交（如图 1）；②当 Δ=（b-k）2-4a（c-m）=0 时，抛物线与直线有且只有一个交点，则直线与抛物线相切．直线叫做抛物线的切线，交点叫做抛物线的切点（如图 2）；③当 Δ=（b-k）2-4a（c-m）＜0，抛物线与直线没有交点，则直线与抛物线相离（如图 3）．
综合与实践 喷泉设计问题
探究性质 （1）判断：直线 y=2x+3 与抛物线y=x2-2x+4 的位置关系是 _____（选填“相交”“相切”或“相离”）；
运用性质 （2）若直线 y=2x+b 与抛物线 y=2x2 相离，则 b 的取值范围是 ____________；
相交
b＜-
综合与实践 喷泉设计问题
问题解决 某小区修建完成人工喷泉，人工喷泉中心有一竖直的喷水柱，喷水口为 A，数学兴趣小组观察发现，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，其中一条水流落地点为 C，兴趣小组将喷泉柱底端标为原点O，喷泉柱所在直线为 y 轴，OC 所在直线为x 轴，建立如图 4 所示的平面直角坐标系．从水流喷出到落下的过程中，水流喷出的竖直高度 y（m）与水流落地点与喷水柱底端的距离x（m）满足二次函数关系，其表达式为 y=-x2+2x+ ．
综合与实践 喷泉设计问题
（3）小区现要进行喷泉亮化工作，拟安装射灯，要求射灯发出的光线与地面的夹角为 45°，并且射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流，请问射灯安装在什么位置，符合安装要求．
综合与实践 喷泉设计问题
（3）设射灯发出的光线与 y 轴交于点 D，∵∠OBD=45°，∴OB=OD，
设点 B（m，0），则点 D（0，m），设直线 BD 的解析式为 y=ax+c，
∴ ∴ ∴ 直线 BD 的解析式为 y=-x+m，
联立
得 4x2-12x+4m-7=0，∵ 射灯发出的光线恰好不穿过下落的水流，
ma+c=0，
c=m,
a=-1，
c=m,
y=-x+m，
y=-x2+2x+ ,
综合与实践 喷泉设计问题
∴ 直线 BD 与抛物线 y=-x2+2x+ 相切，∴Δ=144-4×4×（4m-7）=0，
解得 m=4，∴OB=4 m，
答：射灯安装距离喷泉柱底端 4 m 处(共18张PPT)
第一节 函数及其图象
■考点一 平面直角坐标系中点的坐标特征（常考）
1.各象限内点的坐标特征（如图1）
坐标平面上的点与有序实数对是一一对应的.
满分备考
＜
＞
＜
第一节 函数及其图象
2.特殊位置点
的坐标特征
坐标轴上
（如图 2）
x 轴上的点 P1 的纵坐标为④_______
y 轴上的点 P2 的横坐标为⑤_______
原点 P3 的坐标为⑥_____
角平分线上（如图 3）
第一、三象限的角平分线上
横纵坐标⑦________
第二、四象限的角平分线上
横纵坐标⑧________
0
0
（0，0）
相等
互为相反数
第一节 函数及其图象
2.特殊位置点
的坐标特征
（拓展）平行于坐标轴
与 x 轴平行的直线上的点⑨______ 坐标相同
与 y 轴平行的直线上的点⑩______ 坐标相同
纵
横
坐标轴上的点不属于任何象限.
失分警示
第一节 函数及其图象
3.对称点的坐标特征（如图 4）
1. 点（a，b）关于直线 x=m 对称的点的坐标为（2m-a，b）.
2.点（a，b）关于直线 y=n 对称的点的坐标为（a，2n-b）.
满分备考
B（a，-b）
C（-a，b）
D（-a，-b）
（b，a）
（-b，-a）
第一节 函数及其图象
4.点的平移的坐标特征
（x+a，y）
（x，y+a）
（x，y-a）
第一节 函数及其图象
5. 两点之间的距离
｜b｜
｜a｜
｜x1-x2｜
｜x1-x2｜
第一节 函数及其图象
5. 两点之间的距离
｜y1-y2｜
｜y1-y2｜
第一节 函数及其图象
■考点二 函数的基本概念及自变量的取值范围（常考）
概念
变量：在一个变化过程中，可以取不同数值的量叫做变量.
常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量.
函数
一般地，在某个变化过程中，如果有两个变量 ｘ 与 ｙ，对于 ｘ 的每一个确定的值，ｙ 都有唯一确定的值与之对应，我们称 ｘ 是自变量，ｙ 是 ｘ 的函数.函数不是数，它是指某一变化过程中的两个变量之间的关系.
函数值：在自变量 x 的取值范围内，如果当 x=a 时，y=b，那么 b 叫做当自变量的值为 a 时的函数值.
函数的三种表示方法：解析式法、列表法、 _______.
图象法
函
数
第一节 函数及其图象
函数自变量的取值范围
≠
≥
＞
函数图象的画法：①列表；②描点；③连线.
函
数
■题型一 平面直角坐标系中的规律探究（常考）
题型解法
（1）动点找规律，分析横坐标、纵坐标与运动次数 n 的关系；
（2）图形运动找规律，先分析图形整体位置，再看所研究点的位置.
第一节 函数及其图象
例 1 ［2024·河北 16 题］ 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于 0 的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以 3 所得的余数（当余数为 0 时，向右平移；当余数为 1 时，向上平移；当余数为2 时，向左平移），每次平移 1 个单位长度．
第一节 函数及其图象
若“和点”Q 按上述规则连续平移 16 次后，到达点 Q1（6 -1，9），则点 Q 的坐标为 （ ）
A．（6，1）或（7，1） B．（15，-7）或（8，0）
C．（6，0）或（8，0） D．（5，1）或（7，1）
第一节 函数及其图象
D
练习 如图，弹性小球从点 P（0，1）出发，沿所示方向运动，每当小球碰到正方形OABC 的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当小球第 1 次碰到正方形的边时的点为 P1 （2，0），第 2 次碰到正方形的边时的点为 P2，…，第 n 次碰到正方形的边时的点为 Pn，则点 P2 024 的坐标是 （ ）
A．（2，0） B．（4，3） C．（2，4） D．（4，1）
第一节 函数及其图象
D
■题型二 函数的图象（常考）
题型解法
判断符合题意的函数图象的方法
第一节 函数及其图象
与实际 问题结合 ①找起点；②找特殊点；③找特殊阶段，如休息的阶段在图象上表示为一段水平线段；④判断图象趋势；⑤看图象是否与坐标轴相交，若相交，则此时有一个量为 0.
与几何 图形结合 一般都可转化为求线段的长度，进而求解.一般可利用勾股定理、三角形相似、线段成比例等考查自变量与因变量之间的函数关系，再找相应图象，要注意分类讨论时自变量的取值范围.
续表
第一节 函数及其图象
与几何图形中的动点 结合 一般解题思路为设时间为 t，找出因变量与 t 之间存在的函数关系，用含 t 的式子表示， 再找相对应的函数图象，注意是否需要分类讨论.
分析函数图象判断结 论正误 分清图象的横、纵坐标代表的量及函数中自变量的取值范围，同时要注意：①分段函数要分段讨论；②转折点：判断函数的倾斜方向或增减性发生变化的关键点；③平行线：函数值随自变量
的增大而保持不变，再结合题干推导出实际问题的运动过程，从而判断结论的正误.
例 2 ［2024·河北 14 题］ 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为 120°时，扇面面积为 S，该折扇张开的角度为 n°时，扇面面积为Sn，若 m= ，则 m 与 n 关系的图象大致是（ ）
第一节 函数及其图象
C
练习一 ［2023·河北 14 题］如图是一种轨道示意图，其中ADC 和ABC 均为半圆，点 M，A，C，N 依次在同一直线上，且 AM＝CN．现有两个机器人（看成点）分别从 M，N 两点同时出发，沿着轨道以大小相同的速度匀速移动，其路线分别为 M→A→D→C→N 和 N→C→B→A→M．若移动时间为 x，两个机器人之间距离为 y．则 y 与 x 关系的图象大致是 （ ）
第一节 函数及其图象
D
练习二 如图 1，在△ABC 中，CA=CB，M 是线段 AB 上一动点，从顶点 A 出发以 1 cm/s 的速度向点 B 运动，到达点 B 时停止运动，过点M 作直线 l 垂直于 AB，交折线 A-C-B 于点 N．设点 M 移动的时间是 x s，△AMN 的面积为 y cm2，若 y 关于 x 的函数图象如图 2所示，则△ABC 的周长为（ ）
A． 7 cm B． 8 cm C． 9 cm D． 10 cm
第一节 函数及其图象
C(共26张PPT)
第五节 二次函数的图象和性质
■考点一 二次函数的图象和性质（必考）
1. 定义
一般地，形如 y=①_________（a，b，c 是常数，a≠0）的函数叫做二次函数.其中 x 是自变量，a，b，c 分别为函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项.
ax2+bx+c
第五节 二次函数的图象和性质
2.二次函数的图象和
性质
图象的画法
方法：描点法；
步骤：画对称轴→确定顶点→确定与 y 轴的交点→确定与 x 轴的交点→连线.
如果明确指出函数是二次函数，那么就隐含了二次项系数不为 0 这一重要条件；如果没有指明函数类型，则要进行分类讨论.
失分警示
第五节 二次函数的图象和性质
2.二次函数的图象和
性质
表达式 y=ax2+bx+c（a，b，c 为常数，a≠0） a 的符号 a＞0 a＜0
图象
性质 开口方向 开口向上 开口向下
开口大小 |a||越大，抛物线开口越②_______； |a|越小，抛物线开口越③_______ 对称轴 直线 x=－ 或 x= （其中 x1，x2 为抛物线上关于对称轴对称的两点的横坐标）. 小
大
第五节 二次函数的图象和性质
2.二次函数的图象和
性质
性质 顶点坐标 ④______________ 增减性 当 x＞- 时，y 随 x 的增大而增大；当x＜- 时，y 随 x 的增大而减小. 当 x ＞- 时，y 随 x 的增大而减小；
当 x＜- 时，y 随 x 的增大而增大.
最值 当 x=- 时，有最⑤___ 值 当x=- 时，有最⑥____值
小
大
第五节 二次函数的图象和性质
一题串考点
已知抛物线 y=ax2+bx+c.
（1）若该抛物线经过点（3，n），（5，n），则其对称轴为直线 _______；
（2）若 a=-1，b=-4.
①抛物线的对称轴为直线 _______；
②当 x＞-4 时，y 有最 _____ 值；当 x＜-4 时，y 随 x 的增大而 ______；
③当-3≤x≤2 时，函数的最小值为 1，则 c=______；
x=4
x=-2
大
增大
13
第五节 二次函数的图象和性质
④若抛物线经过点（-4，3），则当 y=3 时，x=__________；当 y＜3 时，x 的取值范围是 ________________；
⑤若（-4，y1），（-2，y2），（4，y3）是抛物线上的点，则 y1，y2，y3 的大小关系为 ________；
⑥若 P（-4，y1），Q（m，y2）是抛物线上的点，且 y1＜y2，则实数 m 的取值范围是 _______.
-4 或 0
x＜-4 或 x＞0
y2＞y1＞y3
-4＜m＜0
第五节 二次函数的图象和性质
■考点二 抛物线与字母系数 a，b，c 的关系（常考）
左侧
右侧
y 轴
原点
第五节 二次函数的图象和性质
续表
1. 对于特殊式子符号的判断，看到 a+b+c，令 x=1，看纵坐标；看到 a-b+c，令 x=-1，看纵坐标；看到 4a+2b+c，令 x=2，看纵坐标.
2. 结合对称轴与直线x=1 的位置关系，即- ＞1 或- ＜1，判断 2a+b 的符号.
满分备考
两个
无
第五节 二次函数的图象和性质
一题串考点
抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=-1，部分图象如图所示.
（1）a 与 b 的数量关系是 ______；
（2）a_____0，b_____0，c_____0，abc_____0；（选填“＞”“＜”或“＝”）
（3）抛物线与 x 轴有 ____ 个交点，b2______4ac（选填“＞”“＜”或“＝”）；
（4）a+b+c_____0，4a-2b+c_____0，9a-3b+c_____0；（选填“＞”“＜”或“＝”）
b=2a
＞
＞
＜
＜
两
＞
＝
＜
＝
第五节 二次函数的图象和性质
（5）当 y＜0 时，x 的取值范围是 _______；
（6）若点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，则 y1______y2；（选填“＞”“＜”或“＝”）
（7）y 的最小值为 ______（用含 a，b，c 的整式表示），若 n 为任意实数，则 n（an+b）_____a-b（选填“≥”“≤”“＞”或“＜”）.
-3＜x＜1
＜
a-b+c
≥
第五节 二次函数的图象和性质
■考点三 确定二次函数解析式（常考）
1. 二次函数解析式的三种形式
解析式 使用条件
一般式 y= _____________. 已知抛物线上任意三点.
顶点式 y =a（x -h）2+k（a≠0）， 其中二次函数图象的顶点坐标是 ___________. 已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最值.
交点式 y= _______________（a≠0），其中，x1，x2 为抛物线与 x 轴交点的横坐标. 已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标.
ax2+bx+c（a≠0）
（h，k）
a（x-x1）（x-x2）
第五节 二次函数的图象和性质
巧设二次函数解析式的方法
1. 顶点在原点，可设为 y=ax2.
2. 对称轴是 y 轴（或顶点在 y 轴上），可设为 y=ax2+c.
3. 顶点在 x 轴上，可设为 y=a（x-h）2.
4. 抛物线过原点，可设为 y=ax2+bx.
5. 已知顶点（h，k）时，可设顶点式 y=a（x-h）2+k.
6. 已知抛物线与 x 轴的两个交点坐标（x1，0），（x2，0），或已知对称轴及与 x 轴的一个交点（x1，0），利用对称轴可求出另外一个交点的坐标（x2，0），可设为交点式 y=a（x-x1）（x-x2）.
满分备考
第五节 二次函数的图象和性质
2. 确定二次函数解析式
（1）方法： ________ 法.
（2）一般步骤
①将图象上的三个点的坐标代入函数解析中，得到含有待定系数的方程组；
②解方程组，求待定系数 a，b，c 的值；
③将 a，b，c 的值代入，写出二次函数解析式.
待定系数
第五节 二次函数的图象和性质
左加右减
上加下减
■考点四 二次函数图象的平移
第五节 二次函数的图象和性质
1.函数图象平移的实质是图象上点的整体平移.
2.在二次函数图象平移时，通常将一般式转化为顶点式，再根据平移规律计算.
满分备考
将抛物线 y=-x2-6x-6 向左平移 2 个单位长度，则平移后的函数解析式为 ____________________，
向上平移 2 个单位长度，则平移后的函数解析式为 ____________________，
向下平移 1 个单位长度，再向右平移 1 个单位长度，则平移后的函数解析式为 ___________________.
即学即练
y=-（x+5）2+3
y=-（x+3）2+5
y=-（x+2）2+2
第五节 二次函数的图象和性质
■考点五 二次函数与一元二次方程、不等式的关系（常考）
1. 方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的解是二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴的交点横坐标
第五节 二次函数的图象和性质
2. 二次函数与一元二次
不等式的关系
函数 y=ax2+bx+c 的图象位于 x 轴上方对应的点的横坐标的取值范围.
（1）ax2+bx+c＞0 的解集
（2）ax2+bx+c＜0 的解集
函数 y=ax2+bx+c 的图象位于 x 轴下方对应的点的横坐标的取值范围.
第五节 二次函数的图象和性质
一题串考点
二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，根据图象解答下列问题：
（1）方程 ax2+bx+c=0 的两个根为 ____________；
（2）不等式 ax2+bx+c＞0 的解集为 ____________；
（3）若方程 ax2+bx+c=k 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 _____．
x1=1，x2=3
1＜x＜3
k<2
■题型 二次函数的图象与性质（必考）
题型解法
1. 抛物线对称轴的求法
（1）公式法：抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=- ；
（2）配方法：配成顶点式 y=a（x-h）2+k，对称轴为直线 x=h；
（3）根据对称性求解：若抛物线过点（x1，n），（x2，n），则对称轴为直线x= .
第五节 二次函数的图象和性质
2. 利用二次函数的性质比较函数值大小的方法
（1）代入比较法
（2）增减性比较法
第五节 二次函数的图象和性质
（3）距离比较法
第五节 二次函数的图象和性质
例 ［2023·河北 16 题］已知二次函数 y=-x2+m2x 和 y=x2-m2（m 是常数）的图象与 x 轴都有两个交点，且这四个交点中每相邻两点间的距离都相等，则这两个函数图象对称轴之间的距离为 （ ）
A． 2 B． m2 C． 4 D． 2m2
第五节 二次函数的图象和性质
A
练习一 ［2022·河北 23 题］如图，点 P（a，3）在抛物线 C：y=4-（6-x）2上，且在 C 的对称轴右侧．
（1）写出 C 的对称轴和 y 的最大值，并求 a 的值；
（2）坐标平面上放置一透明胶片，并在胶片上描画出点 P 及 C 的一段，分别记为 P′，C′．平移该胶片，使 C′所在抛物线对应的函数恰为 y=-x2+6x-9．求点 P′移动的最短路程．
第五节 二次函数的图象和性质
第五节 二次函数的图象和性质
解：（1）∵ 抛物线 C：y =4 -（6 - x）2 =-（x-6）2+4，∴ 抛物线的顶点坐标为（6，4），
∴ 抛物线的对称轴为直线 x=6，y 的最大值为 4，将 P（ａ，３）的坐标代入，得 3=-（a-6）2+4，∴a=5 或 7，∵ 点 P 在对称轴的右侧，∴a＞6，∴a=7；
（2）∵ 平移后得到的抛物线的解析式为 y=-（x-3）2，∴ 平移后抛物线的顶点坐标为（3，0），∵ 平移前抛物线的顶点坐标为（6，4），∴ 点 P′移动的最短路程为 =5．
练习二 我们把横、纵坐标都是整数的点称为整点，如图，抛物线 C1：y=-x2+2x+4 与 C2：y=（x-m）（2 m 是常数）围成的封闭区域（边界除外）内整点的个数不能是 （ ）
A． 1 个
B． 2 个
C． 3 个
D． 4 个
第五节 二次函数的图象和性质
C
练习三 我们定义一种新函数：形如 y=|ax2+bx+c|（a≠0，b2-4ac＞0）的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数 y=|x2-2x-3|的图象（如图所示），并写出下列五个结论：
①图象与坐标轴的交点为（-1，0），（3，0）和（0，3）； ②图象具有对称性，对称轴是直线 x=1； ③当-1≤x≤1 或 x≥3 时，函数值 y 随 x 值的增大而增大； ④当 x=-1 或 x=3 时，函数的最小值是 0； ⑤当 x=1 时，函数的最大值是 4.其中正确结论的个数是 （ ）
A． 4 B． 3 C． 2 D． 1
第五节 二次函数的图象和性质
A(共24张PPT)
第四节 反比例函数及其应用
■考点一 反比例函数的图象和性质（必考）
1. 反比例函数
定义：y= （k 为常数，k≠0），自变量的取值范围是①_______________.
三种表现形式
（1）y= （k 为常数，k≠0）；
（2）y=kx-1（k 为常数，k≠0）；
（3）xy=k（k 为常数，k≠0）.
判断点在反比例函数图象上的方法：（1）判断该点的横、纵坐标之积是否等于 k，是在，否则不在；（2）把点的横坐标代入解析式，求出 y 值，判断 y 值与纵坐标是否相同，相同在，不相同则不在.
满分备考
不等于 0 的一切实数
第四节 反比例函数及其应用
2.反比
例函
数的
图象
和性
质
表达式 y= kx（k 为常数，k≠0） 图象 k＞0 k＜0
所在象限 第②_______ 象限 第③______ 象限
增减性 在每个象限内，y 随 x 的增大而④_______ 在每个象限内，y 随 x 的增大而⑤_______
一、三
二、四
减小
增大
第四节 反比例函数及其应用
2.反比
例函
数的
图象
和性
质
图象特征 是双曲线，每个分支都无限接近但永远不能到达 x 轴、y 轴上，永远不会与 x 轴、y 轴相交；｜k｜越大，双曲线离原点越远. 对称性 轴对称性 是轴对称图形，有两条对称轴，分别是直线 y=x，y=-x.
中心对称 是中心对称图形，对称中心是⑥_______.如双曲线的一支上一点（a，b）关于原点对称点（-a，-b）在双曲线的另一支上.
原点
第四节 反比例函数及其应用
比较反比例函数值的大小，要先判断两点是否在同一象限，再分情况判断.
有两种方法：（1）代值计算法：将点的横坐标代入求出函数值再比较；
（2）数形结合法：画出草图，标注点的位置比较.
失分警示
第四节 反比例函数及其应用
■考点二 反比例函数 k 的几何意义
1. k 的几何意义：如图，反比例函数 y= 图象上任意一点 P（x，y），过这一点分别作 x 轴、y 轴的垂线 PM，PN，与坐标轴围成的矩形 PMON 的面积 S=｜xy｜ =⑦_______.
｜k｜
第四节 反比例函数及其应用
2. 计算与反比例函数有关的图形面积
｜k｜
1
2
｜k｜
1
2
2｜k｜
｜k｜
第四节 反比例函数及其应用
续表
第四节 反比例函数及其应用
■考点三 反比例函数解析式的确定（必考）
1.待定系数法
（1）设函数解析式为 y= （k≠0）；
（2）找出满足函数解析式的点 P（a，b）；
（3）将点 P 的坐标代入解析式，求得 k= _______；
（4）把 k 代入，确定解析式 y=
2. 系数 k 的几何意义法：根据几何图形的面积得｜k｜，结合图象所在象限判断 k 的正负.
因为反比例函数系数有正负之分，所以用 k 表示矩形或三角形的面积时要加上绝对值符号，根据图象所在象限确定 k的正负.
满分备考
ab
第四节 反比例函数及其应用
■考点四 反比例函数与一次函数图象相交问题
第四节 反比例函数及其应用
由于反比例函数的图象和正比例函数的图象都关于原点成中心对称，所以若它们相交，则两个交点必关于原点成中心对称.
失分警示
xB＜x＜0 或 x＞xA
第四节 反比例函数及其应用
■考点五 反比例函数的应用（常考）
1. 反比例函数与一次函数的综合应用
（1）根据点的坐标确定函数解析式；
（2）根据图象比较两函数值的大小；
（3）求三角形或四边形的面积；
（4）由几何图形面积确定点的坐标或求函数解析式；
（5）根据函数解析式及其图象解决其他问题.
第四节 反比例函数及其应用
2. 反比例函数的实际应用
（1）根据实际情况建立反比例函数模型；
（2）确定函数解析式；
（3）根据反比例函数的性质解决实际问题.
常见的反比例函数关系
步骤
在实际问题中，求出解析式后要注意自变量和函数值的取值
范围.
失分警示
第四节 反比例函数及其应用
一题串考点
如图，一次函数 y=kx+b 的图象与反比例函数 y= 的图象交于 A（1，3），B（-3，n）两点．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）求△AOB 的面积；
（3）根据图象直接写出一次函数值小于反比例函
数值的 x 的取值范围.
第四节 反比例函数及其应用
解：（1）∵ 反比例函数 y= 的图象
经过 A（1，3），∴m=1×3=3，
∴ 反比例函数的表达式为 y= ，
又 ∵ 点 B（-3，n）在反比例函数y= 的图象上．
∴-3n=3，∴n=-1，∴B（-3，-1），
∵ 一 次 函 数 y =kx +b 的图象经过A（1，3），B（-3，-1）两点．∴
解得 ∴ 一次函数的表达式为 y=x+2；
k+b=3，
-3k+b=-1,
k=1，
b=2,
第四节 反比例函数及其应用
（2）如图，设直线 y=x+2 与 y 轴交于点 C， 则 C（0，2），
∴S △AOB =S△BOC +S△AOC= ×2×3+ ×2×1=4；
（3）x＜-3 或 0＜x＜1．
■题型一 反比例函数的图象与性质（必考）
题型解法
第四节 反比例函数及其应用
例 1 ［2024·河北 7 题］节能环保已成为人们的共识．淇淇家计划购买 500 度电，若平均每天用电 x 度，则能使用 y 天．下列说法错误的是 （ ）
A． 若 x=5，则 y=100
B． 若 y=125，则 x=4
C． 若 x 减小，则 y 也减小
D． 若 x 减小一半，则 y 增大一倍
第四节 反比例函数及其应用
C
衍生一 变图象———与图象结合，求待定系数的值
如图，已知 P（-1，3），Q（-3，2）两点分布在曲线 L：y= （x＜0）的两侧，写出一个符合条件的 k 的整数值：__________.
第四节 反比例函数及其应用
-4（答案不唯一）
衍生二 变情境———根据图象判断结论
已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流 （I 单位：A）与电阻 R（单位：Ω）是反比例函数关系，它的图象如图所示．下列说法正确的是 （ ）
A． 函数解析式为 I= R
B． 蓄电池的电压是 18 V
C． 当 R=6 Ω 时，I=4 A
D． 当 I≤10 A 时，R≥3.6 Ω
第四节 反比例函数及其应用
D
■题型二 反比例函数的综合应用（常考）
题型解法
反比例函数与线段交点确定取值范围：
（1）线段平行于坐标轴时，通过线段两端点求范围，取中间；
（2）线段任意位置时，求线段所在直线的关系式，求与反比例函数的交点，结合（1）求取值范围.
第四节 反比例函数及其应用
例2 ［2023·河北 17 题］如下左图，已知点 A（3，3），B（3，1），反比例函数y= （k≠0）图象的一支与线段 AB 有交点，写出一个符合条件的k 的整数值：________________________________________．
第四节 反比例函数及其应用
5（答案不唯一，取 3≤k≤9 的整数值即可）
练习一 ［2024·石家庄平山一模］如上右图是 4 个台阶的示意图，每个台阶的高和宽分别是 1 和 2，将每个台阶拐角的顶点叫作拐点，记作 Tm（m 为 1～7 的整数），函数 y= （x＞0）的图象为曲线 L．当曲线 L 同时经过的拐点最多时，k 的值为 （ ）
A． 6 B． 8 C． 12 D． 16
第四节 反比例函数及其应用
B
练习二 ［2021·河北 19 题］用绘图软件绘制双曲线 m：y= 与动直线 l：y=a，且交于一点，图 1 为 a=8 时的视窗情形.
（1）当 a=15 时，l 与 m 的交点坐标为 _______；
（2）视窗的大小不变，但其可视范围可以变化，且变化前后原点 O 始终在视窗中心.
例如，为在视窗中看到（1）中的交点，可将图 1 中坐标系的单位长度变为原来的 ，其可视范围就由-15≤x≤15 及-10≤y≤10 变成了-30≤x≤30及-20≤y≤20（如图 2）.
第四节 反比例函数及其应用
（4，15）
当 a=-1.2 和 a=-1.5 时，l 与 M 的交点分别是点 A 和 B，为能看到 M 在 A 和 B 之间的一整段图象，需要将图 1 中坐标系的单位长度至少变为原来的 , 则整数 k=_______.
第四节 反比例函数及其应用
4(共22张PPT)
第三节 一次函数的实际应用
■考点 一次函数的实际应用（常考）
1. 一次函数的
实际应用的步骤
第三节 一次函数的实际应用
2. 一次函数方案最值问题
（1）将所有求得的方案的值计算出来，再进行比较；
（2）直接利用所求值与其变量之间满足的一次函数关系式求解，求一次函数的增减性可直接确定最优方案及最值；若是分段函数，则需要分类讨论，先计算出每个分段函数的最值，再进行比较.
■题型 一次函数的实际应用
题型解法
第三节 一次函数的实际应用
方案选取问题：①根据题意列不等式解决；②求得题干中的两函数图象的交点；③根据两函数图象的位置选择最优方案.
第三节 一次函数的实际应用
例 ［2021·河北 23 题］如图所示的是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1 号指挥机（看成点 P）始终以 3 km/min 的速度在离地面5 km 高的上空匀速向右飞行，2 号试飞机（看成点 Q）一直保持在1 号机 P 的正下方，2 号机从原点 O 处沿 45°仰角爬升，到 4 km高的 A 处便立刻转为水平飞行，再过 1 min 到达 B 处开始沿直线 BC 降落，要求 1 min 后到达 C（10，3）处.
（1）求 OA 的 h 关于 s 的函数解析式，并直接写出 2 号机的爬升速度；
第三节 一次函数的实际应用
（2）求 BC 的 h 关于 s 的函数解析式，并预计 2 号机着陆点的坐标；
（3）通过计算说明两机距离 PQ 不超过 3 km的时长是多少.
［注：（1）及（2）中不必写 ｓ的取值范围］
第三节 一次函数的实际应用
第三节 一次函数的实际应用
解：（1）∵2 号机爬升角度为 45°，
∴OA 上的点的横纵坐标相同，∴A（4，4）.设 OA 的解析式为 h=ks，
∴4k=4，∴k=1.∴OA 的解析式为 h=s.
∵2 号试飞机一直保持在 1 号机的正下方，∴ 它们飞行的时间和飞行的水平距离相同.∵2 号机爬升到A 处时，
又 ∵1 号机的飞行速度为 3 km/min，
飞行到点 A 正上方时，用时 min，
∴2 号机的爬升速度为
第三节 一次函数的实际应用
解：（2）设 BC 的解析式为 h=ms+n，由题意，得 B（7，4），C（10，3）.
∴BC 的解析式为 h= .令 h=0，则 s=19.
∴ 预计 2 号机着陆点的坐标为（19，0）；
（3）∵PQ 不超过 3 km，∴5-h≤3，
∴5-s≤3，且 5- ≤3，解得 2≤s≤13.
∴ 两机距离 PQ 不超过 3 km 的时长为（13-2）÷3= （min）.
练习一 ［2024·河北模拟］如图，某小车从一光滑斜面的顶端滑下，实验表明，其速度每秒增加 1.5 m.
比如，若第 3 s 速度是 4 m/s，则第 4 s 速度为 5.5 m/s，第 5 s 速度为 7 m/s……
设小车向下滑动的时间为t （s）时，对应的滑动速度为 v（m/s）．
（1）小明将小车由静止开始下滑，到达斜面底部时，小车的速度达到 27 m/s.下表是他没有完成的实验数据：
第三节 一次函数的实际应用
直接写出 v 与 t 的函数表达式，并求出 c，d 的值；
（2）小明将小车在顶端开始的速度 v0 定为 1 m/s，要使小车速度不超过 27 m/s，求 t 可取到的最大整数值．
第三节 一次函数的实际应用
第三节 一次函数的实际应用
解：（1）由题意知，小车滑动的速度 v（m/s）与小车向下滑动的时间t （s）之间满足一次函数关系，设速度 v（m/s）与时间 t （s）之间的函数解析式为 v=kt+b，
把（1，1.5），（2，3）代入解析式得 解得
∴ 速度 v（m/s）与时间 （t s）之间的函数解析式为 v=1.5t；
当 t=10 时，v=1.5×10=15，即 c=15；当v=27 时，1.5t=27，解得 t=18，即 d=18；
k+b=1.5，
2k+b=3,
k=1.5，
b=0,
第三节 一次函数的实际应用
（2）根据题意，得 v=1+1.5t，
∵ 小车速度不超过 27 m/s，
∴1+1.5t≤27，解得 t≤ ，
∴t 可取到的最大整数值为 17．
练习二 【综合实践】新能源汽车多数采用电能作为动力来源，不需要燃烧汽油，这样就减少了二氧化碳等气体的排放，从而达到保护环境的目的．
【实验操作】为了解汽车电池需要多久能充满，以及充满电量状态下电动汽车的最大行驶里程，某综合实践小组设计了两组试验．
实验Ⅰ：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量 y（%）与时间（t min）的关系，数据记录如表 1：
第三节 一次函数的实际应用
实验Ⅱ：探究充满电量状态下电动汽车行驶过程中仪表盘显示剩余电量 e（%）与行驶里程 s（km）的关系，数据记录如表 2：
第三节 一次函数的实际应用
【建立模型】
（1）观察表 1、表 2 发现都是一次函数模型，请结合表 1、表 2 的数据，直接写出 y 关于 t 的函数表达式及 e 关于 s 的函数表达式. （不写自变量的取值范围）
第三节 一次函数的实际应用
y=t；e=- s+100；
【解决问题】
（2）某电动汽车在充满电量的状态下，从 A 地出发前往距出发点 480 km 的 B 地，在途中服务区进行一次充电后继续行驶，其已行驶里程数（s）和显示剩余电量（e）的函数关系如下图所示：
①该车到达 B 地时，显示剩余电量 e 的值为 _____；该车进入服务区充电前显示剩余电量 e 的值为 __________．
②该车中途充电用了多少分钟？
③当汽车显示剩余电量 e 的值为 60 时，该车距出发点 A 地多少千米？
第三节 一次函数的实际应用
10
40
第三节 一次函数的实际应用
解：②离开服务区走完剩余路程 240 km时，需要耗电量 60%，又知该车到达B 地时，显示剩余电量为 10%，
∴ 增加的电量为 60%+10%-40%=30%，即 y=30．∴t=30，即该车中途充电用了 30 min；
第三节 一次函数的实际应用
解：③当汽车到达服务区前，汽车显示剩余电量 e 的值为 60 时，由表格数据得此时该车距出发点 A地 160 km；当汽车离开服务区后，汽车显示剩余电量 e 的值为 60 时，
∵ 离开服务区时的剩余电量为 40%+30%=70%，汽车显示剩余电量 e 的值为 60 时，耗电量为 10%，∵ 耗电 1%行驶的里程为 =4(km)，∴ 耗电量 10%行驶的路程为 10×4=40（km），故此时该车距出发点 A 地 240+40=280（km），综上，当汽车显示剩余电量 e 的值为 60 时，该车距出发点 A 地 160 km或 280 km．
练习三 ［2024·邯郸邯山区模拟］如图 1 是嘉嘉做“探究拉力 F 与斜面高度 h 的关系”的实验装置，一个高度可自动调节的斜面上，斜面的初始高度为 0.1 m，两个相同弹簧测力计分别拉着质量不同的木块，图 2 是电脑软件显示的拉力 F 与斜面高度 h 的关系图象．
（1）分别求 AC 和 BC 段的函数关系式；
（2）当两个弹簧测力计的拉力相差 0.4 N 时，求斜面 h 的高度．
第三节 一次函数的实际应用
第三节 一次函数的实际应用
第三节 一次函数的实际应用
解：（1）由图可知，点 A（0.1，1），C（0.3，3），设 AC 段的函数关系式为F1=kh+d（k≠0），
则 解得 ∴AC 段的函数关系式为 F1=10h；
由图可知 B（0.1，2）和 C（0.3，3），设 BC 段的函数关系式为 F2=ah+b（a≠0），则 解得
∴BC 段的函数关系式为 F2=5h+1.5；
0.1k+d=1，
0.3k+d=3,
k=10，
d=0,
0.1a+b=2，
0.3a+b=3,
a=5，
b=1.5,
第三节 一次函数的实际应用
（2）当两个弹簧测力计的拉力相差0.4 N 时，得｜5h+1.5-10h｜=0.4，
即 5h+1.5-10h=0.4 或 10h-5h-1.5=0.4，解得 h=0.22 或 h=0.38，
∴ 当两个弹簧测力计的拉力相差 0.4 N 时，斜面 h 的高度为 0.22 m 或 0.38 m.(共19张PPT)
第七节 二次函数的综合应用
■考点 二次函数的综合应用（常考）
1. 与其他
函数结合
与一次函
数结合
由联立方程组 求解的数目确定，方程组有两组不同的解，直线与抛物线有两个交点；方程组只有一组解，直线与抛物线只有一个交点；方程组无解，直线与抛物线没有交点.
与反比例函数结合：主要涉及二次函数与反比例函数图象的交点问题.
第七节 二次函数的综合应用
2. 与几何图形结合
（1）从题干出发，寻找抛物线上的特殊点，如与 x 轴、y 轴、几何图形各边的交点及抛物线的对称轴方程和顶点坐标，二次函数中有几个待定系数，则至少找几个点的坐标；
（2）根据二次函数与方程（不等式）的关系、几何图形的性质，求出上述的特殊点，利用待定系数法即可求得抛物线的解析式；
（3）根据抛物线的解析式与相关几何图形的性质，如三角形面积、三角形全等、三角形相似、四边形判定等知识，有针对性地求解具体问题.
■题型 二次函数的综合应用（常考）
题型解法
第七节 二次函数的综合应用
例［2024·河北 26 题］如图，抛物线 C1：y＝ax2-2x 过点（4，0），顶点为点 Q．抛物线 C2：y＝- （x-t）2+ t2-2（其中 t 为常数，且 t＞2），顶点为点 P．
（1）直接写出 a 的值和点 Q 的坐标；
（2）嘉嘉说：无论 t 为何值，将 C1 的顶点 Q 向左平移 2个单位长度后一定落在 C2 上．
淇淇说：无论 t 为何值，C2 总经过一个定点．
请选择其中一人的说法进行说理；
第七节 二次函数的综合应用
（3）当 t＝4 时，
①求直线 PQ 的解析式；
②作直线 l∥PQ，当 l 与 C2 的交点到 x 轴的距离恰为 6 时，求 l 与 x轴交点的横坐标；
（4）设 C1 与 C2 的交点 A，B 的横坐标分别为 xA，xB，且 xA＜xB.点 M 在C1 上，横坐标为 m（2≤m≤xB）．点 N 在 C2 上，横坐标为 n（xA≤n≤t）.若点M 是到直线 PQ 的距离最大的点，最大距离为 d，点 N 到直线 PQ 的距离恰好也为 d，直接用含 t 和 m 的式子表示 n．
第七节 二次函数的综合应用
第七节 二次函数的综合应用
第七节 二次函数的综合应用
解：（1）a= ，Q（2，-2）；
（2）选嘉嘉：把 Q（2，-2）向左平移 2个单位长度得到对应点的坐标为（0，-2），当 x＝0 时，C2：y＝- （x-t）2+ t2-2=- t2+ t2-2=-2，
∴（0，-2）在 C2 上，∴ 嘉嘉说法正确；选淇淇：C2：y＝- （x - t）2+ t2-2 = - x2+tx-2，当 x＝0 时，y＝-2，
∴C2：y＝- （x-t）2+ t2-2 过定点（0，-2），∴ 淇淇说法正确；（任选一人的说法即可）
第七节 二次函数的综合应用
（3）①当 t＝4 时，C2：y＝- （x-t）2+t2-2=- （x-4）2+6，
∴ 顶点 P（4，6），而 Q（2，-2），
设直线 PQ 的解析式为 y＝ex+f，∴ 解得
∴ 直线 PQ 的解析式为 y＝4x-10；
4e+f=6，
2e+f=-2,
e=4，
f=-10,
第七节 二次函数的综合应用
②∵P（4，6），∴P 到 x 轴的距离为 6，
∴l 与 C2 交点的纵坐标为-6（等于 6两直线重合，不符合题意），
当 C2：y＝- （x-4）2+6=-6 时，（x-4）2＝24，∴x=4±2 ，
∵ 直线 PQ 的解析式为 y＝4x-10，
当 y＝-6 时，-6＝4x-10，解得 x＝1，y＝4x-10＝0 时，x＝ ，
设 l 与 x 轴交点横坐标为 x，则 1-（4-2 ）＝ -x，
解得 x= -2 ，此时直线 l 与 x轴交点的横坐标为 -2 ；或（4+2 ）-1＝x- ，
第七节 二次函数的综合应用
解得 x= +2 ，此时直线 l 与 x轴交点的横坐标为 +2 ．
综上，直线 l 与 x 轴交点的横坐标为 -2 或 +2 ；
（4）n=2+t-m.
练习一 ［2024·邯郸丛台区二模］抛物线 L：y=x2-2bx+c 与直线 a：y=kx+2 交于 A，B 两点，且 A（2，0）．
（1）求 k 和 c 的值（用含 b 的代数式表示 c）；
（2）当 b=0 时，抛物线 L 与 x 轴的另一个交点为 C．
①求△ABC 的面积；
②当-1≤x≤5 时，则抛物线 L 中 y 的取值范围是 _________．
（3）抛物线 L：y=x2-2bx+c 的顶点为 M（b，n），求出 n 与 b 的函数关系式；当 b 为何值时，点 M 达到最高；
第七节 二次函数的综合应用
-4≤y≤21
（4）在抛物线 L 和直线 a 所围成的封闭图形的边界上，把横、纵坐标都是整数的点称为“美点”，当 b=-20 时，直接写出“美点”的个数 _______．
第七节 二次函数的综合应用
90
第七节 二次函数的综合应用
解：（1）将点 A（2，0）代入直线 a：y=kx+2，则 2k+2=0，∴k=-1，将点 A（2，0）代入抛物线 L：y=x2-2bx+c,则 4-4b+c=0，∴c=4b-4；
综上，k=-1，c=4b-4．
（2）①当 b=0 时，c=-4，
∴ 抛物线 L 的解析式为 y=x2-4，
令 y=0，则 x=-2 或 x=2，∴C（-2，0），联立 解得
或 ∴B（-3，5），∴S△ABC= ·AC·yB= ×［2-（-2）］×5=10； ②-4≤y≤21
y=x2-4，
y=-x+2,
x1=2，
y1=0,
x2=-3，
y2=5,
第七节 二次函数的综合应用
（3）∵ 抛物线 L：y=x2-2bx+4b-4=（x-b）2-b2+4b-4，
又 ∵ 抛物线的顶点为 M（b，n），
∴n=-b2+4b-4=-（b-2）2，
∵-1＜0，∴ 当 b=2 时，n 的最大值为0，此时点 M 达到最高；
（4）90
练习二 ［2024·唐山二模］如图，抛物线 L：y=a（x+2）2+9 与 x 轴交于 A，B（-5，0）两点，与 y 轴交于点 C．
（1）写出抛物线的对称轴，并求 a 的值；
（2）平行于 x 轴的直线 l 交抛物线 L 于点 M，N（点 M 在点 N 的左边），交线段 BC 于点 R．当 R 为线段 MN 的中点时，求点 N 的坐标；
（3）将线段 AB 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度，得到线段 A′B′，若抛物线 L平移后与线段 A′B′有两个交点，且这两个交点恰好将线段 A′B′三等分，求抛物线 L 平移的最短路程；
第七节 二次函数的综合应用
（4）P 是抛物线 L 上任意一点（不与点 C 重合），点 P 的横坐标为 m.过点 P 作 PQ⊥y 轴于点 Q，E为 y 轴上的一点，纵坐标为-2m.以 EQ，PQ 为邻边构造矩形 PQEF，当抛物线 L 在矩形 PQEF 内的部分所对应的函数值 y 随 x 的增大而减小时，直接写出 m 的取值范围．
第七节 二次函数的综合应用
第七节 二次函数的综合应用
解：（1）由题意，∵y=a（x+2）2+9 过点 B（-5，0），
∴9a+9=0．∴a=-1．∴ 抛物线为 y=-（x+2）2+9．
∴ 抛物线的对称轴是直线 x=-2；
（2）由题意，R 为线段 MN 的中点，
∴ 点 R 的横坐标为-2.∵ 抛物线为 y=-（x+2）2+9，
∴ 令 x=0，则 y=5，∴ 点 C（0，5）．
又 B（-5，0），∴ 直线 BC 的解析式为为 y=x+5．
∴ 当 x=-2 时，y=3，∴ 点 R（-2，3），∴ 点 N 的纵坐标是3，
∴y=3=-（x+2）2+9，∴x=-2+ 或 x=-2-（∵ 点 M在点 N 的左边，∴ 舍去）．故点 N 为（-2+ ，3）；
第七节 二次函数的综合应用
（3）由题意，∵ 对称轴是直线 x=-2，B（-5，0），∴A（-2+3，0），即（1，0）．∴ 将线段 AB 先向左平移 1 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度可得 A′（ 0，5），B′（-6，5），
∴ 线段 A′B′的两个三等分点坐标为（-4，5），（-2，5），设平移后的抛物线解析式为 y=-（x-h）2+k，
∵ 抛物线 y=-（x+2）2+9 平移后与线段 A′B′有两个交点，且这两个交点恰好将线段 A′B′三等分，
∴ ∴
-（-4-h）2+k=5，
-（-2-h）2+k=5,
h=-3，
k=6,
第七节 二次函数的综合应用
∴ 平移后的抛物线解析式为 y=-（x+3）2+6，其顶点为（-3，6），
而抛物线 y =-（x+2）2+9 的顶点为（-2，9），
∴ 平移前后抛物线的顶点之间的距离为 = ，
∴ 抛物线平移的最短路程为 ；
（4）m 的取值范围是- -1＜m＜0或 m＞ -1．(共26张PPT)
第六节 二次函数的实际应用
■考点 二次函数的实际应用（常考）
1. 二次函数实际问题的基本类型
抛物线型问题；
销售问题；
几何图形面积问题.
第六节 二次函数的实际应用
2.二次函数实际问题求最值
（1）先根据题意列出二次函数解析式；
（2）再用配方法把得到的解析式化为顶点式；
（3）若二次项系数大于 0，则抛物线开口向上，自变量的值离对称轴越近，函数的值越小，在对称轴处，函数取得最小值；若二次项系数小于 0，则抛物线开口向下，自变量的值离对称轴越近，函数的值越大，在对称轴处，函数取得最大值；
（4）在实际问题中要根据具体情况来确定自变量的取值范围从而确定最值.
第六节 二次函数的实际应用
实际问题中的函数，自变量的取值范围往往受到限制，这时对应的函数图象应是原函数图象的一部分.
失分警示
抛物线型问题的几个关键点：最高点为抛物线的顶点，抛出点为抛物线中的 c值，落地点为抛物线与 x 轴的交点，落地点到抛出点的水平距离是此落地点横坐标的绝对值.
满分备考
■题型 二次函数的实际应用（常考）
题型解法
第六节 二次函数的实际应用
例 ［2023·河北 23 题］嘉嘉和淇淇在玩沙包游戏．某同学借此情境编制了一道数学题，请解答这道题．
如图，在平面直角坐标系中，一个单位长度代表 1 m 长．嘉嘉在点 A（6，1）处将沙包（看成点）抛出，其运动路线为抛物线 C1：y＝a（x-3）2+2 的一部分，淇淇恰在点 B（0，c）处接住，然后跳起将沙包回传，其运动路线为抛物线 C2：y=- x2+ x+c+1 的一部分．
第六节 二次函数的实际应用
（1）写出 C1 的最高点坐标，并求 a，c 的值；
（2）若嘉嘉在 x 轴上方 1 m 的高度上，且到点 A 水平距离不超过 1 m 的范围内可以接到沙包，求符合条件的 n 的整数值
第六节 二次函数的实际应用
第六节 二次函数的实际应用
解：（1）∵ 抛物线 C1：y=a（x-3）2+2，
∴C1 的最高点坐标为（3，2），
∵ 点 A（6，1）在抛物线 C1：y=a（x-3）2+2上，∴1=a（6-3）2+2，解得 a=- ，∴ 抛物线 C1 的解析式为y=- （x-3）2+2，令 x=0，则 c=-×（０－３）2+2=1；
第六节 二次函数的实际应用
（2）∵ 嘉嘉在 x 轴上方 1 m 的高度上，且到点 A 水平距离不超过 1 m 的范围内可以接到沙包，当经过点（5，1）时，1=-×52+ ×5+1+1，解得 n = ，当经过点（7，1）时，1=-×72+ ×7+1+1，
解得 n= , ∴ ，∴ 符合条件的 n 的整数值为 4 和 5.
练习一 某农户承包了 A，B 两块地来种植农产品，要求承包期间两地都不能荒芜，由于受各种条件的影响，投资的金额与产品毛收入存在如下表所示的函数对应关系． （盈利=产品毛收入-投资金额）
（1）若 A，B 两地各投资金 10 万元，各自有盈利吗？ 其情况如何？
（2）若 A，B 两地共投资金 20 万元，承包农户能有盈利吗？ 如果没有盈利，怎样分配投入资金会损失最小？
第六节 二次函数的实际应用
（3）若 A，B 两地共投资金 m 万元，并且要实现最大盈利 3.2 万元，请求出 m 的值．
第六节 二次函数的实际应用
第六节 二次函数的实际应用
解：由题意，将 x=5，y=3 代入y1=kx（k≠0），得 5k=3，
∴k= =0.6，∴y1=0.6x.
将 x=1，y=2.8 和 x=5，y=10 代入 y2=ax2+bx（a≠0），得
∴ ∴y2=-0.2x2+3x.
（1）当 x=10 时，y1=0.6×10=6，y2=-0.2×102+3×10=10．
∴y1-10=-4，y2-10=0．
∴A，B 两地各投资金 10 万元，都没有盈利，其情况是 A 地亏损 4 万元、
B 地不亏不盈；
a+b=2.8，
25a+5b=10,
a=-0.2，
b=3,
第六节 二次函数的实际应用
（2）由题意，设投资 B 地 c（0≤c≤20）万元，则投资 A 地（20-c）万元，盈利 p 万元，从而 p =0.6（20 -c）+（-0.2c2+3c）-20=-0.2c2+2.4c-8=-0.2（c-6）2-0.8．∵（c-6）2≥0，∴p=-0.2（c-6）2-0.8＜0．∵-0.2＜0，∴ 当 c=6 时，p 有最大值，最大值为-0.8，此时 20-c=14．
∴A，B 两地共投资金 20 万元，承包农户没有盈利 ，A 地投资 14 万元 、B地投资 6 万元，这样分配投入资金会损失最小；
第六节 二次函数的实际应用
（3）由题意，设投资 B 地 d（0≤d≤m）万元，则投资 A 地（m-d）万元 ，盈利 w 万元，从而 w=0.6（m-d）+（-0.2d2+3d）-m=-0.2d2+2.4d-0.4m=-0.2（d-6）2+7.2-0.4m.
∵-0.2＜0，∴ 当要实现最大盈利 3.2万元时，d=6，从而 7.2-0.4m=3.2，
∴m=10．∴ 当 A，B 两地共投资 10 万元时，能实现最大盈利 3.2 万元．
练习二 【综合与实践】数学来源于生活，同时数学也可以服务于生活．
【知识背景】如图，校园中有两面直角围墙，墙角内的 P 处有一棵古树，与墙 CD，AD 的距离分别是15 m 和 6 m，在美化校园的活动中，某数学兴趣小组想借助围墙（两边足够长），用 28 m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD（篱笆只围 AB，BC 两边），设 AB=x m.
【方案设计】设计一个矩形花园，使之面积最大，且要将古树 P 围在花园内（含边界，不考虑树的粗细）．
【解决问题】思路：把矩形 ABCD 的面积 S 与 AB 的长 x 的函数解析式求出，并利用函数的性质来求面积的最大值即可．
第六节 二次函数的实际应用
（1）请用含有 x 的代数式表示 BC 的长；
（2）花园的面积能否为 192 m2？ 若能，求出 x 的值，若不能，请说明理由；
（3）求面积 S 与 x 的函数解析式，写出 x 的取值范围；并求当 x 为何值时，花园面积 S 最大？
第六节 二次函数的实际应用
第六节 二次函数的实际应用
解：（1）由题意，AB=x m，∴BC=（28-x） m；
（2）∵AB=x m，则 BC=（28-x） m，
∴x（28-x）=192，解得 x=12 或 x=16（由于树与墙 CD的距离是 15 m，从而 x=16 不合题意，舍去），∴ 花园的面积能等于 192 m2，此时 x 的值为 12；
第六节 二次函数的实际应用
（3）S=x（28-x）=-x2+28x=-（x-14）2+196．
∵ 点 P 与 CD，AD 的距离分别是 15 m和 6 m，
∴28-15=13．∴6≤x≤13．
∴ 面积 S 与 x 的函数解析式为 S=-（x-14）2+196（6≤x≤13）．
∵-1＜0，抛物线的开口向下，对称轴为直线 x=14，
∴ 当 6≤x≤13 时，S 随 x 的增大而增大．
∴ 当 x=13 时，S 取得最大值=-（13-14）2+196=195，
即当 x=13 m 时，花园面积 S 最大，最大值为 195 m2．
练习三 ［2024·邢台威县三模］古往今来，桥给人们的生活带来便利，解决跨水或者越谷的交通，便于运输工具或行人在桥上畅通无阻.中国桥梁的桥拱线大多采用圆弧形、抛物线形和悬链形，坐落在河北省赵县汶河上的赵州桥建于隋朝，距今已有约 1 400 年的历史，是当今世界上现存最早、保存最完整的古代敞肩石拱桥，赵州桥的主桥拱便是圆弧形．
（1）某桥 A 主桥拱是圆弧形（如图 1 中ABC），已知跨度 AC=40 m，拱高 BD=10 m，则这座桥主桥拱的半径是 ______ m；
（2）某桥 B 的主桥拱是抛物线形（如图 2），若水面宽 MN=10 m，拱顶 P（抛物线顶点）距离水面4 m，求桥拱抛物线的解析式；
第六节 二次函数的实际应用
25
（3）如图 3，某时桥 A 和桥 B 的桥下水位均上升了 2 m，求此时两桥的水面宽度．
第六节 二次函数的实际应用
第六节 二次函数的实际应用
解：（1）25
（2）以 P 为原点，平行于水面的直线为 x 轴，建立平面直角坐标系，如图，
第六节 二次函数的实际应用
设桥拱抛物线的解析式为 y=ax2，
∵ 水面宽 MN=10 m，拱顶 P（抛物线顶点）距离水面 4 m，∴M（-5，-4），
∴-4=25a，解得 a=- ，∴ 桥拱抛物线的解析式为 y=- x2；
（3）桥 A 的桥下水位上升了 2 m，如图，
第六节 二次函数的实际应用
根据题意 ，OF=25 m，OE=OB-BE=25 -（10 -2）=17，∴EF= ==4（m），∴AF=2EF=8（m）
∴ 此时桥 A 的水面宽度为 8 m；桥 B 的桥下水位上升了 2 m，在 y=
- x2 中，令 y=-2，得-2=- x2，解得 x= 或 x=- ，
∵ - ()=5（m），
∴ 此时桥 B 的水面宽度为 5 m.
练习四 ［2024·石家庄桥西区三模］如图是某位同学设计的电脑动画，随着音乐节奏起伏变化，屏幕上就会闪现不同的抛物线，抛物线的统一形式为 y=ax2+bx（a＜0，b≠0），且顶点始终在直线 y=kx 上．
（1）当 a=-2，b=8 时，求抛物线的顶点坐标和 k 的值；
（2）试推断 k 与 b 之间的数量关系，并说明理由；
（3）已知 k=1，且符合题干的抛物线 C 顶点的横坐标为 1，将抛物线 C 向右平移 c 个单位长度，再向上平移 c+ 个单位长度得到抛物线 C1，且抛物线 C1 的顶点恰好也在直线 y=kx 上．
第六节 二次函数的实际应用
①求 c 的值；
②该同学发现电脑屏幕上有一个黑点 K（位置固定），刚好落在平面直角坐标系中点（8，-4）的位置，该同学通过电脑放大功能，将抛物线 C1 横向、纵向同时放大 d（d＞0）倍得到抛物线 C2：y=- x2+mx+n，使点 K 落在抛物线 C2 上（放大过程中不改变坐标原点的位置），直接写出符合条件的d 的值．
第六节 二次函数的实际应用
第六节 二次函数的实际应用
解：（1）由题意，∵a=-2，b=8，∴- =2，∴ =8，
∴ 抛物线的顶点坐标为（2，8）．
将点（2，8）代入 y=kx 中，∴k=4；
（2）k 与 b 之间的数量关系为 b=2k；
理由：由题意，顶点始终在直线y=kx上，
∴ =k×(-)．∵ab≠0，∴b=2k.
∴k 与 b 之间的数量关系为 b=2k；
第六节 二次函数的实际应用
（3）①由题意，∵k=1，∴y=x.
∵ 抛物线 C 顶点的横坐标为 1，
∴ 顶点的纵坐标为 1，
∴ 设抛物线 C 的解析式为 y=a（x-1）2+1，
∴ 抛物线 C1 的解析式为 y=a（x-1-c）2+1 + c+ ，∴ 抛物线 C1 的顶点坐标为 (c+1，c+)．∵ 点 (c+1，c+) 在 y=x 上，
∴ c+ =c+1．∴c=1；
②d 的值为 2 或 16.(共36张PPT)
第二节 一次函数的图象和性质
■考点一 一次函数的图象和性质（必考）
一次函数 y=kx+b（k，b 为常数，且①______），当 b=0 时，y=kx（k 为常数，且 k≠0）为正比例函数.
与坐标轴交点 与 x 轴交于②_______（根据 kx+b=0 求解）；与 y 轴交于③_______（根据 x=0 求解）
图象 k 决定倾斜方向，b 决定与 y 轴的交点位置.
k≠0
（0，b）
第二节 一次函数的图象和性质
续表
图象 k＞0 k＜0 b＞0 b=0 b＜0 b＞0 b=0 b＜0
经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四
性质 y 随 x 的增大而④_______. y 随 x 的增大而⑤_______. 增大
减小
第二节 一次函数的图象和性质
拓展 已知两个一次函数 y1=k1x+b1，y2=k2x+b2
两直线互相平行 k1=k2，且 b1≠b2
两直线互相垂直 k1·k2=-1（如图 1）
两直线和坐标轴围成等腰三角形 k1+k2=0（如图 2）
两直线关于 y 轴对称 k1=-k2，且 b1=b2（如图 3）
第二节 一次函数的图象和性质
■考点二 一次函数解析式的确定及图象平移（必考）
1.一次函数解析式的确定
方法：⑥________________
步骤
（1）设：设一次函数解析式为 y=kx+b；
用图象上的点 A（x1，y1），B（x2，y2）的横、纵坐标去替换函数解析式中的 x 和 y，得到二元一次
（3）解：解方程组可得k，b的值；
（4）还原：将 k，b 的值代入函数解析式
（2）代
方程组
y1=kx1+b，
y2=kx2+b；
待定系数法
第二节 一次函数的图象和性质
2.一次函
数图象的平移
简记为：左加右减，上加下减.左右平移只针对 x 加减，上下平移给整体加减.
y=k（x-m）+b
y=kx+b+n
第二节 一次函数的图象和性质
1. 函数图象的平移实质上是图象上的点的整体平移.
2. 一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象可由正比例函数 y=kx 的图象通过平移得到：当 b＞0 时，将 y=kx 的图象向⑨____ 平移｜b｜个单位长度；当 b＜0 时，将 y=kx 的图象向⑩____ 平移｜b｜个单位长度.
满分备考
上
下
第二节 一次函数的图象和性质
■考点三 一次函数与方程、不等式的关系
第二节 一次函数的图象和性质
第二节 一次函数的图象和性质
■考点四 一次函数与三角形面积问题（常考）
1. 坐标系中的三角形面积的求法
有两边在坐标轴上 有一边在坐标轴上 图形
面积 S△ABC= BC·AD=
_____________
第二节 一次函数的图象和性质
有一边与坐标轴平行 三边与坐标轴均不平行
图形
面积 S△ABC= AB·CD= ___________ 宽高法：先作 CD∥y 轴交 AB 于点 D，从而S△ABC=
S△ACD+S△BCD= ·CD·
续表
第二节 一次函数的图象和性质
直线 l1：y=2x+4 与直线 l2：y=- x-1 相交于点 P .
（1）直线 l1：y=2x+4 与两坐标轴围成的三角形面积是 ________；
（2）则直线 l1，l2 与 x 轴所围成的三角形的面积是 ________；
（3）则直线 l1，l2 与 y 轴所围成的三角形的面积是 ________.
即学即练
4
第二节 一次函数的图象和性质
2.过定点的直线与线段
（图形）的交点问题
如图，点 A 坐标为（1，2），正方形 ABCD 的各边分别与坐标轴平行，AB=1.
（1）若直线 y=kx+k 与边 AB 有交点，则 k 的取值范围是 _______；
（2）若直线 y=kx+k 与边 AD 有交点，则 k 的取值范围是 _______；
（3）若直线 y=kx+k 与正方形 ABCD 的边有交点，则 k 的取值范围是 _______.
第二节 一次函数的图象和性质
一题串考点
已知一次函数 y=（m-2）x+m+6，解答下列问题：
（1）若该一次函数图象经过第一、二、三象限，则 m 的取值范围是 __________；
（2）若点 A（x1，y1），B（x2，y2）是该一次函数图象上的两点，当 x1＞x2 时，y1＜y2，则 m 的取值范围是______；
m＞2
m＜2
第二节 一次函数的图象和性质
（3）若该一次函数图象经过点（-2，3），判断点（-4，-2）是否在该一次函数图象上，若不在，将该一次函数图象经过怎样的平移可以经过点（-4，-2）；
可求得该一次函数解析式为 y=5x+13，点（-4，-2）不在该一次函数图象上，将该一次函数图象向上平移 5 个单位长度就可以经过点（-4，-2）（答案不唯一）；
第二节 一次函数的图象和性质
（4）若一次函数的图象经过点 P（3，0），且与正比例函数 y=2x 的图象交于点 Q.
①一次函数 y=（m-2）x+m+6 的解析式为 _________；
②关于 x 的不等式（m-2）x+m+6＜2x 的解集是 _______；
③△OPQ 的面积为 ________；
④已知直线 l：y=kx+1，若直线 l 与该一次函数和正比例函数的图象不能围成三角形，则 k=___________.
y=-2x+6
■题型一 一次函数的图象和性质
题型解法
第二节 一次函数的图象和性质
例 1 ［2024·石家庄十八县一模］若一次函数 y=（k+3）x-1 的函数值 y 随 x 的增大而减小，则 k 值可能是 （ ）
A． 2 B． C． - D． -4
第二节 一次函数的图象和性质
D
拓题一 在平面直角坐标系中 y=（k+3）x-1 的函数值 y 随 x 的增大而减小，则它的大致图象是 （ ）
第二节 一次函数的图象和性质
C
拓题二 若一次函数 y=（k+3）x-1 的函数值 y 随 x 的增大而减小，则函数 y=kx-k 的图象，不经过（ ）
A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
第二节 一次函数的图象和性质
C
■题型二 一次函数的综合应用（常考）
题型解法
第二节 一次函数的图象和性质
例 2 ［2023·河北 25 题］在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x，y）移动到点（x+2，y+1）称为一次甲方式；从点（x，y）移动到点（x+1，y+2）称为一次乙方式．
例 点 P 从原点 O 出发连续移动 2 次：若都按甲方式，最终移动到点 M（4，2）；若都按乙方式，最终移动到点 N（2，4）；若按 1 次甲方式和 1 次乙方式，最终移动到点 E（3，3）．
第二节 一次函数的图象和性质
（1）设直线 l1 经过上例中的点 M，N，求 l1 的解析式；并直接写出将 l1 向上平移 9 个单位长度得到的直线 l2 的解析式；
第二节 一次函数的图象和性质
解：（1）设直线 l1 的解析式为 y=kx+b，把M（4，2），N（2，4）坐标代入，得 4k+b=2， 解得 k=-1，
2k+b=4， b=6，
∴l1 的解析式为y=-x+6，将 l1 向上平移 9 个单位长度得到的直线 l2 的解析式为 y=-x+15；
（2）点 P 从原点 O 出发连续移动 10 次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点 Q（x，y）．其中，按甲方式移动了 m 次．
①用含 m 的式子分别表示 x，y；
②请说明：无论 m 怎样变化，点 Q 都在一条确定的直线上．设这条直线为 l3，在图中直接画出 l3 的图象；
第二节 一次函数的图象和性质
解：①∵ 点 P 按照甲方式移动了 m 次，点P 从原点 O 出发连续移动 10 次，∴ 点 P按照乙方式移动了（10-m）次，
∴ 点 P 按照甲方式移动 m 次后得到的点的坐标为（2m，m）；∴ 点（2m，m）按照乙方式移动（10-m）次后得到的点的横坐标为 2m+10-m=m+10，纵坐标为 m+2×（10-m）=20-m，∴x=m+10，y=20-m；
第二节 一次函数的图象和性质
解：②∵ 点 Q 坐标为（m+10，-m+20），由于 x+y=m+10+20-m=30，∴ 直线 l3 的解析式为 y=-x+30，∴ 无论 m 怎么变化，点 Q都在一条确定的直线上即 y=-x+30上，函数图象如图所示；
（3）在（1）和（2）中的直线 l1，l2，l3 上分别有一个动点 A，B，C，横坐标依次为 a，b，c，若 A，B，C 三点始终在一条直线上，直接写出此时 a，b，c 之间的关系式．
第二节 一次函数的图象和性质
解：a，b，c 之间的关系式为 5a+3c=8b.
练习一 ［2022·河北 ２5 题］如图，平面直角坐标系中，线段 AB 的端点为 A（-8，19），B（6，5）．
（1）求 AB 所在直线的解析式；
（2）某同学设计了一个动画：
在函数 y= （m≠0，y≥0）中，分别输入 m 和 n 的值，便得到射线 CD，其中 C（c，0）．当 c=2 时，会从 C 处弹出一个光点 P，并沿 CD飞行；当 c≠2 时，只发出射线而无光点弹出．
第二节 一次函数的图象和性质
①若有光点 P 弹出，试推算 m，n 应满足的数量关系；
②当有光点 P 弹出，并击中线段 AB 上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段 AB 就会发光．求此时整数 m 的个数．
第二节 一次函数的图象和性质
第二节 一次函数的图象和性质
解：（1）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，
把 A（-8，19），B（6，5）坐标代入，得
-8k+b=19，
6k+b＝5， 解得
k=-1，
b＝11， ∴ 直线 AB的解析式为 y=-x+11；
第二节 一次函数的图象和性质
解：（2）① 由题意知， 直线 y =mx +n 经过点（2，0），∴2m+n=0；
②∵ 线段 AB 上的整数点有 15 个：（-8，19），（-7，18），（-6，17），（-5，16），（-4，15），（-3，14），（-2，13），（-1，12），（0，11），（1，10），（2，9），（3，8），（4，7），（5，6），（6，5）． 当射线 CD 经过（2，0），（-7，18）时，m=-2，符合题意，当射线CD 经过（2，0），（-1，12）时，m=-4，符合题意，当射线 CD 经过（2，0），（1，10）时，m=-10，符合题意，当射线 CD 经过（2，0），（3，8）时，m=8，符合题意，当射线 CD 经过（2，0），（5，6）时，m=2，符合题意，其他点都不符合题意．综上所述，符合题意的 m 的值有 5 个.
练习二 ［2024·邯郸邱县一模］下面表格中的两组对应值满足一次函数 ｙ＝kx+b，现画出了它的图象为直线 l，如图．琪琪为观察 k，b 对图象的影响，将上面函数中的 k 与 b 交换位置后得到另一个一次函数，设其图象为直线 l′．
（1）求直线 ｌ 的解析式；
（2）求直线 l′的解析式，并在图中画出直线 l′；
（3）若 P（a，0）是 x 轴上的一个动点，过点 P 作 y 轴的平行线，分别交直线 l，l′于点 M，N．当MN=3 时，求出 a 的值；
第二节 一次函数的图象和性质
（4）若 Q（0，m）是 y 轴上的一个动点，过点 Q 作 x 轴的平行线，分别与直线 l，l′及 y 轴有三个不同的交点，且其中两点关于第三点对称，直接写出 m 的值．
第二节 一次函数的图象和性质
第二节 一次函数的图象和性质
解：（1）∵ 直线 l ∶ y =kx +b 中，当 x =-1时，y=-2；当 x=0 时，y=1，∴ -k+b=-2，
b=1，
解得 k=3，
b＝1，
∴ 直线 l 的解析式为 y=3x+1;
（2）依题意可得，直线 l′的解析式为 y=x+3，
第二节 一次函数的图象和性质
画出直线 l′如图所示：
第二节 一次函数的图象和性质
（3）把 x=a 代入 y=3x+1，得 y=3a+1；
把 x=a 代入 y=x+3，得 y=a+3，
∵MN=3，∴ ｜3a+1-a-3｜=3，
解得 a= 或- ；
（4）m 的值为 或 7 或 .
练习三 ［2024·石家庄新华区三模］如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l1：y=2x+1 与 y 轴交于点A，直线 l2 与 y 轴，x 轴交于点 B，点 C，l1 与 l2，交于点 D（1，m），连接 OD，已知 OC 的长为 4．
（1）求点 D 的坐标及直线 l2 的解析式；
（2）求△AOD 的面积；
（3）若直线 l2 上有一点 P 使得△ADP 的面
积等于△ADO 的面积，直接写出点 P 的坐标．
第二节 一次函数的图象和性质
第二节 一次函数的图象和性质
解：（1）∵ 点 D（1，m）在直线l1：y=2x+1 上，∴m=2×1+1=3，
∴ 点 D 的坐标为（1，3），∵OC 的长为 4，∴C（4，0），
设直线 l2 的解析式为 y=kx+b，
把点 D，C 坐标代入 y=kx+b 得 解得
∴ 直线 l2 的解析式为 y=-x+4；
（2）∵ 直线 l1 的解析式为 y=2x+1，
∴ 点 A 的坐标为（0，1），∴S△AOD= OA·xD= 1 ×1×1= ；
（3）点 P 的坐标为或.
k+b=3，
4k+b=0
k=-1，
b=4,
