(共10张PPT)
综合与实践 相似三角形与解直角三角形的实际应用
在相似三角形和解直角三角形的实际应用中，可采用项目式学习的方式，让学生通过提出解决问题的思路，设计解决问题的方案，能根据问题的背景，通过对问题条件和预期结论的分析，构建数学模型，解决实际问题.
综合与实践 相似三角形与解直角三角形的实际应用
1.［2024·湖南］某数学研究学习小组在老师的指导下，利用课余时间进行测量活动．
活动主题 测算某水池中雕塑底座的底面积
测量工具 皮尺、测角仪、计算器等
活 动 过 程 模型 抽象 某休闲广场的水池中有一雕塑，其底座的底面为矩形 ABCD，其示意图如下：
综合与实践 相似三角形与解直角三角形的实际应用
续表
活 动 过 程 测绘 过程 与数 据信 息 ①在水池外取一点 E，使得点 C，B，E 在同一条直线上 ；②过点 E 作GH⊥CE，并沿 EH 方向前进到点F，用皮尺测得 EF 的长为 4 m；③在点 F处用测角仪测得∠CFG=60.3°，∠BFG=
45°，∠AFG=21.8°；④用计算器计算得 ：sin60.3° ≈0.87，cos60.3° ≈0.50，tan60.3°≈1.75，sin21.8°≈0.37，cos21.8°≈0.93，tan21.8°≈0.40．
综合与实践 相似三角形与解直角三角形的实际应用
请根据表格中提供的信息，解决下列问题（结果保留整数）：
（1）求线段 CE 和 BC 的长度；
（2）求底座的底面 ABCD 的面积．
综合与实践 相似三角形与解直角三角形的实际应用
解：（1）∵GH⊥CE，EF=4 m，∠CFG=60.3°，∴tan∠CFE=tan60.3°= ≈1.75，∴CE=7 m；∵∠BFG=45°，∴BE=EF=4 m，∴BC=CE-BE=3 m；
（2）在题图上过点 A 作 AM⊥GH 于点 M，∵∠AFG =21.8° ，∴tan ∠AFG =tan21.8° = ≈0.40，∵AM =BE =4 m，∴MF=10 m，∴AB=ME=10-4=6（m），∴ 底座的底面 ABCD 的面积为 3×6=18（m2）．
综合与实践 相似三角形与解直角三角形的实际应用
2.［2024·宿迁］双塔是古黄河宿迁景观带的标志性建筑之一，由九层的九龙塔和七层的七凤塔构成．某校数学实践小组开展测量七凤塔高度的实践活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表：
测量七凤塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等
活动形式 以小组为单位
综合与实践 相似三角形与解直角三角形的实际应用
续表
测量示意图
综合与实践 相似三角形与解直角三角形的实际应用
续表
测量步骤 及结果 ①在 C 处使用测角仪测得塔的顶部点 B 的仰角∠BDG=37°；②沿着CA 方向走到 E 处，用皮尺测得CE=24 m；③在 E 处使用测角仪测得塔的顶部点 B 的仰角∠BFG=45°.
综合与实践 相似三角形与解直角三角形的实际应用
已知测角仪的高度为 1.2 m，点 C，E，A 在同一水平直线上．根据以上信息，求塔 AB 的高度．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
综合与实践 相似三角形与解直角三角形的实际应用
解：由题意得，DF=CE=24 m，AG=EF=CD =1.2 m， ∠BDG =37° ， ∠BFG =45 ° ， 在 Rt △BDG 中 ， tan ∠BDG =tan37°= ≈0.75，
∴DG≈ BG，
在 Rt△BFG中，∵∠BFG=45°，∴FG=BG，∵DF=24 m，∴DG -FG≈ BG -BG= BG=24 m，∴BG≈72 m，∴AB≈72+1.2=73.2（m），
∴ 塔 AB 的高度约为 73.2 m．(共31张PPT)
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
■考点一 直线和线段（常考）
1. 直线的基本事实：经过①________ 点有一条直线，并且只有一条直
线（②______ 点确定一条直线）.
2. 线段的基本事实：两点之间的所有连线中，③______ 最短（两点之
间④______ 最短）.
3. 线段的和与差：如图 1，在线段 AC 上取一点 B，则有：AB+⑤______=AC；AB=⑥______-BC；BC=AC-⑦_____.
两
两
线段
线段
BC
AC
AB
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
（1）经过平面上 n 个点中的任意两点画直线，最多可画
条；
（2）一条线段上有 n（n≥2）个点（包括线段的两个端点），则线段的总
条数为 ；
（3）n 条直线，两两相交，交点最多有 个.
满分备考
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
4. 线段的中点：如图 2，线段 AB 上的一点 M，把线段 AB 分成两条线段AM 与 MB.如果 AM=MB，那么 M 就叫做 AB 的中点.此时，有 AM=MB=⑧________AB，AB=⑨_____AM=⑩_____MB.
2
1
2
2
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
5. 两点之间的距离：连接两点之间的线段的长度.
6. 直尺测量线段的方法：如图 3，线段 AB= _____ cm；如图 4，线段 CD=5- _____= _____（cm）.
2
2
3
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
■考点二 角及角平分线（必考）
角
的
相
关
概
念
量角器的使用方法：量角器的中心 O 和角的 _____ 重合，量角器的 0 刻度线和角的 ________ 重合，做到两重合之后看角的另一边对应的刻度线的度数.
顶点
一条边
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
角
的
相
关
概
念
度、分、秒的换算：1°=60′，1′=60″，1′= .角的单位换算是 ______ 进制.
角的分类
及特殊角
之间的关系
1. 若 0°＜α＜90°，则 α 为锐角；若 α= ____，则 α 为直角；若 ____________，则 α 为钝角；若 α=180°，则 α 为 _____ 角；若 α= _____，则 α 为周角.
2. 1 周角= ___ 平角= ___ 直角=360°；1 平角= ___ 直角=180°；1 直角=90°.
90°
90°＜α＜180°
平
360°
2
4
2
60
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
角
的
相
关
概
念
余角、
补角
定义：如果两个角的和为 _______，那么这两个角互为余角.
性质：同角（或等角）的余角 ______.
互余
互补
定义：如果两个角的和为 _______，那么这两个角互为补角.
性质：同角（或等角）的补角 ______.
90°
相等
180°
相等
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
角
平
分
线
定义：如果从一个角的顶点引出的一条射线把这个角分成两个 ______ 的角，那么这条射线叫做这个角的平分线.
定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离 _________.
逆定理：到角的两边距离 ______ 的点在角的平分线上.
相等
相等
相等
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
■考点三 相交线与平行线（必考）
对顶角
举例：如图 5，∠1 与∠3 是对顶角，∠2 与 ______ 是对顶角；
性质：对顶角 _____.
邻
补
角
举例：如图 5，∠1 的邻补角是 _________，∠3 的邻补角是 ______；
性质：互为邻补角的两个角的和为 _____.
三
线
八
角
同位角：如图 5，∠1 与∠5，∠4 与 ______，
∠3 与 ______，∠2 与 ______；
内错角：如图 5，∠3 与∠5，∠4 与 ______；
同旁内角：如图 5，∠4 与∠5，∠3 与 ______.
∠4
相等
∠2 和∠4
∠2 和∠4
180°
∠8
∠7
∠6
∠6
∠6
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
垂
线
基本性质
1. 经过直线上或直线外一点，有且只有 ____ 条直线与已知直线垂直.
2. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中， ______ 最短.
一
垂线段
点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的 _______ 叫做这点到直线的距离.
长度
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
点 O 是直线 l 外一点，点 A，B，C 为直线 l 上三点，且 OA=2 cm，OB=5 cm，OC=3 cm，则点 O 到直线l 的距离可能是 （ ）
A． 3 cm B． 4 cm C． 5 cm D． 1.5 cm
即学即练
D
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
垂直平
分线
定义：经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线（中垂线）.
定理：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离 _____.
逆定理：到线段两端距离 ______ 的点，在这条线段的垂直平分线上.
相等
相等
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
平
行
线
定义：在同一平面内， ______ 的两条直线叫做平行线.
平行公理及推论
性质和判定
公理：经过已知直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行.
推论：平行于同一条直线的两直线平行.
不相交
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
平行线求角度的辅助线作法
满分备考
作法一：作平行线 作法二：拐点延长相交 角度关系
∠ABE+∠DCE=∠BEC
∠ABE+∠DCE+
∠BEC=360°
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
续表
作法一：作平行线 作法二：拐点延长相交 角度关系
∠ABE-∠DCE=∠BEC
∠ABE-∠DCE=∠BEC
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
1. 两条平行线间的距离： 两条平行线间的距离处处相等.
2. 直尺测量平行线间的距离：如图，平行线 a，b 之间的距离为 1.5 cm.
满分备考
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
■考点四 命题与定理
命
题
命题：能够进行肯定或否定判断的语句，叫做命题.一般地，命题都是由
______ 和 ______ 两部分组成的.
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题叫做真命题.
假命题：如果题设成立，不能保证结论一定成立的命题叫做假命题.
互逆命题：在两个命题中，如果第一个命题的题设是另一个命题的结论，而第一个命题的结论是另一个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题.
题设
结论
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
定
理
定理：有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理.
互逆定理：如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题也可以称为原定理的 ______.
一个定理和它的逆定理是互逆定理.
基本事实：有些命题经过实践检验被公认为真命题，我们把这样的命题叫做基本事实.
逆定理
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
证
明
方
法
证明几何命题
的表述格式
按题意画出图形；
分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写条件，在“求证”中写出结论；
在证明中写出推理过程.
反证法：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法.反证法的关键在于反设所证命题的结论，其适用范围：对于证明有困难，情况多或复杂的命题，否定则比较简单，此时适用.
特殊到一般的证明方法：数学中经常使用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想的集中体现.
■题型一 有关线、角的基本概念与性质的简单应用（常考）
题型解法
1. 直观判断类题目，借助工具解决.
2. 对于折叠类问题，严格根据角平分线 、垂线等定义结合折叠的性质进行判断.
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
例 1 ［2021·河北 1 题］如图，已知四条线段 a，b，c，d 中的一条与挡板另一侧的线段 m 在同一直线上，请借助直尺判断该线段是 （ ）
Ａ. a Ｂ. b Ｃ. c Ｄ. d
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
A
练习一 如图，经过点 O 的直线 a，b，c，d 中，有一条直线与直线 l 垂直，请借助三角尺判断，与直线 l垂直的是 （ ）
A． 直线 a B． 直线 b
C． 直线 c D． 直线 d
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
B
练习二 ［2024·唐山迁安二模改编］下列操作能通过折叠透明纸实现的有 （ ）
①如图 1，∠AOB 的平分线；
②如图 2，过点 P 垂直于直线 l 的垂线；
③如图 2，过点 P 且平行于直线 l 的直线.
A． ① B． ①② C． ②③ D． ①②③
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
D
■题型二 平行线的性质 （必考）
题型解法
根据平行线的性质求角度问题：
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
例 2 ［2024·石家庄模拟］如图，已知直线 a∥b，∠DCB=90°，若∠1+∠B=70°，则∠2 的度数为 （ ）
A． 40° B． 30°
C． 25° D． 20°
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
D
衍生一 变条件———与旋转结合
如图，直线 EF∥GH，△ABC 的 AB 边落在直线 GH 上，将△ABC绕点 B 顺时针旋转 73°得到△A′BC′，其中点A，C 的对应点为点 A′，C′，若∠BAC=60°，点A′恰好落在直线 EF 上，则∠FA′C′的度数为（ ）
A． 10° B． 11° C． 12° D． 13°
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
D
衍生二 变图形———菱形与等边三角形
［2023·河北 15 题］如图，直线 l1∥l2，菱形 ABCD 和等边三角形 EFG在 l1，l2 之间，点 A，F 分别在 l1，l2 上，点 B，D，E，G 在同一直线上．若∠α=50°，∠ADE=146°，则∠β= （ ）
A． 42°
B． 43°
C． 44°
D． 45°
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
C
■题型三 平行线的判定 （常考）
题型解法
平行线的判定问题，关键是在复杂的图形（或尺规作图痕迹）中抽象出同位角、内错角或同旁内角，再根据判定定理进行判定.
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
例 3 ［2022·河北 11 题］要得知作业纸上两相交直线 AB，CD 所夹锐角的大小，发现其交点不在作业纸内，无法直接测量．两同学提供了如下间接测量方案（如图 1 和图 2）：
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
对于方案Ⅰ，Ⅱ，说法正确的是 （ ）
A． Ⅰ可行，Ⅱ不可行 B． Ⅰ不可行，Ⅱ可行
C． Ⅰ，Ⅱ都可行 D． Ⅰ，Ⅱ都不可行
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
C
练习 ［2024·石家庄 28 中模拟］如图，已知∠A=71°，O 是 AB 上一点，直线 OD 与 AB 的夹角∠BOD=84°，要使 OD∥AC，直线 OD 绕点 O 按逆时针方向至少旋转 （ ）
A． 16° B． 13° C． 25° D． 15°
第一节 几何初步、相交线与平行线（含命题）
B(共22张PPT)
第五节 锐角三角函数及应用
■考点一 锐角三角函数（常考）
定义：如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，则有∠A 的正弦：
∠A 的正切：
锐
角
三
角
函
数
第五节 锐角三角函数及应用
特殊角的三角函数值
锐
角
三
角
函
数
1. 求锐角三角函数常用的方法：①定义法；②构造法（作高构造直角三角形）；③参数法；④角度转化法.
2. 对特殊角的三角函数值的记忆可借助一副三角板：含 30°角的三角板三边长度之比为 1∶ ∶2；含 45°角的三角板三边之比为 1∶1∶
满分备考
1
第五节 锐角三角函数及应用
■考点二 解直角三角形（必考）
定义：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.
具体解法：
解
直
角
三
角
形
c·sinA
第五节 锐角三角函数及应用
解直角三角形的原则：有角求角，无角求边；有斜用弦，无斜用切；宁乘勿除，取原避中；化斜为直，方程相助.
满分备考
第五节 锐角三角函数及应用
■考点三 解直角三角形的应用（必考）
解直角
三角形
的应用
仰角、俯角：如图 1，在视线与水平线所成的锐角中，视线在水平线上方
的角叫做 ______，视线在水平线下方的角叫做 ______.
方位角：一般指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方
向，旋转到目标的方向所成的角（一般指锐角），通常表达成北（南）
偏东（西）几度.如图 2，点 A 位于点 O 的 ______________ 方向，
点 B 位于点 O 的 __________________ 方向，点 C 位于点 O 的
____________ 方向（或西北方向）.
仰角
俯角
北偏东 30°
南偏东 60°
北偏西 45°
第五节 锐角三角函数及应用
坡度、坡角：如图 3，坡面的铅直高度 h 和水平宽度 l 的比叫做坡度（坡比），用字母 i 表示；坡面与水平线的夹角 α 叫做坡角，i=tanα= ______.
解直角
三角形
的应用
东北方向指北偏东 45°方向，东南方向指南偏东 45°方向，西北方向指北偏西 45°方向，西南方向指南偏西 45°方向.
失分警示
■题型一 方位角（常考）
题型解法
1. 若 A 在 B 的北偏东 n°方向上，则 B 在 A 的南偏西 n°方向上.
2. 解决方位角问题常用关系：
第五节 锐角三角函数及应用
例 1 如图，一艘游船在海上由西往东匀速航行，上午 8：00 在 A 处观测到灯塔 P 位于北偏东 60°的方向上，则此时游船位于灯塔P 的 （ ）
A． 北偏东 60°方向
B． 南偏西 60°方向
C． 北偏东 30°方向
D． 南偏西 30°方向
第五节 锐角三角函数及应用
B
拓题一 如图，这艘游船继续匀速航行，上午 10：00 到达 B 处，此时测得灯塔 P 位于B 处北偏东 30°的方向上. 从灯塔 P 处看 A处与 B 处所成的视角∠APB=_____°.
第五节 锐角三角函数及应用
30
拓题二 若这艘游船的航速是每小时 25 海里，则 P，B 之间的距离为 ________ 海里.
拓题三 已知在灯塔 P 周围 45 海里范围内有暗礁，若这艘游船不改变航海方向，是否有触礁的危险？（参考数据：≈1.732）
第五节 锐角三角函数及应用
50
解：在题图上过点 P 作 PO⊥AB 于点 O，∵∠PBO=90°-30°=60°，PB =50 海里 ，∴PO =PB·sin ∠PBO =50× =25 ≈43.3（海里），而43.3 海里＜45 海里，∴ 有触礁的危险.
拓题四 如图，如果这艘游船在 B 处改为向东偏南 15°方向航行，有无触礁危险？ 说明理由． （参考数据： ≈1.732，sin75°≈0.966，cos75°≈0.259）
第五节 锐角三角函数及应用
解：在题图上过点 P 作 PD⊥BF
交 BF 于点 D，在 Rt△BPD 中，∠PBD=
60°+15°=75°，PB=50 海里，∴PD=PB·
sin∠PBD≈50×0.966=48.3（海里），而 48.3 海里＞45 海里，∴ 没有触礁的危险.
■题型二 直解直角三角形的应用（常考）
题型解法
利用解直角三角形解决实物模型问题的一般过程：
第五节 锐角三角函数及应用
例 2 ［2024·河北 24 题］中国的探月工程激发了同学们对太空的兴趣．某晚，淇淇在家透过窗户的最高点 P 恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户的水平距离 BQ＝4 m，仰角为 α；淇淇向前走了3 m 后到达点 D，透过点 P 恰好看到月亮，仰角为 β，如图是示意图． 已知淇淇的眼睛与水平地面 BQ 的距离 AB＝CD＝1.6 m， 点 P到 BQ 的距离 PQ＝2.6 m，AC 的延长线交 PQ 于点 E（注：图中所有点均在同一平面上）.
（1）求 β 的大小及 tanα 的值；
（2）求 CP 的长及 sin∠APC的值．
第五节 锐角三角函数及应用
第五节 锐角三角函数及应用
解：（1）由题意可得，PQ⊥AE，PQ＝2.6 m，AB＝CD＝EQ＝1.6 m，
AE＝BQ＝4 m，AC＝BD＝3 m，∴CE＝4-3＝1（m），PE＝2.6-1.6＝1（m），又 ∵∠CEP＝90°．∴CE＝PE．∴β＝∠PCE＝45°；tanα=tan∠PAE= = ；
第五节 锐角三角函数及应用
（2）∵CE ＝PE ＝1 m， ∠CEP ＝90° ，
∴CP= = （m）．在题图上过点 C作 CH⊥AP 于点 H，则
tanα=tan∠PAE= = ，设 CH=x m，则 AH=4x m，∵AC=3 m，
∴x2+（4x）2=32．∴x= ，∴CH= m．∴sin∠APC= = = ．
练习一 ［2022·河北 24 题］如图，某水渠的横断面是以 AB 为直径的半圆O，其中水面截线 MN∥AB．嘉琪在 A 处测得垂直站立于 B处的爸爸头顶 C 的仰角为 14°，点 M 的俯角为 7°．已知爸爸的身高为 1.7 m．
（1）求∠C 的大小及 AB 的长；
（2）请在图中画出线段 DH，用其长度表示最大水深
（不说理由），并求最大水深约为多少米．（结果保
留小数点后一位，参考数据：tan76°取 4， 取
4.1）
第五节 锐角三角函数及应用
第五节 锐角三角函数及应用
解：（1）∵ 嘉琪在 A 处测得垂直站立于B 处的爸爸头顶 C 的仰角为 14°，∴∠CAB=14°，∵∠CBA=90°，∴∠C=180°-∠CAB-∠CBA=76° ，∵tanC= ，BC=1.7 m，∴tan76°= ，∴AB=1.7×tan76°≈6.8（m），∴∠C=76°，AB 的长约为 6.8 m；
（2）画出线段 DH， 连接 OM， 如图所示 ，∵OA =OM， ∠BAM =7° ，∴ ∠OMA =∠OAM =7° ，∵AB ∥MN，∴ ∠AMD =∠BAM=7°，
∴∠OMD=14°，∴∠MOD=76°，
在 Rt△MOD 中，tan∠MOD= ，∴tan76°= ≈4，∴MD=4OD，
第五节 锐角三角函数及应用
设 OD=x m，则 MD=4x m，OM =OA = AB =3.4 m，∴x2 +（4x）2 =3.42，∵x ＞0，∴x = ≈0.82，∴OD =0.82 m，∴DH =OH -OD =OA -OD =3.4 -0.82=2.58≈2.6（m），
∴ 最大水深约为 2.6 m．
练习二 为了监控大桥下坡路段车辆行驶速度，通常会在下引桥处设置电子眼进行区间测速．如图，电子眼位于点 P 处，离地面的铅垂高度 PQ 为 9 m，区间测速的起点在下引桥坡面点 A 处，此时电子眼的俯角为 30°；区间测速的终点在下引桥坡脚点 B 处，此时电子眼的俯角为 60°（A，B，P，Q 四点在同一平面上）．
（1）求路段 BQ 的长（结果保留根号）；
（2）当下引桥坡度 i=1∶2时，求电子眼区间测速路段 AB 的长（结果保留根号）．
第五节 锐角三角函数及应用
第五节 锐角三角函数及应用
第五节 锐角三角函数及应用
解：（1）如图，由题意得∠PBQ=∠TPB=60° ，∠PQB=90° ，∴∠BPQ=30° ，∴BQ =PQ·tan30° =9 × =3（m）；
第五节 锐角三角函数及应用
（2）如图，过点 A 作 AM⊥QB 于点M，AH⊥PQ 于点 H．由题意得∠PAH=∠TPA=30° ，设 AM = a m，则 BM =2 a m，∵∠AHQ=∠HQM=∠AMQ=90°，∴ 四边形 AHQM 是矩形，∴AH=QM=（3 +2 a） m，QH=AM=a m，∴PH=PQ-HQ=（9-a）m，
在Rt△APH中，tan∠PAH= ，∴ =,
解得 a=2，∴AM=2 m，BM=4 m，
∴AB= =2 m．(共27张PPT)
第四节 等腰三角形与直角三角形
■考点一 等腰三角形的性质与判定（8 年 6 考）
定义：有①______ 相等的三角形叫做等腰三角形，在等腰三角形中，相等的两边叫做②_____，另一边叫做③_______，两腰的夹角叫做
④______，腰和底边的夹角叫做⑤______.
等
腰
三
角
形
1. 两腰⑥______，如图，AB=AC.
2. 两个底角⑦______（简称“等边对等角”），如图，
∠B=∠C.
3. 顶角平分线、底边上的中线、底边上的高⑧________
（简称“三线合一”）.
4. 是⑨_______ 图形，如图，⑩______ 所在直线是对称轴.
性质
两边
腰
底边
顶角
底角
相等
相等
互相重合
轴对称
AD
第四节 等腰三角形与直角三角形
等
腰
三
角
形
判定
1. 在△ABC 中，若 _______，则△ABC 是等腰三角形（定义）.
2. 在△ABC 中，若 _______，则△ABC 是等腰三角形
（简称“等角对等边”）.
面积计算公式：如图，S= ____________
AB=AC
∠B=∠C
BC·AD
1
2
1. 等腰三角形两腰上的高 _____，两腰上的中线 ______，两底角的平分线 ______，等腰三角形顶角的外角平分线与底边 _____.
2. 等腰三角形底边（或其延长线）上一点到两腰的距离
和（或差）等于一腰上的 _____.
知识拓展
相等
相等
相等
平行
高
第四节 等腰三角形与直角三角形
1. 当等腰三角形的顶角和底角不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形内角和定理检验.
2. 当等腰三角形的腰长和底边长不确定时，需要分类讨论，且需要用三角形三边关系检验.
失分警示
第四节 等腰三角形与直角三角形
一题串考点
在△ABC 中，AB=AC.
（1）若△ABC 中有一个内角为 50°，则∠ABC=_________；若△ABC 中有一内角为 100°，则∠ABC=_________°；
（2）若△ABC 的周长为 12，一边长为 5，则AB=_________；若一边长为 4，则△ABC 是________ 三角形；
50°或 65°
40
5 或 3.5
等边
第四节 等腰三角形与直角三角形
（3）如图 1，D 为边 BC 的中点，连接 AD.①若△ABC 的面积为 12，AD=3，则 AB=_______；
②如图 2，过点 D 作 DE∥AB 交 AC 于点 E，则△CDE 为 _____ 三角形；
③如图 2，若 AB=5，点 E 是 AC 的中点，连接 DE，则 DE=______.
④如图 3，若 F 为底边 BC 上任意一点，FM⊥AB 于点 M，FN⊥AC 于点 N，AB=5，BC=8，则 FM+FN=_____.
5
等腰
2.5
第四节 等腰三角形与直角三角形
■考点二 等边三角形的性质与判定（常考）
等
边
三
角
形
定义： ______ 都相等的三角形是等边三角形.
1. 三条边 ______，如图，AB=BC=AC.
2. 三个内角 ______，且每个角都等于 _____，
如图，∠A=∠B=∠C= ____.
3. 是 ______ 图形，如图，它有 ______ 条对称轴.
性质
三边
相等
相等
60°
60°
轴对称
三
第四节 等腰三角形与直角三角形
等
边
三
角
形
重合
1. 等边三角形三条角平分线的交点、三条高的交点、三边垂直平分线的交点 _____.
2. 等边三角形内任一点到三边的距离之和等于任一边上的 ____.
知识拓展
高
第四节 等腰三角形与直角三角形
等
边
三
角
形
判定
1. 在△ABC 中，若 ___________，则△ABC 是等边三角形（定义）.
2. 在△ABC 中，若 _______________，则△ABC 是等边三角形.
3. 有一个角等于 _______ 的等腰三角形是等边三角形
面积计算公式：如图，S= a2，a 是等边三角形任意一边的长
AB=AC=BC
∠A=∠B=∠C
60°
在△ABC 中，∠A=60°，添加一个适当的条件，使△ABC 是等边三角形，添加的条件可以是 _________________________．
即学即练
∠B=60°（答案不唯一，如 AB=AC）
第四节 等腰三角形与直角三角形
■考点三 直角三角形的性质与判定（常考）
直
角
三
角
形
定义：有一个角等于 ______ 的三角形叫做直角三角形.
1. 直角三角形两锐角之和等于 ______，如图，∠A+∠C= _____.
2. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 _____，如图，BD 是斜边上的中线，BD= _____AC.
3. 30°角所对的直角边等于斜边的 _____，如图，若∠A=30°，
则 BC= ____AC.
4. 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c，那么 ________.
性质
90°
90°
90°
一半
一半
1
2
1
2
a2+b2=c2
第四节 等腰三角形与直角三角形
直
角
三
角
形
5. 在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于 _____，如图，BC= AC，则∠A= _____.
性质
判定
1. 有一个角等于 ______ 的三角形是直角三角形（定义）.
2. 有两个角 ________ 的三角形是直角三角形.
3. 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边 a，b，c 满足 _________，那么这个三角形是直角三角形.
30°
30°
90°
互余
a2+b2=c2
第四节 等腰三角形与直角三角形
直
角
三
角
形
S= ab= ch，其中 a，b 为两直角边长，c 为斜边长，h 为斜边上的高.
面积计算公式
公式应用
一般知道直角三角形的三边，求斜边上的高时，
常用等面积法，利用公式 h= 进行求解.
第四节 等腰三角形与直角三角形
1. 勾股定理的拓展应用：如图，若直角三角形的三边分别记为 a，b，c，分别以三条边为边向外作等边三角形、正方形、半圆，则有 S1+S2=S3.
2. 赵爽弦图：如图，若直角三角形的三边分别记为 a，b，c，则 S 大正方形=S 小正方形+4S 直角三角形.
知识拓展
第四节 等腰三角形与直角三角形
3. 毕达哥拉斯拼图：如图，若直角三角形的三边分别
记为 a，b，c，则 S 左图大正方形=S 右图大正方形.
4. 伽菲尔德总统拼图：如图，若直角三角形的三边分别记为 a，b，c，S 梯形=2S 小直角三角形+S 大直角三角形.
知识拓展
第四节 等腰三角形与直角三角形
一题串考点
如图，∠COD=90°，点 A，B 分别是射线 OC，OD 上的点，点 M 是线段 AB 上的点.
（1）若∠OAB=45°，OA=5，则∠ABO=_______°，△AOB 的面积为 _______；
（2）若∠OAB=30°，OB=5，则 AB=______；
（3）若 OB=3，BM= ，OM= ，则∠BOM=_______°；
45
45
2
10
30
第四节 等腰三角形与直角三角形
（4）若 OA=5，OB=3，OM 是 AB 边上的高，则 tan∠MOB=_______；
（5）若点 M 是 AB 的中点，AB=10，线段 AB 在∠COD 的边上滑动过程中，线段 OM 的长度_________（填序号）.
①变大 ②变小 ③先变大后变小 ④先变小后变大 ⑤不变，恒为 5
3
5
⑤
第四节 等腰三角形与直角三角形
■考点四 等腰直角三角形的性质与判定（常考）
等
腰
直
角
三
角
形
1. 两直角边 ______.
2. 两锐角相等且都等于 _______.
3. 斜边中线将三角形分为两个 _____ 的等腰直角三角形.
4. 是 _________ 图形，有 1 条对称轴，对称轴为底边的 _____________.
性质
判定
1. 有一个角是 90°的等腰三角形是等腰直角三角形.
2. 有两边 _______ 的直角三角形是等腰直角三角形.
3. 有一个角是 _______ 的直角三角形是等腰直角三角形.
4. 有两个角是 _______ 的三角形是等腰直角三角形
相等
45°
全等
轴对称
垂直平分线
相等
45°
45°
第四节 等腰三角形与直角三角形
1. 等腰直角三角形既是等腰三角形又是直角三角形，因此它具有两者的所有性质.
2. 等腰直角三角形三边的长度之比为 1∶1∶ .
满分备考
■题型一 等腰（边）三角形的性质与判定（常考）
题型解法
1. 解决等腰三角形的边角问题，往往需要分类讨论.
2. 要证明三角形是等腰三角形必须得到两边相等，而得到两边相等的方法主要有：（1）通过等角对等边得到两边相等；（2）通过三角形全等得到两边相等；（3）利用线段垂直平分线的性质得到两边相等.
第四节 等腰三角形与直角三角形
例 1 ［2024·唐山模拟］如图，M，N 是∠AOB 的边 OA 上的两个点（OM＜ON），∠AOB=30°，OM=a，MN=4， 若边 OB 上有且只有 1个点 P，满足△PMN 是等腰三角形，则 a 的取值范围是 ______．甲答：a＞8；乙答：a=4，则正确的是 （ ）
A． 只有甲对
B． 只有乙对
C． 甲、乙答案合一起才完整
D． 甲、乙答案合一起也不对
第四节 等腰三角形与直角三角形
C
练习一 ［2024·邢台模拟］如图所示的三角形中有一个是等腰三角形，则 x 的值是 （ ）
A． 5 B． 8
C． 9 D． 16
第四节 等腰三角形与直角三角形
D
练习二 ［2024·秦皇岛山海关区一模］如图，在△ABC 中，AB=AC，M 为 BC 边上一点，且 AM=AN，则∠BAM 与∠NMC 的关系一定成立的是 （ ）
A． ∠BAM=∠NMC B． ∠BAM+∠NMC=∠BAC
C． ∠BAM+∠NMC=∠B D． ∠BAM=2∠NMC
第四节 等腰三角形与直角三角形
D
练习三 ［2024·廊坊一模］定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．
已知：如图，在△ABC 中，∠BAC=30°，∠ACB=90°．求证：BC= AB．
证明：如图，延长 BC 到点 D，使 CD=BC，连接 AD．又 ∵∠ACB=90°，即 AC⊥BD，∴AB=AD（依据Ⅰ），
∵∠BAC=30°，∠ACB=90°，∴∠B=90°-∠BAC=60°（依据Ⅱ），∴△ABD 是等边三角形（依据Ⅲ），
∴AB=BD（依据Ⅳ），∴BC= BD= AB．
第四节 等腰三角形与直角三角形
对于四个依据下列说法错误的是 （ ）
A． 依据Ⅰ：线段的垂直平分线的性质
B． 依据Ⅱ：勾股定理
C． 依据Ⅲ：有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
D． 依据Ⅳ：等边三角形的三条边都相等
第四节 等腰三角形与直角三角形
B
■题型二 直角三角形的性质与判定（常考）
题型解法
在直角三角形中计算线段长度，勾股定理是很重要的工具，当题目中没有垂直条件时，往往作垂线构造直角三角形，然后利用勾股定理可求得线段的长，但是构造直角三角形时，一般不要破坏已知条件中的特殊角和已知的边.
第四节 等腰三角形与直角三角形
例 2［2023·河北 11 题］如图，在 Rt△ABC 中，AB=4，点 M 是斜边 BC 的中点，以 AM 为边作正方形 AMEF．若 S 正方形 AMEF=16，则 S△ABC= （ ）
A． 4 B． 8 C． 12 D． 16
第四节 等腰三角形与直角三角形
B
衍生一 变组合方式
［2024·秦皇岛山海关区一模］如图，四边形 ABCD 是面积为 3 的正方形，一直角三角板（三个角分别为 30°，60°，90°）的斜边与 AB 重合，直角顶点 E 在 CD 上，则△AEF 的面积为 （ ）
A． 3 B． 2 C． 3 D． 4
第四节 等腰三角形与直角三角形
B
衍生二 变组合图形
如图，以 Rt△ABC 的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形，若阴影部分的面积为 2，则斜边 AB 的长为 （ ）
A． 1 B． 2 C． 3 D． 4
第四节 等腰三角形与直角三角形
B(共16张PPT)
第三节 全等三角形
■考点一 全等三角形的定义
当用“△ABC 与△EFG 全等”表达时，两个三角形的顶
点、边、角的对应关系不确定，需要分类讨论，以免漏解.
失分警示
能够①_________ 的两个三角形叫做全等三角形.
完全重合
第三节 全等三角形
■考点二 全等三角形的性质与判定（必考）
性
质
1. 全等三角形的对应边②______，对应角③______.
2. 全等三角形的周长④_______，面积⑤________.
3. 全等三角形的对应中线、高、角平分线都⑥_________.
相等
相等
相等
相等
相等
第三节 全等三角形
判
定
方
法
1. 三边分别相等的两三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）.
2. 两边和它们的⑦_____ 对应相等的两三角形全等（简写成“边角边”或“SAS”）.
3. 两角和它们的⑧_____ 对应相等的两三角形全等（简写成“角边角”或“ASA”）.
4. 两角和其中一角的⑨_____ 对应相等的两三角形全等（简写成“角角边”或“AAS”）.
5. 斜边和一直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“直角边、斜边”或“HL”）.
夹角
夹边
对边
第三节 全等三角形
判
定
思
路
已知两边对应相等
找夹角→SAS
找直角→HL 或 SAS
找另一边→SSS
已知一边和一角对应相等
边为角的对边→找任一角→AAS
边为角的邻边→
找夹角的另一边→SAS
找夹边的另一角→ASA
找边的对角→AAS
已知两角对应相等
找夹边→ASA
找其中一角的对边→AAS
第三节 全等三角形
“SSA”不是判定三角形全等的方法.例如，如图，在△ABC 和 △ABD 中 ，AB =AB，∠B=∠B，AC=AD，但△ABC 与△ABD 不全等.
失分警示
第三节 全等三角形
四种构造全等三角形的方法
（1）倍长中线法：如图 1，若 AD 为 BC 边上的中线，延长 AD 使DE=AD，可构造出△DBE≌△DCA；
（2）平行线法：如图 2，若 F 为 DE 边的中点，作 EG∥DC，可构造出△EFG≌△DFC；
（3）垂线法：如图 3，若 AD为∠BAC 的平分线，作 DE⊥AB，DF⊥AC，可构造出△ADE ≌△ADF；
（4）旋转法：如图 4，在正方形ABCD 中 ， ∠EBF =45° ， 将BE 绕点 B 按逆时针方向旋转 90°与 DA 的延长线交于点 G，可构造出△GBF≌△EBF，△BAG≌△BCE.
满分备考
第三节 全等三角形
满分备考
第三节 全等三角形
如图，添加条件使若△AEC≌△DFB（不添加任何辅助线）.
（1）已知 EA∥DF，AE=DF.
①添加条件 ___________________，判定方法为 SAS；
②添加条件∠E=∠F（或∠ACE=∠DBF），判定方法为 ______________；
（2）已知 AE=DF，EC=FB.
①添加条件 __________________，判定方法为 SSS；
②添加条件 ___________，判定方法为 SAS；
③添加条件 ______________________________________，判定方法为 HL；
即学即练
AB=CD（或 AC=DB）
ASA（或 AAS）
AB=CD（或 AC=DB）
∠E=∠F
∠A = ∠D =90°（或 ∠ECA =∠FBD=90°）
第三节 全等三角形
（3）已知 EA∥DF，EC∥BF.
①添加条件 __________________，判定方法为 ASA；②添加条件 ___________________，判定方法为 AAS.
AC=BD（或 AB=DC）
AE=DF（或 CE=BF）
■题型 全等三角形的性质与判定（必考）
题型解法
1. 判定三角形全等找等角或等边的常用方法：
平行线的性质
对顶角相等
等角 等角加（减）等角，和（差）相等
直角三角形两锐角互余
三角形外角的性性质
第三节 全等三角形
特殊图形隐含的条件
等边 等边加（减）等边，和（差）相等
由已有的全等三角形性质得到
第三节 全等三角形
例 1 ［2023·河北 13 题］ 在△ABC 和△A′B′C′中，∠B=∠B′=30°，AB=A′B′=6，AC=A′C′=4，已知∠C=n°，则∠C′= （ ）
A． 30° B． n°
C． n°或 180°-n° D． 30°或 150°
第三节 全等三角形
C
练习一 ［2024·邯郸 23 中二模］如图，课本上给出了小明一个画图的过程，这个画图过程说明的事实是 （ ）
第三节 全等三角形
C
A． 两个三角形的两条边和夹角对应相等，这两个三角形全等
B． 两个三角形的两个角和其中一角的对边对应相等，这两个三角形全等
C． 两个三角形的两条边和其中一边对角对应相等，这两个三角形不一定全等
D． 两个三角形的两个角和夹边对应相等，这两个三角形不一定全等
第三节 全等三角形
练习二 ［2024·保定师范附属学校三模］如图，C 是 AB 上一点，点 D，E 分别位于 AB 的异侧，AD∥BE，且 AD=BC，AC=BE．
（1）求证：CD=CE；
（2）当 AC=2 时，求 BF 的长；
（3）若∠A=α，∠ACD=25°，且△CDE 为钝角三角形，请直接写出 α 的取值范围．
第三节 全等三角形
第三节 全等三角形
解：（1）证明：∵AD∥BE，
∴∠A=∠B，在△ADC 和△BCE 中，
AD=BC，
∠A=∠B，
AC=BE， ∴△ADC≌△BCE（SAS），∴CD=CE；
（2）由（1）可知 CD =CE，∴∠CDE=∠CED，由（1）可知△ADC≌△BCE，
∴∠ACD=∠BEC，∴∠CDE+∠ACD=∠CED +∠BEC，即∠B FE =∠BED，
∴BE=BF，即 BF=BE=AC=2 ；
（3）40°<α<130°.(共26张PPT)
第二节 三角形的基本性质
■考点一 三角形的分类
按角分
等腰三角形与等边三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形属于等腰三角形且拥有等腰三角形的一切性质，但等腰三角形不属于等边三角形.
失分警示
锐角三角形：三个内角都是①_____.
②_____ 三角形：有一个内角为 90°.
钝角三角形：有一个内角是③_____
按边分
不等边三角形：三条边④_________.
等腰三角形
底与腰不相等的等腰三角形.
⑤______ 三角形.
锐角
直角
钝角
都不相等
等边
第二节 三角形的基本性质
■考点二 三角形的稳定性（常考）
三角形的稳定性
是其特有的性质，只要三角形的三边长度固定，其形状和大小就固定了.
三角形的稳定性在生活中有广泛的应用，如桥梁、起重机、人字形屋顶等.
第二节 三角形的基本性质
■考点三 三角形边和角的关系（必考）
2.三角形内角和外角
1. 三边关系：三角形任意两边的和⑥______ 第三边，任意两边的差⑦_______ 第三边.如图，a+b⑧____c，｜a-b｜ ⑨_____c.
内角和定理：三角形的内角和等于⑩______.
内外
角关系
三角形的一个外角 _____ 与它不相邻的两个内角之和；如图，∠1=∠A+ _____．
三角形的一个外角 ______ 与它不相邻
的任意一个内角；如图，∠1 ____∠A，
∠1 ______∠B.
大于
小于
＞
＜
180°
等于
∠B
大于
＞
＞
第二节 三角形的基本性质
3. 边角关系：同一个三角形中，等边对等角，等角对等边，大边对大角，大角对大边.
比较图形中角的大小的方法：（1）根据角的度数比较；（2）根据边角关系比较；（3）利用角的不等关系的传递性比较；（4）根据三角形内角与外角的关系比较.
满分备考
第二节 三角形的基本性质
■考点四 与三角形有关的重要线段（常考）
中点
CD
1
2
S△ACD
一半
中线
2
2OD
第二节 三角形的基本性质
续表
90°
高线
∠2
相等
第二节 三角形的基本性质
续表
BC
1
2
1∶2
1∶4
CE
CD
相等
第二节 三角形的基本性质
三角形中“中点”问题的四种常见模型及辅助线作法：
（1）如图 1，单个中点首先考虑倍长中线；
（2）如图 2，多个中点首先考虑中位线（平行四边形中连接两条对角线即可产生中点）；
（3）如图 3，等腰三角形底边上出现中点考虑三线合一；
（4）如图 4，直角三角形斜边出现中点考虑直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，另外还产生了两组相等的角.
满分备考
第二节 三角形的基本性质
满分备考
第二节 三角形的基本性质
一题串考点
（1）在△ABC 中，若 AB=5，AC=2，则 BC 的取值范围是 _________；
（2）如图，在△ABC 中，D 是 BC 上一点，连接 AD，AE 是 BC 边上的高.
3＜BC＜7
第二节 三角形的基本性质
①若 AD 是边 BC 上的中线，AE=4，△ABC 的面积为 24，则 CD 的长为
_______；
②已知 AD 是∠BAC 上的平分线.若∠C=65°，∠B=35°，则∠DAE=______；若 AB=5，AC=3，则S△ABD∶S△ACD=_______；
③若△ABC 的周长为 18，面积为 12，点 M，N，D 分别是边 AB，AC，BC 的中点，则△MND 的周长为 ______，面积为 _______.
6
15°
5∶3
9
3
■题型一 判断图形的稳定性（常考）
题型解法
1. 判断一个图形是否具有稳定性，要看它的基本组成部分是不是三角形，若是，则具有稳定性；若不是，则不具有稳定性.
2. 为了保证 n（n≥4）边形稳定，最简单的方法是连对角线（不相邻两个顶点的连线）.
第二节 三角形的基本性质
例 1 下列图形中具有稳定性的是 （ ）
第二节 三角形的基本性质
D
练习 安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是 （ ）
A． 三角形的稳定性
B． 两点之间线段最短
C． 两点确定一条直线
D． 垂线段最短
第二节 三角形的基本性质
A
■题型二 三角形三边关系的简单应用（必考）
题型解法
判断已知长度的三条线段能否组成三角形的一般步骤：
第二节 三角形的基本性质
例2 ［2023·河北 5 题］四边形 ABCD 的边长如下图所示，对角线 AC 的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC 为等腰三角形时，对角线 AC 的长为 （ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
第二节 三角形的基本性质
B
衍生一 变条件———改为直角三角形
［2024·石家庄 43 中模拟］ 四边形 ABCD 的边长如上中图所示，对角线 AC 的长度随四边形形状的改变而变化．当△ABC 为直角三角形时，对角线 AC 的长为 （ ）
A． B． 3 C． 5 D． 或 5
第二节 三角形的基本性质
A
衍生二 变方式———与折叠结合
［2024·邯郸邯山区模拟］ 四边形 ABCD 的边长如上右图所示，∠BAD=90°，∠ABC=120°，E 为边 AD上一动点（不与 A，D 两点重合），连接 BE，将△ABE 沿直线 BE 折叠，点 A 的对应点为点 F，则点 C与点 F 之间的距离不可能是 （ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 8
第二节 三角形的基本性质
D
■题型三 三角形的内外角关系（必考）
题型解法
求特殊图形中的角（或角的和），常常将其转化为求三角形中角的问题，关键是在较复杂的图形中抽象出三角形，将所求角转化为该三角形的内角或外角.
第二节 三角形的基本性质
例 3 ［2024·石家庄 41 中一模］Rt△ACB 和 Rt△DFE 是一副三角板， ∠ACB = ∠DFE =90° ， ∠CAB =45° ，∠DEF=30°，将这副三角板按如图所示的位置摆放，点 D 在边 AC 上，点 E 在边 CB 的延长线上，且 AB∥EF，则∠CDE 的度数为 （ ）
A． 60° B． 70° C． 75° D． 80°
第二节 三角形的基本性质
C
衍生一 与旋转结合
［2024·邯郸邱县二模］将分别含有 30°，45°角的一副三角板重叠，使直角顶点及两直角边重合，如图1．若保持含 45°角的三角板固定不动，将含 30°角的三角板绕直角顶点沿顺时针方向旋转 15°，如图 2，此时 α 的度数 _____（选填“增大”或“减小”）了 _____ °.
第二节 三角形的基本性质
减小
15
衍生二 与剪纸结合
将两张三角形纸片△AOB 和△COD 按如图 1 位置放置，点 D，C 分别在 AO，BO 的延长线上，记∠A+∠B=α；沿虚线将△AOB 剪掉一部分得到图 2 的△MON，记∠M+∠N=β，则正确的是 （ ）
A． α＞β
B． α=β
C． α＜β
D． 无法比较 α 与 β 的大小
第二节 三角形的基本性质
B
■题型四 三角形中的重要线段（常考）
题型解法
判断三角形中的重要线段，不管是折纸还是尺规作图，都严格按照相关定义或性质进行判断，其中，三角形的中线，要先确定对应边上的中点，才能确定中线.
第二节 三角形的基本性质
例 4 ［2024·廊坊广阳区二模］数学课上，同学们用△ABC 纸片进行折纸操作． 按照下列各图所示的折叠过程， 线段 AD 是△ABC 中线的是 （ ）
第二节 三角形的基本性质
C
练习一 如图，在△ABC 中，以点 A 为圆心，AC 的长为半径作弧，与 BC 交于点E，分别以点 E 和点 C 为圆心、大于 EC 的长为半径作弧，两弧相交于点 P，作射线 AP 交 BC 于点 D．若∠B=45°，∠C=2∠CAD，则∠BAE 的度数为 ______.
第二节 三角形的基本性质
15°
练习二 如图，将△ABC 放置在一条数轴上，AC，BC 的中点 D，E均落在数轴上，且点 D，E 在数轴上的位置如图所示，则 AB 的长为______.
第二节 三角形的基本性质
10(共22张PPT)
第六节 相似三角形（含位似）
■考点一 比例线段的相关概念
线段的比：两条线段的比是两条线段的①_____ 之比.
比例线段：在四条线段 a，b，c，d 中，如果 a 与 b 的比等于 c 与 d 的比，即②________，我们就把这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段.
比例中项：如果 ，即 b2=③_____，我们就把 b 叫做 a，c 的比例中项.
比
例
线
段
求两条线段的比值时，两条线段要用同一长度单位.
失分警示
ac
长度
第六节 相似三角形（含位似）
比例的
性质
比
例
线
段
黄金分割：如图 1，点 C 把线段 AB 分成两条线段 AC 和 BC，且⑥_________，那么线段 AB 被点 C 黄金分割，点 C 叫做线段 AB 的黄金分割点，AC 与 AB 的比叫做黄金比
bc
3
第六节 相似三角形（含位似）
平
行
线
分
线
段
成
比
例
基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的线段对应⑦______.
如图 2，若 l1∥l2∥l3，则
推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段⑧_______.如图 3，在△ABC 中，因为 DE∥BC，所以 ，也可以说 .如图 4，在△ABC中，因为 DE∥BC，所以
成比例
成比例
第六节 相似三角形（含位似）
1. 一条线段上有两个黄金分割点，它们是关于该线段的中点
对称存在的.
满分备考
第六节 相似三角形（含位似）
■考点二 相似三角形（多边形）的性质与判定（必考）
相
似
三
角
形
判定定理
1. 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形⑨______.
2. ⑩_____ 角对应相等的两个三角形相似.
3. 两边对应成比例且 ____ 角相等的两个三角形相似.
4. _____ 边对应成比例的两个三角形相似.
5. 直角边、 _____ 对应成比例的两个直角三角形相似.
相似
两
夹
三
斜边
第六节 相似三角形（含位似）
1. 相似三角形的 ________ 相等， ________ 成比例.
2. 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于 ______.
3. 相似三角形周长的比等于 _______，面积的比等于相似比的 ______.
相
似
三
角
形
要使两个三角形相似，若已知有一对角相等，则需夹这对角的两边对应成比例.当无法确定对应关系时，则夹这对角的两边的比就有两种情况，因此必须进行分类讨论，否则就会因漏解而致错.
失分警示
性质定理
对应角
对应边
相似比
相似比
平方
第六节 相似三角形（含位似）
定义：对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对应边的比叫做相似比.
相似多边形
性质:
1. 相似多边形的 _________ 相等， _________ 成比例.
2. 相似多边形周长的比等于 _______，面积的比等于相似比的 ______.
对应角
对应边
相似比
平方
第六节 相似三角形（含位似）
一题串考点
如图，D，E 分别是△ABC 的边 AB，AC 上的动点，若 AE=3，AC=8，AB=6.
（1）若 DE∥BC，则 AD=_____；
（2）若△ADE∽△ACB.
①对应边角的关系为：
=________=________=________；
②∠ADE=______，∠AED=______；
③△ADE 与△ACB 的周长之比为 _______，面积之比为 _______；
∠ACB
∠ABC
1∶2
1∶4
第六节 相似三角形（含位似）
（3）添加一个条件（不添加辅助线）：______________________________，使得△ADE∽△ABC；
（4）若△ADE 与△ACB 相似，则 AD 的长度是 ________.
∠ADE=∠ABC（答案不唯一）
4 或
9
4
第六节 相似三角形（含位似）
■考点三 图形的位似与位似作图（常考）
图
形
的
位
似
定义：如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做 ________.
性质
1. 两个图形是相似图形，具有相似图形的一切性质.
2. 对应点的连线都经过同一点.
3. 对应边互相 ______ 或在同一条直线上.
4. 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，位似比为 k ，
那么位似图形上的对应点的坐标比等于 ________.
位似中心
平行
k 或-k
第六节 相似三角形（含位似）
位
似
作
图
1. 确定位似中心 O.
2. 连接图形各关键点与位似中心 O.
3. 依照位似比在所连接的线段（或延长线）上找各关键点变换后的对应点.
4. 顺次连接各关键点变换后的对应点，所得图形就是所求作的图形.
1. 位似是相似的特例.位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.
2. 位似图形可能在位似中心同侧，也可能在异侧，因此作一个图形的位似图形时，位似图形往往有两个.
失分警示
■题型一 相似三角形的判定与性质（必考）
题型解法
判定相似三角形的思路：
有平行截线———用平行线的性质，找等角
有一对等角
两边对应成比例
第六节 相似三角形（含位似）
另一对等角
这个角的两边对应成比例
夹角相等
第三边也对应成比例
有一对直角
直角三角形
等腰三角形
第六节 相似三角形（含位似）
一对锐角相等
两直角边对应成比例
斜边、直角边对应成比例
顶角相等
一对底角相等
底和腰对应成比例
例 1 ［2024·河北 19 题］如图，△ABC 的面积为 2，AD 为 BC 边上的中线，点 A，C1，C2，C3 是线段 CC4 的五等分点，点 A，D1，D2 是线段 DD3 的四等分点，点 A 是线段BB1 的中点．
（1）△AC1D1 的面积为 ______；
（2）△B1C4D3 的面积为 ______．
第六节 相似三角形（含位似）
1
7
练习一 ［2024·廊坊广阳区一模］我们知道：五边形具有不稳定性，小文将正五边形沿箭头方向向右推，使点 B 在线段 AC 上，若AC∥DE，则∠E （ ）
A． 减小了 12°
B． 增加了 12°
C． 减少了 15°
D． 增加了 15°
第六节 相似三角形（含位似）
B
练习二 如图，正方形 ABCD 中，E 为边 AB 的中点，F 为边 BC 的四等分点，分别连接 DE，DF，EF．给 出 下 列 结 论 ：①△ADE∽ △BEF；② ∠DEF =90° ；③ ；④△ADE∽△EDF，其中正确的有 （ ）
A． 1 个 B． 2 个 C． 3 个 D． 4 个
第六节 相似三角形（含位似）
C
练习三 ［2024·唐山二模］如图，在 4×4 的正方形网格中，每个小正方形的边长为 1，△ABC 的顶点均在格点上， 将△ABC 向右平移 1 个单位长度得到△A′B′C′．
（1）△ABC 的面积为 _____；
（2）阴影部分的面积为 _____．
第六节 相似三角形（含位似）
5
■题型二 图形的位似（常考）
题型解法
1. 在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画出一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为 k，那么与原图形上的点（x，y）对应的位似图形上的点的坐标为（kx，ky）或（-kx，-ky）.
2. 确定位似中心的方法：
第六节 相似三角形（含位似）
例 2 ［2024·廊坊一模］如图，在正方形网格图中，以点 O 为位似中心，作△ABC 的位似图形，若点 D 是点 A 的对应顶点，则点 B的对应顶点是 （ ）
A． 点 P
B． 点 Q
C． 点 M
D． 点 N
第六节 相似三角形（含位似）
D
拓题一 例题中所作位似图形与△ABC 的相似比是 ______.
第六节 相似三角形（含位似）
3∶1
拓题二 以点 O 为原点，建立如图所示坐标系，每个小正方形的边长为 1 个单位长度.
第六节 相似三角形（含位似）
（1）点 B 的坐标为 ______；
（2）以点 O 为位似中心，在第一象限内按比例 1∶2 把△ABC 缩小，则点 B 的对应点 B′的坐标为________；
（3）若△ABC 与△FME 是位似图形，则位似中心的坐标是 _______.
第六节 相似三角形（含位似）
（2，2）
（1，1）
（3，3）
