广东省广州市荔湾区2024-2025学年高三上学期调研测试数学试题
1．（2024高三上·荔湾模拟）已知全集，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：全集，
，集合中没有，
若，则，则，与条件矛盾，故，
同理可得，
则.
故答案为：D.
【分析】根据和以及元素与集合的关系，从而求出集合.
2．（2024高三上·荔湾模拟）已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
故.
故答案为：C.
【分析】利用复数的除法运算法则得出复数z，再结合复数求模公式，从而得出复数z的模.
3．（2024高三上·荔湾模拟）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列，
则，，
所以这根竹子的装米量为（升）.
故答案为：B.
【分析】根据给定条件和等差数列的定义，从而判断出竹子自下而上的各节装米量构成等差数列，再利用等差数列的性质和等差数列前n项和公式，进而得出这根竹子的装米量.
4．（2024高三上·荔湾模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：将平方得，，①
将平方得，，②
①＋②得，
所以，
即.
故答案为：D.
【分析】将已知两式平方相加，即可求出，再由差角的正弦公式，从而得出的值.
5．（2024高三上·荔湾模拟）已知函数和是相邻的两个零点，则（ ）
A．
B．在区间上单调递减
C．
D．直线是曲线的切线
【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可知，所以，
又因为，，所以，故A错误；
所以，
当时，，由正弦函数的单调性知，
则在上单调递增，故B错误；
由，，
所以，故C错误；
设切点为，因为，
所以，
解得或，，
即或，，
当时，切点为，
所以，切线方程为，即，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合正弦型函数的最小正周期公式，从而得出的值，结合五点对应法和的取值范围，从而得出的值，则判断出选项A；利用换元法和正弦函数的单调性，从而判断出正弦型函数在区间上单调性，则判断出选项B；利用函数的解析式和代入法，则判断出选项C；利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由点斜式得出曲线的切线方程，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
6．（2024高三上·荔湾模拟）已知椭圆与抛物线，椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意知，抛物线的准线经过椭圆的左焦点可得，
椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，所以，
由，，化简整理可得，
解之得或(舍)，
可得.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的准线经过椭圆E的左焦点，可求出，由椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，可知，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式，从而化简可得关于方程，进而解方程得出椭圆E的离心率的值.
7．（2024高三上·荔湾模拟）已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；数列的函数特性
【解析】【解答】解：因为数列是单调递增数列，
可知当，时，单调递增，
即或，解得；
当时，单调递增恒成立，
且，即，解得，
所以，若数列是单调递增数列，则.
故答案为：A.
【分析】由数列的单调性可知当时，函数单调递增，当时，函数单调递增，且，从而列出不等式，进而解不等式得出实数a的取值范围.
8．（2024高三上·荔湾模拟）已知函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
令，
∴在上单调递增，
∴，即，
∴，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴当时，函数取得最小值，
即，
∴.
故答案为：B.
【分析】结合题意构造函数，从而得到，再表示出，则借助导数求出函数的最小值，即可得出的最小值.
9．（2024高三上·荔湾模拟）对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩服从正态分布，女生成绩服从正态分布．则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，，；
因为，，.
所以，，，
，，.
对于A，因为，故选项A正确；
对于B，因为，故选项B错误；
对于C，因为，故选项C正确；
对于D，因为，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用正态分布对应的概率密度函数图象的对称性，从而判断出各选项，进而找出正确的选项.
10．（2024高三上·荔湾模拟）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B,C,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，由于，故
所以，
对，则，
所以是的极大值点，故A错误；
对于B，当时，由于，故
，
由，，
可得，故B正确；
对于C，当时，由于，故，
由可知
，
所以，故C正确；
对于D，当时，则，则
，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先证明，再说明是的极大值点，从而判断出选项A；分别利用和两个表达式，即可证出当时，，则判断出选项B；利用作差法比较出当时的和的大小，则判断出选项C；利用作差法比较出当时和的大小，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．（2024高三上·荔湾模拟）在圆锥中，母线，底面圆的半径为r，圆锥的侧面积为，则（ ）
A．当时，圆锥内接圆柱体的体积最大值为
B．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当时，圆锥能在棱长为4的正四面体内任意转动
D．当时，棱长为1的正四面体能在圆锥内任意转动
【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；三角形中的几何计算；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由圆锥的侧面积为，即，
对于A：当时，，，
此时圆锥的轴截面、圆锥内接圆柱体的轴截面如图所示，
设，则由相似三角形性质有，
设
，
令，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递增，
所以，当时，有最大值，且它的最大值为，
所以，故A正确；
对于B：当时，，此时圆锥的轴截面如图所示，
因为，所以为钝角，
令，是圆锥的底面圆周上任意的不同两点，则，
所以，
当且仅当时取等号，故B错误；
对于C：当时，，高，
设圆锥的外接球球心为，圆锥的外接球半径为，
所以，
棱长为4的正四面体可以补成正方体，如图所示，
则正方体的棱长，
所以正四面体的体积为，
所以正四面体的表面积为，
设正四面体的内切球半径为，
则由等体积法可知，
注意到，所以圆锥不能在棱长为4的正四面体内任意转动，故C错误；
对于D：棱长为1的正四面体可以补成正方体，如图所示，
则正方体的棱长，
所以正方体的外接球即正四面体的外接球，
直径为，半径为，
当时，，高，
圆锥的内切球球心在线段上，圆锥的轴截面截内切球的大圆，即圆锥轴截面的内切圆，
设内切圆半径为，由三角形面积得，解得，
所以棱长为1的正四面体能在圆锥内任意转动，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先根据几何体特征算出圆锥内接圆柱体的体积表达式，然后构造函数，再利用导数即可得出当时，圆锥内接圆柱体的体积最大值，则判断出选项A；当时，，求出圆锥的轴截面顶角，进一步即可验算，从而得出当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积，则判断出选项B；分别算出圆锥外接球半径和正四面体内切球半径，从而比较大小，即可判断选项C；分别算出正四面体外接球半径和圆锥内切球半径，从而比较大小，即可判断选项D，进而找出正确的选项.
12．（2024高三上·荔湾模拟）若是夹角为的两个单位向量，则 ．
【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由单位向量的夹角为，得，
所以.
故答案为：.
【分析】根据给定条件和数量积的定义以及数量积的运算法则，从而得出的值.
13．（2024高三上·荔湾模拟）在一次活动上，四位同学将自己准备好的一张贺卡放在纸箱中，随后每人随机从中抽取一张，则四位同学均未取到自己的贺卡的概率为 ．
【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：记四位同学为甲、乙、丙、丁，他们准备的贺卡分别为1、2、3、4，
则四位同学抽到可贺卡情况如下表：
甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丁
1 2 3 4 3 1 2 4
1 2 4 3 3 1 4 2
1 3 2 4 3 2 1 4
1 3 4 2 3 2 4 1
1 4 2 3 3 4 1 2
1 4 3 2 3 4 2 1
2 1 3 4 4 1 2 3
2 1 4 3 4 1 3 2
2 3 1 4 4 2 1 3
2 3 4 1 4 2 3 1
2 4 1 3 4 3 1 2
2 4 3 1 4 3 2 1
总情况有24种，满足条件的有9种，
故四位同学均未取到自己的贺卡的概率为.
故答案为：.
【分析】使用表格列出所有情况，再由古典概型求概率公式，从而可得四位同学均未取到自己的贺卡的概率.
14．（2024高三上·荔湾模拟）如图，某数阵满足：各项均为正数，每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，，则 ， ．
…
…
… … … … …
…
【答案】；
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设每一列等比数列的公比都为，则，，
则由，可得，则，则，
故，由，则，则，
故，即，
故；
则，
则.
故答案为：；.
【分析】设出每一列等比数列的公共公比，再结合等比数列的性质可得，即可得出的值，即可得出的值，从而可得的值，即可得的表达式，则可得的值；由结合等差数列前n项和公式，从而计算出，再结合等比数列前n项和公式，即可得出.
15．（2024高三上·荔湾模拟）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若的面积为，求的周长.
【答案】（1）解：在中，，
由正弦定理得，
又因为，
则，
由，，
则，得，
由，则，得.
（2）解：因为，则，
由，得，
由余弦定理，
得，则，
所以的周长为.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，借助三角形内角和定理和诱导公式以及辅助角公式，从而由三角形中角C的取值范围求得的值，再利用三角形中角A的取值范围，进而得出角的值.
（2）由（1）中的结论得出角A的正弦值，利用三角形面积公式得出bc的值，再根据余弦定理求出的值，则根据三角形的周长公式得出三角形的周长．
（1）中，，
由正弦定理得，
又，
则有，由，，
则，得，
由，则，得.
（2），则，由，得，
由余弦定理，
得，得，
所以的周长为.
16．（2024高三上·荔湾模拟）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，是正三角形，．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：取中点，连接，
因为是正三角形，为中点，
所以，且，
又因为，由余弦定理得，
则，故，
因为平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：如图，连接，则，
所以，故，
如图，过作，以为原点，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，
设平面的一个法向量为，
则，
取，
由图可知二面角的平面角为钝角，
二面角的余弦值为：
，．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，根据等边三角形三线合一，可得，由余弦定理求出的长，再根据勾股定理得出，则结合面面垂直判定定理，即证出平面平面.
（2）连接，利用余弦定理得出BD的长，由勾股定理得出，过作，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面与平面的法向量，再根据数量积求向量夹角公式和二面角的平面角为钝角，从而得出二面角的余弦值．
（1）取中点，连接，
因为是正三角形，为中点，
所以，且，
又，由余弦定理得，
则，故，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）如图，连接，则，
所以，故，
如图，过作，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
设平面的一个法向量为，
则，取，
由图可知二面角的平面角为钝角，
二面角的余弦值为：
，．
17．（2024高三上·荔湾模拟）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
（1）求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；
（3）以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.
【答案】（1）解：由已知，解得，
所以，平均数为 .
（2）解：这名高中学生户外运动的时间分配，
在，两组内的学生分别有人和人，
根据分层抽样可知人中在的人数为人，
在内的人数为人，
所以随机变量的可能取值有，，
所以，，
则随机变量X的分布列为
所以，数学期望.
（3）解：由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为
则，
若为最大值，则，
即，
即，解得，
又因为，且，则.
【知识点】众数、中位数、平均数；概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据频率和为，可得的值，根据频率分布直方图求平均数公式，从而估计出该地区高中学生每周户外运动的平均时间.
（2）利用频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，根据频数等于频率乘以样本容量的公式，分别计算出时间在，的频数，结合分层抽样的方法可得两组分别抽取的人数，再根据超几何分布求概率公式，分别计算出概率，从而得出随机变量X的分布列，由根据分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（3）根据频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，可知运动时间在内的频率，根据二项分布求概率公式，可得，再根据概率的最值列出不等式组，从而解不等式组得出k的取值范围，利用元素与集合的关系，从而得出当最大时的的值..
（1）由已知，解得，
所以平均数为
.
（2）这名高中学生户外运动的时间分配，
在，两组内的学生分别有人，和人；
所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，
所以随机变量的可能取值有，，
所以，，
则分布列为
期望；
（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，
则，
若为最大值，则，
即，
即，解得，
又，且，则.
18．（2024高三上·荔湾模拟）已知函数．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若，求的最大值．
【答案】（1）解：由题意得，则，
令，
显然当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增，
所以，则，
所以，实数a的取值范围为.
（2）解：若，则，
令，则，
若，则，此时在R上单调递增，
当时，，不符合题意；
当，则当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
即，
即，
所以，
令，
易知当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
即，
所以，
当且仅当时，
则，所以的最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数极限
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出实数a的取值范围.
（2）利用分类讨论的方法对参数a进行讨论，结合导数的方法判断出函数的单调性，从而得出，再构造函数，则利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出的最大值.
（1）由题意得，则，
令，
显然时，，即此时单调递减，
时，，即此时单调递增，
所以，则，
实数a的取值范围为；
（2）若，则，
令，则，
若，则，此时在R上单调递增，
当时，，不符合题意；
当，则时，，此时单调递增，
时，，此时单调递减，
即，
即，
所以，
令，
易知当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
即，
所以，
当且仅当时，，
所以的最大值为.
19．（2024高三上·荔湾模拟）已知双曲线的虚轴长为，离心率为．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）为了求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，可得；因为，可得；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，故得．若方程E的正整数解为，且初始解为．
（i）证明：；
（ii）的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．
【答案】（1）解：由题知，
解得，
所以，双曲线E的标准方程为.
（2）证明（i）由（1）知双曲线E的方程为，
由题知，方程的初始解为，
根据循环构造原理可得：，
所以
因为
，
，
所以.
（ii）记，，
则
，
记，则
.
【知识点】数列的递推公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件和双曲线的虚轴长的定义、双曲线的离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而列出关于的方程组，进而解方程组得出的值，则得出双曲线E的标准方程.
（2）（i）根据循环构造原理求出，再据此化简证出.
（ii）记，再根据三角形的面积公式和数量积的定义，从而化简得出三角形的面积是定值，并求出该定值.
（1）由题知，，解得，
所以双曲线E的标准方程为.
（2）（i）由（1）知双曲线E的方程为，
由题知，方程的初始解为，
根据循环构造原理可得：，
所以，
因为
，
，
所以.
（ii）记，，
则
，
记，
则
.
1 / 1广东省广州市荔湾区2024-2025学年高三上学期调研测试数学试题
1．（2024高三上·荔湾模拟）已知全集，则（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024高三上·荔湾模拟）已知复数（其中为虚数单位），则（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·荔湾模拟）元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，这根竹子的装米量为（ ）
A．升 B．升 C．升 D．升
4．（2024高三上·荔湾模拟）已知，则（ ）
A． B． C． D．
5．（2024高三上·荔湾模拟）已知函数和是相邻的两个零点，则（ ）
A．
B．在区间上单调递减
C．
D．直线是曲线的切线
6．（2024高三上·荔湾模拟）已知椭圆与抛物线，椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，抛物线的准线经过椭圆的左焦点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·荔湾模拟）已知函数，数列满足，且数列是单调递增数列，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·荔湾模拟）已知函数，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·荔湾模拟）对某地区数学考试成绩的数据分析，男生成绩服从正态分布，女生成绩服从正态分布．则（ ）
A． B．
C． D．
10．（2024高三上·荔湾模拟）设函数，则（ ）
A．是的极小值点 B．当时，
C．当时， D．当时，
11．（2024高三上·荔湾模拟）在圆锥中，母线，底面圆的半径为r，圆锥的侧面积为，则（ ）
A．当时，圆锥内接圆柱体的体积最大值为
B．当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积为
C．当时，圆锥能在棱长为4的正四面体内任意转动
D．当时，棱长为1的正四面体能在圆锥内任意转动
12．（2024高三上·荔湾模拟）若是夹角为的两个单位向量，则 ．
13．（2024高三上·荔湾模拟）在一次活动上，四位同学将自己准备好的一张贺卡放在纸箱中，随后每人随机从中抽取一张，则四位同学均未取到自己的贺卡的概率为 ．
14．（2024高三上·荔湾模拟）如图，某数阵满足：各项均为正数，每一行从左到右成等差数列，每一列从上到下成公比相同的等比数列，，则 ， ．
…
…
… … … … …
…
15．（2024高三上·荔湾模拟）已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且．
（1）求A；
（2）若的面积为，求的周长.
16．（2024高三上·荔湾模拟）如图，四棱锥中，底面是平行四边形，是正三角形，．
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
17．（2024高三上·荔湾模拟）在某地区进行高中学生每周户外运动调查，随机调查了名高中学生户外运动的时间（单位：小时），得到如下样本数据的频率分布直方图.
（1）求的值，估计该地区高中学生每周户外运动的平均时间；（同一组数据用该区间的中点值作代表）
（2）为进一步了解这名高中学生户外运动的时间分配，在，两组内的学生中，采用分层抽样的方法抽取了人，现从这人中随机抽取人进行访谈，记在内的人数为，求的分布列和期望；
（3）以频率估计概率，从该地区的高中学生中随机抽取名学生，用“”表示这名学生中恰有名学生户外运动时间在内的概率，当最大时，求的值.
18．（2024高三上·荔湾模拟）已知函数．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若，求的最大值．
19．（2024高三上·荔湾模拟）已知双曲线的虚轴长为，离心率为．
（1）求双曲线E的标准方程；
（2）为了求二元二次方程的正整数解，可先找到初始解，其中为所有解中的最小值，因为，可得；因为，可得；重复上述过程，因为与的展开式中，不含的部分相等，含的部分互为相反数，故可设，故得．若方程E的正整数解为，且初始解为．
（i）证明：；
（ii）的面积是否为定值？若是，求出该定值，若不是，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算
【解析】【解答】解：全集，
，集合中没有，
若，则，则，与条件矛盾，故，
同理可得，
则.
故答案为：D.
【分析】根据和以及元素与集合的关系，从而求出集合.
2．【答案】C
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：因为，
故.
故答案为：C.
【分析】利用复数的除法运算法则得出复数z，再结合复数求模公式，从而得出复数z的模.
3．【答案】B
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和；等差数列的性质
【解析】【解答】解：依题意，竹子自下而上的各节装米量构成等差数列，
则，，
所以这根竹子的装米量为（升）.
故答案为：B.
【分析】根据给定条件和等差数列的定义，从而判断出竹子自下而上的各节装米量构成等差数列，再利用等差数列的性质和等差数列前n项和公式，进而得出这根竹子的装米量.
4．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数基本关系的运用
【解析】【解答】解：将平方得，，①
将平方得，，②
①＋②得，
所以，
即.
故答案为：D.
【分析】将已知两式平方相加，即可求出，再由差角的正弦公式，从而得出的值.
5．【答案】D
【知识点】函数解析式的求解及常用方法；利用导数研究曲线上某点切线方程；含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的单调性
【解析】【解答】解：由题意可知，所以，
又因为，，所以，故A错误；
所以，
当时，，由正弦函数的单调性知，
则在上单调递增，故B错误；
由，，
所以，故C错误；
设切点为，因为，
所以，
解得或，，
即或，，
当时，切点为，
所以，切线方程为，即，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据题意结合正弦型函数的最小正周期公式，从而得出的值，结合五点对应法和的取值范围，从而得出的值，则判断出选项A；利用换元法和正弦函数的单调性，从而判断出正弦型函数在区间上单调性，则判断出选项B；利用函数的解析式和代入法，则判断出选项C；利用导数的几何意义得出切线的斜率，再由点斜式得出曲线的切线方程，则判断出选项D，从而找出正确的选项.
6．【答案】A
【知识点】椭圆的简单性质；抛物线的简单性质
【解析】【解答】解：根据题意知，抛物线的准线经过椭圆的左焦点可得，
椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，所以，
由，，化简整理可得，
解之得或(舍)，
可得.
故答案为：A.
【分析】根据抛物线的准线经过椭圆E的左焦点，可求出，由椭圆与抛物线交点的连线经过椭圆的右焦点，可知，再结合椭圆中a，b，c三者的关系式和椭圆的离心率公式，从而化简可得关于方程，进而解方程得出椭圆E的离心率的值.
7．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；数列的函数特性
【解析】【解答】解：因为数列是单调递增数列，
可知当，时，单调递增，
即或，解得；
当时，单调递增恒成立，
且，即，解得，
所以，若数列是单调递增数列，则.
故答案为：A.
【分析】由数列的单调性可知当时，函数单调递增，当时，函数单调递增，且，从而列出不等式，进而解不等式得出实数a的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
令，
∴在上单调递增，
∴，即，
∴，
令，则，
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
∴当时，函数取得最小值，
即，
∴.
故答案为：B.
【分析】结合题意构造函数，从而得到，再表示出，则借助导数求出函数的最小值，即可得出的最小值.
9．【答案】A,C,D
【知识点】正态密度曲线的特点
【解析】【解答】解：因为，，；
因为，，.
所以，，，
，，.
对于A，因为，故选项A正确；
对于B，因为，故选项B错误；
对于C，因为，故选项C正确；
对于D，因为，故选项D正确.
故答案为：ACD.
【分析】利用正态分布对应的概率密度函数图象的对称性，从而判断出各选项，进而找出正确的选项.
10．【答案】B,C,D
【知识点】函数在某点取得极值的条件；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：对于A，由于，故
所以，
对，则，
所以是的极大值点，故A错误；
对于B，当时，由于，故
，
由，，
可得，故B正确；
对于C，当时，由于，故，
由可知
，
所以，故C正确；
对于D，当时，则，则
，
所以，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】先证明，再说明是的极大值点，从而判断出选项A；分别利用和两个表达式，即可证出当时，，则判断出选项B；利用作差法比较出当时的和的大小，则判断出选项C；利用作差法比较出当时和的大小，则判断出选项D，进而找出正确的选项.
11．【答案】A,D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；三角形中的几何计算；圆柱/圆锥/圆台的表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：由圆锥的侧面积为，即，
对于A：当时，，，
此时圆锥的轴截面、圆锥内接圆柱体的轴截面如图所示，
设，则由相似三角形性质有，
设
，
令，
当时，，所以在上单调递增；
当时，，所以在上单调递增，
所以，当时，有最大值，且它的最大值为，
所以，故A正确；
对于B：当时，，此时圆锥的轴截面如图所示，
因为，所以为钝角，
令，是圆锥的底面圆周上任意的不同两点，则，
所以，
当且仅当时取等号，故B错误；
对于C：当时，，高，
设圆锥的外接球球心为，圆锥的外接球半径为，
所以，
棱长为4的正四面体可以补成正方体，如图所示，
则正方体的棱长，
所以正四面体的体积为，
所以正四面体的表面积为，
设正四面体的内切球半径为，
则由等体积法可知，
注意到，所以圆锥不能在棱长为4的正四面体内任意转动，故C错误；
对于D：棱长为1的正四面体可以补成正方体，如图所示，
则正方体的棱长，
所以正方体的外接球即正四面体的外接球，
直径为，半径为，
当时，，高，
圆锥的内切球球心在线段上，圆锥的轴截面截内切球的大圆，即圆锥轴截面的内切圆，
设内切圆半径为，由三角形面积得，解得，
所以棱长为1的正四面体能在圆锥内任意转动，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】先根据几何体特征算出圆锥内接圆柱体的体积表达式，然后构造函数，再利用导数即可得出当时，圆锥内接圆柱体的体积最大值，则判断出选项A；当时，，求出圆锥的轴截面顶角，进一步即可验算，从而得出当时，过顶点S和两母线的截面三角形的最大面积，则判断出选项B；分别算出圆锥外接球半径和正四面体内切球半径，从而比较大小，即可判断选项C；分别算出正四面体外接球半径和圆锥内切球半径，从而比较大小，即可判断选项D，进而找出正确的选项.
12．【答案】
【知识点】平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解：由单位向量的夹角为，得，
所以.
故答案为：.
【分析】根据给定条件和数量积的定义以及数量积的运算法则，从而得出的值.
13．【答案】
【知识点】古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：记四位同学为甲、乙、丙、丁，他们准备的贺卡分别为1、2、3、4，
则四位同学抽到可贺卡情况如下表：
甲 乙 丙 丁 甲 乙 丙 丁
1 2 3 4 3 1 2 4
1 2 4 3 3 1 4 2
1 3 2 4 3 2 1 4
1 3 4 2 3 2 4 1
1 4 2 3 3 4 1 2
1 4 3 2 3 4 2 1
2 1 3 4 4 1 2 3
2 1 4 3 4 1 3 2
2 3 1 4 4 2 1 3
2 3 4 1 4 2 3 1
2 4 1 3 4 3 1 2
2 4 3 1 4 3 2 1
总情况有24种，满足条件的有9种，
故四位同学均未取到自己的贺卡的概率为.
故答案为：.
【分析】使用表格列出所有情况，再由古典概型求概率公式，从而可得四位同学均未取到自己的贺卡的概率.
14．【答案】；
【知识点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设每一列等比数列的公比都为，则，，
则由，可得，则，则，
故，由，则，则，
故，即，
故；
则，
则.
故答案为：；.
【分析】设出每一列等比数列的公共公比，再结合等比数列的性质可得，即可得出的值，即可得出的值，从而可得的值，即可得的表达式，则可得的值；由结合等差数列前n项和公式，从而计算出，再结合等比数列前n项和公式，即可得出.
15．【答案】（1）解：在中，，
由正弦定理得，
又因为，
则，
由，，
则，得，
由，则，得.
（2）解：因为，则，
由，得，
由余弦定理，
得，则，
所以的周长为.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用正弦定理边化角，借助三角形内角和定理和诱导公式以及辅助角公式，从而由三角形中角C的取值范围求得的值，再利用三角形中角A的取值范围，进而得出角的值.
（2）由（1）中的结论得出角A的正弦值，利用三角形面积公式得出bc的值，再根据余弦定理求出的值，则根据三角形的周长公式得出三角形的周长．
（1）中，，
由正弦定理得，
又，
则有，由，，
则，得，
由，则，得.
（2），则，由，得，
由余弦定理，
得，得，
所以的周长为.
16．【答案】（1）证明：取中点，连接，
因为是正三角形，为中点，
所以，且，
又因为，由余弦定理得，
则，故，
因为平面，
所以平面，又因为平面，
所以平面平面.
（2）解：如图，连接，则，
所以，故，
如图，过作，以为原点，所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，
取，
设平面的一个法向量为，
则，
取，
由图可知二面角的平面角为钝角，
二面角的余弦值为：
，．
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）取中点，连接，根据等边三角形三线合一，可得，由余弦定理求出的长，再根据勾股定理得出，则结合面面垂直判定定理，即证出平面平面.
（2）连接，利用余弦定理得出BD的长，由勾股定理得出，过作，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，求得平面与平面的法向量，再根据数量积求向量夹角公式和二面角的平面角为钝角，从而得出二面角的余弦值．
（1）取中点，连接，
因为是正三角形，为中点，
所以，且，
又，由余弦定理得，
则，故，
因为平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
（2）如图，连接，则，
所以，故，
如图，过作，以为原点，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，
，，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
设平面的一个法向量为，
则，取，
由图可知二面角的平面角为钝角，
二面角的余弦值为：
，．
17．【答案】（1）解：由已知，解得，
所以，平均数为 .
（2）解：这名高中学生户外运动的时间分配，
在，两组内的学生分别有人和人，
根据分层抽样可知人中在的人数为人，
在内的人数为人，
所以随机变量的可能取值有，，
所以，，
则随机变量X的分布列为
所以，数学期望.
（3）解：由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为
则，
若为最大值，则，
即，
即，解得，
又因为，且，则.
【知识点】众数、中位数、平均数；概率的基本性质；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据频率和为，可得的值，根据频率分布直方图求平均数公式，从而估计出该地区高中学生每周户外运动的平均时间.
（2）利用频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，根据频数等于频率乘以样本容量的公式，分别计算出时间在，的频数，结合分层抽样的方法可得两组分别抽取的人数，再根据超几何分布求概率公式，分别计算出概率，从而得出随机变量X的分布列，由根据分布列求数学期望公式，从而得出随机变量X的数学期望.
（3）根据频率分布直方图各小组的矩形的面积等于各小组的频率，可知运动时间在内的频率，根据二项分布求概率公式，可得，再根据概率的最值列出不等式组，从而解不等式组得出k的取值范围，利用元素与集合的关系，从而得出当最大时的的值..
（1）由已知，解得，
所以平均数为
.
（2）这名高中学生户外运动的时间分配，
在，两组内的学生分别有人，和人；
所以根据分层抽样可知人中在的人数为人，在内的人数为人，
所以随机变量的可能取值有，，
所以，，
则分布列为
期望；
（3）由频率分布直方图可知运动时间在内的频率为，
则，
若为最大值，则，
即，
即，解得，
又，且，则.
18．【答案】（1）解：由题意得，则，
令，
显然当时，，即单调递减；
当时，，即单调递增，
所以，则，
所以，实数a的取值范围为.
（2）解：若，则，
令，则，
若，则，此时在R上单调递增，
当时，，不符合题意；
当，则当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
即，
即，
所以，
令，
易知当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
即，
所以，
当且仅当时，
则，所以的最大值为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；函数极限
【解析】【分析】（1）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出实数a的取值范围.
（2）利用分类讨论的方法对参数a进行讨论，结合导数的方法判断出函数的单调性，从而得出，再构造函数，则利用导数判断函数的单调性，从而得出函数的最值，进而得出的最大值.
（1）由题意得，则，
令，
显然时，，即此时单调递减，
时，，即此时单调递增，
所以，则，
实数a的取值范围为；
（2）若，则，
令，则，
若，则，此时在R上单调递增，
当时，，不符合题意；
当，则时，，此时单调递增，
时，，此时单调递减，
即，
即，
所以，
令，
易知当时，，此时单调递增，
当时，，此时单调递减，
即，
所以，
当且仅当时，，
所以的最大值为.
19．【答案】（1）解：由题知，
解得，
所以，双曲线E的标准方程为.
（2）证明（i）由（1）知双曲线E的方程为，
由题知，方程的初始解为，
根据循环构造原理可得：，
所以
因为
，
，
所以.
（ii）记，，
则
，
记，则
.
【知识点】数列的递推公式；双曲线的标准方程；双曲线的简单性质；双曲线的应用
【解析】【分析】（1）根据已知条件和双曲线的虚轴长的定义、双曲线的离心率公式和双曲线中a，b，c三者的关系式，从而列出关于的方程组，进而解方程组得出的值，则得出双曲线E的标准方程.
（2）（i）根据循环构造原理求出，再据此化简证出.
（ii）记，再根据三角形的面积公式和数量积的定义，从而化简得出三角形的面积是定值，并求出该定值.
（1）由题知，，解得，
所以双曲线E的标准方程为.
（2）（i）由（1）知双曲线E的方程为，
由题知，方程的初始解为，
根据循环构造原理可得：，
所以，
因为
，
，
所以.
（ii）记，，
则
，
记，
则
.
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