(共8张PPT)
综合与实践 探究四边形综合问题
在探究四边形综合问题的过程中，让学生理解数学，应用数学，形成和发展学生的推理能力，理解逻辑推理在形成数学概念、法则、定理和解决问题中的重要性.
综合与实践 探究四边形综合问题
1. 如图 1，在△ABC 中，D，E 分别为 AB，AC 的中点，连接 DE.
操作 1 将△ADE 绕点 E 按顺时针方向旋转180°到△CFE 的位置．
操作 2 延长 DE 到点 F，使 EF=DE，连接 CF．试探究 DE 与 BC 有怎样的位置关系和数量关系？
（1）请结合操作 1 或操作 2 的方法所得出的结论，我们可以得到三角形中位线定理：____________________________________________；
三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半
综合与实践 探究四边形综合问题
结论应用
（2）如图 2，四边形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，四条边上的中点分别为 E，F，G，H，依次连接 EF，FG，GH，HE，得到四边形 EFGH．
综合与实践 探究四边形综合问题
①求证：四边形 EFGH 为平行四边形；
②当 AC 与 BD 满足 ______ 时，四边形 EFGH是矩形，当 AC 与 BD 满足 ______ 时，四边形EFGH 是菱形．
③若 AC=16，BD=20，∠AOB=60°，求四边形EFGH 的面积；
AC⊥BD
AC=BD
综合与实践 探究四边形综合问题
问题解决
（3）如图 3 所示，在一个四边形 ABCD 的草坪上修一条小路，其中点 P 和点 Q 分别为边 AB和边 CD 的中点，且∠A+∠ABC=90°，BC=6，AD=8，求小路 PQ 的长度．
综合与实践 探究四边形综合问题
（2）①证明：∵E，H 分别是 AB，AD的中点，∴EH∥BD，EH= BD，同理FG∥BD，FG= BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴ 四边形 EFGH 是平行四边形；
②AC⊥BD AC=BD
③如图 1，设 AC，EH 交于点 R，BD，EF 交于点 T，作 FQ⊥EH 于点 Q，
∵E，F，G，H 分别为 AB，BC，CD，AD的中点 ，∴EH =FG= BD=10，EF =GH= AC=8，EH∥FG∥BD，EF∥GH∥AC，∴ 四边形 ETOR 是平行四边形，四边形 EFGH 是平行四边形，
综合与实践 探究四边形综合问题
∴ ∠FEQ = ∠AOB =60° ，∴FQ =EF·sin∠FEQ=8·sin60°=4 ，
∴S 四边形 EFGH =EH·FQ=10 ×4 =40 ；
综合与实践 探究四边形综合问题
（3）如图2，连接 BD，取 BD 的中点为 G，连接 PG，QG，
∵ 点 P，Q 分别为 AB，CD 的中点 ，AD=8，BC=6，
∴PG= AD=4，GQ= BC=3，PG∥AD，QG∥BC，
∴∠QGD=∠CBD，∠GPB=∠A，
∵∠PGD=∠GPB+∠GBP，∴∠PGD+∠QGD = ∠CBD + ∠GPB + ∠GBP =
∠A+∠ABC=90°，
即∠QGP=90°，∴PQ= =5．(共22张PPT)
第一节 多 边 形
■考点一 多 边 形（常考）
平面上，由不在同一条直线上的线段首尾顺次相接组成的图形，叫做多边形.
多
边
形
定义
性
质
内角和定理：n 边形的内角和为①________________，如五边形的内角和为②_____.
外角和定理：n 边形的外角和为③_______，如五边形的外角和为④_____.
对角线：从 n 边形的一个顶点出发可以引出⑤______ 条对角线，故 n 边形共有⑥_____条对角线，如n边形共有⑦_____ 条对角线.如六边形共有 =9（条）对角线.
180°（n-2）
540°
360°
360°
（n-3）
9
第一节 多 边 形
1. 多边形的内角和随着边数的增加而增加，而外角和是
定值（360°），不会随边数的变化而变化.
2. n 边形的内角中最多有 3 个锐角.
失分警示
第一节 多 边 形
■考点二 正多边形的定义及性质（常考）
正
多
边
形
定义：各个角相等，各条边相等的多边形叫做正多边形.
1. 正多边形的各边⑧_____，各角⑨_____.
2. 正 n（n≥3）边形的每一个内角为⑩________，每一个
外角都是 ______.
3. 对于正 n 边形，当 n 为奇数时，是轴对称图形，不是中心对称图形；当 n 为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形.正 n（n≥3）边形有 _____ 条对称轴.
4.正 n 边形有一个外接圆，有一个内切圆，它们是同心圆.
性质
相等
相等
n
第一节 多 边 形
每条边都相等的多边形不一定是正多边形，因为它的内角不一定都相等，如菱形；每个内角都相等的多边形也不一定是正多边形，因为它的边不一定相等，如矩形.
失分警示
第一节 多 边 形
正
多
边
形
1. 设正多边形的边长为 a，则边心距
2. 正 n 边形的周长 l=na.
3. 正 n 边形的面积 S= nar= lr.
4. 中心角 θ=
正多边形和圆
的关系（如图）
第一节 多 边 形
正多边形的有关计算常用方法是直接利用或构造出由半径R、边长的一半 、边心距 r 组成的直角三角形，然后再利用勾股定理 R2= +r2 求解.
满分备考
第一节 多 边 形
正
多
边
形
平面镶嵌：用一种或几种形状、大小不同的平面图形进行拼接，彼此之间既无空隙、也不重叠地铺成一片，就叫做平面图形的镶嵌，也叫做平面图形的密铺.
若多种正多边形能够进行密铺，则同一顶点处所有角的和为 360°.要使正多边形能进行平面镶嵌，只需使 的结果为整数即可，即 的结果为整数.
满分备考
第一节 多 边 形
一题串考点
已知一个多边形的边数为 n（n＞3）.
（1）若这个多边形的内角和为 1 260°，则 n=_____，从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有 _______ 条；
（2）剪去多边形的一个角后，所得的多边形的内角和是 1 080°，则原多边形的边数为 _______；
（3）若这个多边形是正多边形，它的每个外角都是 20°，则 n=______，对称轴有 ______ 条；
（4）已知这个多边形的内角和是外角和的 3 倍，则 n=______；
9
6
7 或 8 或 9
18
18
8
第一节 多 边 形
（5）若 n=5，如图 1，点 F 在正五边形 ABCDE 的内部，△ABF 为等边三角形，则∠AFC=______°；
（6）若 n=6，⊙O 是正多边形的外接圆，如图 2.
①四边形 OBCD 的形状为 _______；
126
菱形
第一节 多 边 形
②若⊙O 的半径为 2 ，则正六边形 ABCDEF 的边长为______，点 O 到 BC 的距离为 ______，正六边形 ABCDEF的周长为 _______，面积为 _______；
（7）若 n=3，将此正 n 边形与正 m（m≤12）边形在平面内镶嵌（正 n 边形与正 m 边形的边长相等，m≠n），则 m=________________.
2
12
4，6 或 12
■题型一 多边形内角与外角的相关计算（常考）
题型解法
1. 一个多边形（除三角形外）截去一个角后，按不同的截法可得到边数不同的三种多边形，即边数增加 1，边数不变，边数减少 1.以五边形为例，如图.
第一节 多 边 形
2. 已知 n 边形的内角和或内角和与外角和的关系，常利用内角和公式列方程求边数 n.
第一节 多 边 形
例 1 ［2022·河北 5 题］如下图，将三角形纸片剪掉一角得四边形，设△ABC 与四边形 BCDE 的外角和的度数分别为α，β，则正确的是 （ ）
A． α-β=0 B． α-β＜0
C． α-β＞0 D． 无法比较 α 与 β 的大小
第一节 多 边 形
A
衍生一 变图形———普通三角形变为直角三角形
如图，三角形纸片 ABC 中，若∠C=90°，按如图所示方式剪去它的一个角，在剩下的四边形 ADEB 中，若∠1=145°，则∠2的度数为 （ ）
A． 125° B． 145° C． 110° D． 130°
第一节 多 边 形
A
衍生二 变条件———外角和变为内角和
如图，过例 1 中剪下来的四边形 BCDE 中的点 E 再剪一刀，将该四边形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为 α 和 β，则 α+β 的度数是 （ ）
A． 360° B． 540° C． 720° D． 900°
第一节 多 边 形
B
衍生三 变考法———从特殊到一般
把三角形纸片裁剪成 n 边形，已知 n 边形的内角和 θ=（n-2）×180°．
（1）甲同学说，θ 能取 360°；而乙同学说，θ 也能取 630°．甲、乙的说法对吗？ 若对，求出边数 n.若不对，说明理由；
（2）若 n 边形变为（n+x）边形，发现内角和增加了 540°，用列方程的方法确定 x.
第一节 多 边 形
第一节 多 边 形
解：（1）∵360°÷180°=2，630°÷180°=3……90°，
∴ 甲的说法对，乙的说法不对，360°÷180°+2=2+2=4．
答：甲同学说的边数 n 是 4；
（2）依题意有（n +x -2）×180° -（n -2）×180°=540°，解得 x=3．
■题型二 正多边形的相关计算（常考）
题型解法
由正多边形的一个外角求其边数的方法：
方法一：
方法二：
第一节 多 边 形
例 2 ［2024·河北 11 题］直线 l 与正六边形 ABCDEF 的边 AB，EF分别相交于点 M，N，如下图所示，则 α+β= （ ）
A． 115° B． 120° C． 135° D． 144°
第一节 多 边 形
B
拓题一 平移直线 l 过顶点 E，得到直线 m（如图），则∠γ-∠α的值为 （ ）
A． 60° B． 80° C． 108° D． 120°
第一节 多 边 形
A
拓题二 如下图，已知正六边形 ABCDEF 边长为 6 ，连接 BE，CF 相交于点 O，若点 M，N 分别为 OB，OF 的中点，则 MN 的长为 （ ）
A． 6 B． 6 C． 8 D． 9
第一节 多 边 形
D
拓题三 如图，若点 O 是正六边形 ABCDEF 对角线 DF 上的一点，且 S△AOC=4，则正六边形 ABCDEF的面积为 （ ）
A． 10 B． 12 C． 24 D． 随着点 O 的变化而变化
第一节 多 边 形
B(共49张PPT)
第三节 矩形、菱形、正方形
■考点一 矩形、菱形和正方形的性质（常考）
性
质
图形 边 角 对角线 对称性 周长和面积
矩形 对边平行且相等. 四个角都是① ______. 对角线互相平分且②____. 既是轴对称图 形又是中心对 称图形， 过每一组对边③_____ 的直线都是矩形的对称轴，④_____条对称轴. C=2（a+b），
S=ab.
直角
相等
中点
两
第三节 矩形、菱形、正方形
性
质
图形 边 角 对角线 对称性 周长和面积
菱形 对边平行，四条边都⑤_____. 对角相等. 对角线 互相⑥ ________，且每条对角线平分一组对角. 既是轴对称图 形又是中心对 称图形，对称中心为对 角线的交点. 对角线所在的直线是菱形的对称轴，有⑦_____ 条对称轴. C=4a，
S=ah=
mn.
相等
垂直平分
两
第三节 矩形、菱形、正方形
性
质
图形 边 角 对角线 对称性 周长和面积
正方形 对边平行，四条边都 ⑧______. 四个角都是⑨____ ____. 对角线互相垂 直平分且⑩__ _____，且每条 对角线平分一 组对角. 既是轴对称图 形又是中心对 称图形，对称中心为对 角线的交点. 对角线所在直线以及每一组对边中点所在直线是正方形的对称轴，有 _____条对称轴. C=4a，
S=a2
= m2.
相等
直角
相等
四
第三节 矩形、菱形、正方形
菱形的一条对角线将菱形分成两个全等的等腰三角形，菱形的两条对角线将菱形分成四个全等的小直角三角形；可利用菱形面积的两种计算方法计算相关线段的长度.
满分备考
第三节 矩形、菱形、正方形
一题串考点
如图，在四边形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，AB=3.
（1）当四边形 ABCD 是矩形时，
①若∠ADB=32°，则∠AOB=____°；②若∠AOB=60°，则 BD=_____；
③若 BC=4，则 BD=______；
64
6
5
第三节 矩形、菱形、正方形
（2）当四边形 ABCD 是菱形时，
①若∠ABC=60°，则∠ADO=______°，BO=______，S 菱形 ABCD=______；
②若点 E 是 CD 的中点，则 OE=_____；
（3）当四边形 ABCD 是正方形时，则 AC=______.
30
第三节 矩形、菱形、正方形
■考点二 矩形、菱形和正方形的判定（常考）
判
定
矩形 菱形 正方形
判定 方法 有一个角是 _________ 角的平行四边形是矩形（定义）. 有一组邻边 ______ 的平行四边形是菱形（定义）. 有一组 ___ 边相等且有一个角是 ____角的平行四边形叫做正方形（定义）.
有一个角是 ____ 角的菱形是正方形.
直
相等
邻
直
直
第三节 矩形、菱形、正方形
判
定
矩形 菱形 正方形
判定 方法 有三个角是 _____ 角的 四边形是矩形. 四条边都 _____ 的四边形是菱形. 有一组 ____ 边相等的矩形是正方形.
对角线 ______ 的菱形是正方形.
对角线 _____ 的平行四 边形是矩形. 对角线 ______ 的平 行四边形是菱形. 对角线 _________ 的矩形是正方形.
对角线互相 ____________ 的四边形是正方形.
直
相等
相等
互相垂直
邻
相等
互相垂直
垂直平分且相等
第三节 矩形、菱形、正方形
使用矩形的判定定理时，首先要明确判定的前提是四边形还是平行四边形，然后再选择合适的判定定理.此外，注意对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.
失分警示
如图，平行四边形中作菱形的 5 种方法：
满分备考
第三节 矩形、菱形、正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
从边、角的角度看
第三节 矩形、菱形、正方形
平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系
从对角线的角度看
第三节 矩形、菱形、正方形
中点四边形
（拓展）
定义：依次连接任意一个四边形各边的中点所得的四边形叫做中点四边形.
常见结论
特殊四边形中，连接各边中点得到的新图形，面积等于原图形面积的一半.
满分备考
第三节 矩形、菱形、正方形
一题串考点
如图，点 P 在四边形 ABCD 外部，且 BP∥OC，BP=OC.
（1）四边形 COBP 的形状为 _______ 形；
（2）若四边形 ABCD 是矩形，则四边形 COBP 的形状为 _______ 形；
（3）若四边形 ABCD 是菱形，则四边形 COBP 的形状为 _______ 形；
（4）若四边形 ABCD 是正方形，则四边形 COBP 的形状为 _______ 形.
平行四边
菱
矩
正方
■题型一 矩形的性质与判定（常考）
题型解法
1. 利用矩形的性质进行计算：
第三节 矩形、菱形、正方形
矩形中的常用关系 图示
续表
第三节 矩形、菱形、正方形
等腰三 角形 如图1， △AOB，△COD， △AOD，△BOC（△AOB≌△COD，△AOD≌△COB） 转化等边、等角
直角三 角形 如图1， △ABC，△BCD， △ADC， △ABD（4 个直角三角形全等） 利用勾股定理、三角函数求线段长
相似三 角形 如图 2，△AEF∽△CBF 利用相似的性质求线段长
2. 判定矩形的常见思路：
第三节 矩形、菱形、正方形
例 1 ［2024·河北 12 题］在平面直角坐标系中，我们把一个点的纵坐标与横坐标的比值称为该点的“特征值”.如图，矩形 ABCD 位于第一象限，其四条边分别与坐标轴平行，则该矩形四个顶点中“特征值”最小的是 （ ）
A． 点 A
B． 点 B
C． 点 C
D． 点 D
第三节 矩形、菱形、正方形
B
练习一 ［2024·石家庄一模］依据所标数据，下列四边形不一定为矩形的是 （ ）
第三节 矩形、菱形、正方形
A
练习二 ［2024·唐山丰润区一模］如图，直线 a∥b，线段AB 和矩形 CDEF 在直线 a，b 之间，点 A，E 分别在a，b 上，点 B，C，F 在同一直线上.若∠α=80°，∠β=55°，则∠ABC= （ ）
A． 130°
B． 135°
C． 140°
D． 150°
第三节 矩形、菱形、正方形
B
练习三 如图，矩形 ABCD 中，AB=4，AD=3，M 是边 CD 上一点，将△ADM 沿直线 AM 对折，得到△ANM．
（1）当 AN 平分∠MAB 时，求 DM 的长；
（2）连接 BN，当 DM=1 时，求△ABN 的面积；
（3）当射线 BN 交线段 CD 于点 F 时，求 DF 的最大值．
第三节 矩形、菱形、正方形
第三节 矩形、菱形、正方形
解：（1）由折叠性质得△ANM≌△ADM，∴∠MAN=∠DAM，
∵AN 平分∠MAB，∠MAN=∠NAB，
∴∠DAM=∠MAN=∠NAB，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠DAB=90°，∴∠DAM=30°，
∴DM =AD·tan∠DAM=3×tan30°=3× = ；
第三节 矩形、菱形、正方形
（2）如图 1，延长 MN 交 AB 延长线于点 Q，∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴AB∥DC，∴∠DMA=∠MAQ，
由折叠性质得△ANM≌△ADM，
∴∠DMA=∠AMQ，AN=AD=3，MN=MD=1，
∴∠MAQ=∠AMQ，∴MQ=AQ，
设 NQ=x，则 AQ=MQ=1+x，∵∠ANM=90°，∴∠ANQ=90°，
在 Rt△ANQ 中，由勾股定理得 AQ2=AN2+NQ2，∴（x+1）2=32+x2，解得 x=4，∴NQ=4，AQ=5，∵AB=4，AQ=5，∴S△NAB= S△NAQ= × ·AN·NQ= × ×3×4= ；
第三节 矩形、菱形、正方形
（3）如图2，过点A作AH⊥BF于点H，
∵ 四边形 ABCD 是矩形，∴AB∥DC，∴∠HBA=∠BFC，
∵∠AHB=∠BCF=90°，∴△ABH∽△BFC，∴ = ，
∵AH≤AN=3，AB=4，∴ 可以看到点N 是在以 A 为圆心 3 为半径的圆上运动，∴ 当 BN 与圆相切时，DF 最大，此时 B，N，M 三点共线，如图 3 所示.由折叠性质得 AD=AH，∵AD=BC，∴AH=BC，
∵ = ，∴CF=BH，由勾股定理得 BH= = = ，∴CF= ，∴DF 的最大值=DC-CF=4- ．
第三节 矩形、菱形、正方形
■题型二 菱形的性质与判定（常考）
题型解法
1. 利用菱形的性质进行计算：
第三节 矩形、菱形、正方形
常见题型 常用知识点
求角度 等腰三角形的性质和平行线的性质.
求长度（线段或周长） 等腰三角形的性质、勾股定理、直角三角形斜边中线性质.
求面积 S=底×高=对角线之积的一半.
2. 判定菱形的常见思路：
第三节 矩形、菱形、正方形
例 2 ［2024·邢台三模］如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC=4，BD=6，则 tan∠1= （ ）
第三节 矩形、菱形、正方形
A
衍生一 变条件
如图，在菱形 ABCD 中，AB=4，∠ABC=60°，则菱形的面积为（ ）
第三节 矩形、菱形、正方形
D
衍生二 如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，以点 O 为原点建立平面直角坐标系，A，B 两点的坐标分别是（0， ），（-3，0），点 C，D 在坐标轴上，则菱形 ABCD 的周长等于 （ ）
第三节 矩形、菱形、正方形
A
衍生三 变考法
如图 1，在菱形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，要在对角线 BD 上找两点 M，N，使得四边形 AMCN 是菱形，现有图 2 中的甲、乙两种方案，则正确的方案是 （ ）
A． 只有甲 B． 只有乙 C． 甲和乙 D． 甲、乙都不是
第三节 矩形、菱形、正方形
C
■题型三 正方形的性质与判定（常考）
题型解法
1. 利用正方形的性质进行计算：
第三节 矩形、菱形、正方形
正方形中的等量关系 图示
续表
第三节 矩形、菱形、正方形
等边 AB =BC =CD =AD =a；AC =BD =a；AO=BO=CO=DO= a
等角 ∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOA=90°；
∠OAB=∠OBA=∠OBC=∠OCB=∠OCD = ∠ODC = ∠OAD =∠ODA=45°
等腰直 角三角形 △ABC，△ADC，△ABD，△BCD，△AOB，△BOC，△COD，△DOA
（△ABC ≌ △ADC ≌ △BAD ≌△BCD； △AOB ≌ △BOC ≌△COD≌△DOA）
2. 判定正方形的实质是判定四边形既是矩形又是菱形.
例 3 ［2024·邯郸模拟］如图，PA= ，PB=4，以 AB为一边作正方形 ABCD，使 P，D 两点落在直线 AB 的两侧.当∠APB=45°时，求 AB 的长.
第三节 矩形、菱形、正方形
第三节 矩形、菱形、正方形
解：（1）如图 1，作 AE⊥PB于点E，在 Rt△APE 中，∠APE=45°，
PA= ，∴AE=PE= × =1，
∵PB=4，∴BE=PB-PE=3，
在 Rt△ABE 中，∠AEB=90°，
∴AB= = ．
拓题一 在已知条件下，求 PD 的长；
第三节 矩形、菱形、正方形
第三节 矩形、菱形、正方形
解： 如图 2，∵ 四边形 ABCD为正方形，可将△PAD 绕点 A 顺时针旋转 90°得到△P′AB，可得△PAD≌△P′AB，PD=P′B，PA=P′A．∴∠PAP′=90°，∠APP′=45°，∠P′PB=90°，∴PP′= PA=2，
∴PD=P′B= = =2 ；
拓题二 当∠APB 变化，但其他条件不变时，求PD 的最大值及相应∠APB 的大小．
第三节 矩形、菱形、正方形
第三节 矩形、菱形、正方形
解：如图 3，将△PAD 绕点 A顺时针旋转 90°得到△P′AB，PD 的最大值即为 P′B 的最大值，∵△P′PB 中，P′B＜PP′+PB，PP′=PA=2，PB=4，且 P，D 两点落在直线 AB 的两侧，
∴ 当 P′，P，B 三点共线时，P′B 取得最大值（如图 4）.
此时 P′B=PP′+PB=6，即 P′B 的最大值为 6．
此时∠APB=180°-∠APP′=135°.
例 4 ［2024·河北 23 题］ 情境 图 1 是由正方形纸片去掉一个以中心 O 为顶点的等腰直角三角形后得到的．该纸片通过裁剪，可拼接为图 2 所示的钻石型五边形，数据如图所示．（说明：纸片不折叠，拼接不重叠无缝隙无剩余）
操作 嘉嘉将图 1 所示的纸片通过裁剪，拼成了钻石型五边形．
如图 3，嘉嘉沿虚线 EF，GH 裁剪，将该纸片剪成①，②，③三块，再按照图 4 所示进行拼接．根据嘉嘉的剪拼过程，解答问题：
（1）直接写出线段 EF 的长；
（2）直接写出图 3 中所有与线段 BE 相等的线段，并计算 BE 的长．
第三节 矩形、菱形、正方形
■题型四 四边形综合题（常考）
探究 淇淇说：将图 1 所示纸片沿直线裁剪，剪成两块，就可以拼成钻石型五边形．
请你按照淇淇的说法设计一种方案：在图 5 所示纸片的 BC 边上找一点 P（可以借助刻度尺或圆规），画出裁剪线（线段 PQ）的位置，并直接写出 BP 的长．
第三节 矩形、菱形、正方形
第三节 矩形、菱形、正方形
解：如图 1，过点 G′作G′K⊥FH′于点 K，结合题意可得四边形 FOG′K 为矩形，∴FO＝KG′，由拼接可得，HF＝FO＝KG′，由正方形的性质可得∠A＝∠H′DG′=45°，∴△AHG，△H′G′D，△AFE 均为等腰直角三角形，∴△G′KH′为等腰直角三角形，设 H′K＝KG′＝x，∴H′G′＝H′D＝x，∴AH=HG= x，HF=FO=x，∵ 正方形的边长为 2，
∴ 对角线的长为 =2 ，
∴OA= ，∴x+x+ x= ，解得 x= -1，
∴EF=AF=（ +1）x=
（ +1）（-1）=1；
第三节 矩形、菱形、正方形
（2）∵△AFE 为等腰直角三角形，EF＝AF＝1，
∴AE= EF= ，
∴BE=2 - ，∵GE =H′G′= x=（ -1）=2- ，
AH=GH= x=2- ，∴BE＝GE＝AH＝GH；
探究 如图 2，以点 B 为圆心，BO长为半径画弧交 BC 于 P，交 AB 于点Q，则直线 PQ 为分割线，此时 BP= ，PQ= =2，符合要求；或以点 C 圆心，CO 长为半径画弧，交BC 于 P′，交 CD 于 Q′，则直线 P′Q′为分割线，此时 CP′=CQ′= ，P′Q′= =2，∴BP′=2- .
综上，BP 的长为 或 2- ．
第三节 矩形、菱形、正方形
练习 ［2024·眉山］综合与实践
问题提出：在一次综合与实践活动中，某数学兴趣小组将足够大的直角三角板的一个顶点放在正方形的中心 O 处，并绕点 O 旋转，探究直角三角板与正方形 ABCD 重叠部分的面积变化情况．
操作发现：将直角三角板的直角顶点放在点O 处，在旋转过程中：
（1）若正方形边长为 4，当一条直角边与对角线重合时，重叠部分的面积为 ____；当一条直角边与正方形的一边垂直时，重叠部分的面积为 ______；
（2）若正方形的面积为 S，重叠部分的面积为 S1，在旋转过程中 S1 与 S 的关系为 ___________；
第三节 矩形、菱形、正方形
4
4
S1= S
类比探究：如图 1，若等腰直角三角板的直角顶点与点 O 重合，在旋转过程中，两条直角边分别交正方形两边于 E，F 两点，小宇经过多次实验得到结论 BE+DF= OC，请你帮他进行证明；
拓展延伸：如图 2，若正方形边长为 4，将另一个直角三角板中 60°角的顶点与点 O 重合，在旋转过程中，当三角板的直角边交 AB 于点 M，斜边交 BC 于点 N，且 BM=BN 时，请求出重叠部分的面积．
第三节 矩形、菱形、正方形
第三节 矩形、菱形、正方形
第三节 矩形、菱形、正方形
类比探究：证明：∵ 四边形 ABCD 是正方形 ，∴AC ⊥BD，OB =OC =OD =OA，∠BCO=∠OCD=45°，
∵∠FOE=∠BOC，∴∠EOB=∠FOC，
∴△EOB≌△FOC（ASA），∴BE=CF，
∴BE+DF=CF+DF=CD，
∵CD=OC，∴BE+DF= OC；
第三节 矩形、菱形、正方形
拓展延伸：如图 3，过点 O 作 OG⊥AB 于点 G，OH⊥BC 于点 H．同（2）可知四边形OGBH 是正方形，∴BG =BH =OG =OH，
∵BM=BN，∴GM=NH，∵∠OGM=∠OHN=90°，
∴△OGM≌△OHN（SAS），∴S△OGM=S△OHN，∠GOM=∠NOH，
∵∠MON=60°，∴∠GOM= ×（90°-60°）=15°，由（1）可知 OG=2，S正方形 OGBH=4，∴tan∠GOM=tan15°= =2- ，∴GM=2×（2- ）=4-2 ，
∴S △ OGM = OG·GM = × 2 ×（4 -2 ）=4-2 ，∴ 重叠部分的面积 S四边形 OMBN=S 正方形 OGBH-2S△OGM=4-2×（4-2 ）=4 -4．
第三节 矩形、菱形、正方形(共20张PPT)
第二节 平行四边形
■考点 平行四边形（必考）
两组对边分别①_______ 的四边形叫做平行四边形.如图，四边形ABCD 是平行四边形，记作“ ABCD”，其对角线 AC，BD 相交于点 O.
平行四边形
定义
平行
第二节 平行四边形
平行四边形
性质
文字描述 几何语言（如左图的 ABCD）
边 两组对边分别 ②________ 且 ③_______. AD④_____BC 且 AD=BC，
AB∥CD 且 AB⑤_____CD.
角 对角⑥______. ∠ABC=⑦______，∠BAD=⑧______.
邻角⑨_______. ∠ABC+∠BCD=⑩_____，
∠BCD+∠CDA= _____，
∠ADC+∠BAD=180°，
∠BAD+∠ABC=180°.
平行
相等
∥
=
相等
∠ADC
∠BCD
互补
180°
180°
第二节 平行四边形
平行四边形
性质
文字描述 几何语言（如左图的 ABCD）
对角线 对角线互相 ______. OA= _____，OB= _____.
对称性 是中心对称图形， _____ 轴对称图形. 面积 S ABCD=BC·AE. 平分
OC
OD
不是
第二节 平行四边形
1. 平行四边形的一条对角线将平行四边形分成两个全等的
三角形.2. 平行四边形中的四个面积关系：
满分备考
图形 面积关系 图形 面积关系
S1=S2=S3=S4 S1+S2=S3
S1+S3=S2+S4 S1=S2
S1·S3=S2·S4
第二节 平行四边形
平行四边形
判定
文字描述 几何语言（如左图的 ABCD）
边 两组对边分别 _______的四边形是平行四边形（定义）. ∵AB∥CD， ____________，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
两组对边分别 _____ 的四边形是平行四边形. ∵AB=CD， ____________，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
一组对边 __________的四边形是平行四边形. ∵AB∥CD， ________，
∴四边形ABCD是平行四边形.
平行
AD∥BC
相等
AD=BC
平行且相等
AB=CD
第二节 平行四边形
平行四边形
判定
文字描述 几何语言（如左图的 ABCD）
角 两组对角分别 ________的四边形是平行四边形. ∵∠BAD= ________，
∠ABC= ________，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
对角 线 对角线 ________ 的 四边形是平行四边形. ∵AO= _____，BO= _____，
∴ 四边形 ABCD 是平行四边形.
相等
∠BCD
∠ADC
互相平分
CO
DO
第二节 平行四边形
依据所标数据，下列一定为平行四边形的是 （ ）
即学即练
D
第二节 平行四边形
一题串考点
在 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O.
（1）如图 1，若∠ABC=60°，AB=2，BC=3.
①∠BAD=_______°，∠ADC=______°；
② ABCD 的面积为 ______，△COD 的面积为 ______；
120
60
第二节 平行四边形
（2）如图 1，若 AC=6，BD=10，则 CD 长的取值范围是 ________；
（3）如图 2，若∠ABC 的平分线 BE 交 AD 于点 E，AB=2，BC=3，则 DE=_____；
（4）如图 3， ABCD 的周长为 36，点 G 是 CD 的中点，BD=12，则△DOG 的周长为 ______；
（5）如图 4，H，F 是对角线 AC 上的两点，当 H，F 满足下列条件 ______（填序号）时，四边形AHCF 不一定是平行四边形.
①AH=CF ②OH=OF ③∠BAH=∠DCF ④∠BCH=∠DAF
2＜CD＜8
1
15
①
■题型一 与平行四边形性质有关的计算（常考）
题型解法
利用平行四边形的性质求长度或角度时，常借助三角形转化角度或线段之间
的数量关系：
第二节 平行四边形
例 1 ［2024·廊坊广阳区一模］平行四边形的周长为 24，相邻两边的差为 2，则平行四边形的各边长为 （ ）
A． 4，8，4，8 B． 5，7，5，7
C． 5.5，6.5，5.5，6.5 D． 13，11，13，11
第二节 平行四边形
B
练习一 如图，四边形 ABCD 为平行四边形，过点 D 分别作AB，BC 的垂线 ，垂足分别为 E，F，若AB=12，DE=6，BE=4，则 DF 的长为（ ）
A． 7 B． 7.2 C． 8 D． 8.8
第二节 平行四边形
B
练习二 如图，将 ABCD 沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 E 处，CE 交 AD 于点 F，若∠B=80°，∠ACE=2∠ECD，则∠BAC 的度数为 （ ）
A． 40° B． 50° C． 60° D． 80°
第二节 平行四边形
C
练习三 如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是边 BC 上的点，连接 AE，交 BD 于点 F，若 EC=2BE，则 的值是 ______.
第二节 平行四边形
3
■题型二 与平行四边形判定有关的问题（必考）
题型解法
判定一个四边形是平行四边形的基本思路：
已知一组对边平行
已知一组对边相等
已知条件与对角线有关→证对角线互相平分
已知一组对角相等→证另一组对角相等
第二节 平行四边形
证这组对边相等
证另一组对边平行
证这组对边平行
证另一组对边相等
例 2 ［2024·河北 10 题］下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程：
第二节 平行四边形
若以上解答过程正确，①，②应分别为 （ ）
A． ∠1=∠3，AAS B． ∠1=∠3，ASA
C． ∠2=∠3，AAS D． ∠2=∠3，ASA
第二节 平行四边形
D
衍生一 与尺规作图结合
［2024·石家庄模拟］如图，已知△ABD，用尺规进行如下操作：
①以点 B 为圆心，AD 长为半径画弧；②以点 D 为圆心，AB 长为半径画弧；③两弧在 BD 上方交于点 C，连接 BC，DC．
可直接判定四边形 ABCD 为平行四边形的条件是 （ ）
A． 两组对边分别平行
B． 两组对边分别相等
C． 对角线互相平分
D． 一组对边平行且相等
第二节 平行四边形
B
衍生二 判定与性质的综合应用
［2021·河北 7 题］如图 1， ABCD 中，AD＞AB，∠ABC 为锐角.要在对角线 BD 上找点 N，M，使四边形ANCM 为平行四边形，现有图 2 中的甲、乙、丙三种方案，则正确的方案 （ ）
第二节 平行四边形
A
A. 甲、乙、丙都是 B. 只有甲、乙才是
C. 只有甲、丙才是 D. 只有乙、丙才是
第二节 平行四边形(共10张PPT)
培优专题 特殊四边形的折叠问题
要点提示
折叠的本质是轴对称，特殊四边形的折叠问题中，利用折叠得出的等量关系，要与几何图形的性质相结合，从而得出更多结论.
培优专题 特殊四边形的折叠问题
类型一 折叠的基本性质
练习一 如图 1，四边形 ABCD 是一张矩形纸片，点 O 是 BC 上一点，将矩形纸片 ABCD 折叠得到图 2，使得 OB 与OC 重合．若∠2=50°，则∠1 的度数为_______.
40°
培优专题 特殊四边形的折叠问题
练习二 如图，在菱形纸片 ABCD 中，点 E 在边 AB 上，将纸片沿 CE 折叠，点 B 落在 B′处，CB′⊥AD，垂足为 F．若 CF=4 cm，FB′=1 cm，则 BE=_______.
cm
培优专题 特殊四边形的折叠问题
思路点拨
矩形或正方形折叠中，常利用：
（1）一线三垂直全等或相似解题；
（2）设出折叠直角三角形的一条边，利用勾股定理列方程求解.
培优专题 特殊四边形的折叠问题
类型二 折叠的综合应用
练习三 ［2024·河北九地市三模］【问题情境】折纸是我国传统的民间艺术，通过折纸可以得到许多美丽的图形，折纸的过程还蕴含着丰富的数学知识，在综合与实践课上，老师让同学们准备了大小一样的正方形，如图 1，正方形纸片 ABCD，边长为 4．
【操作发现】老师提出了如下折叠要求：将正方形 ABCD，沿直线 EF折叠使点 B 落在边 AD 上的点 P 处（A，D 两点除外），点 C 的对应点为点 G．经过思考、讨论，同学们分享了他们的发现：
培优专题 特殊四边形的折叠问题
（1）如图 2，当点 P 落在 AD 上任意一个位置时，PB 平分∠APG．请判断这个结论是否正确，并说明理由；
（2）如图 3，若 PG 与 CD 相交于点 H，当点 P 是 AD 的中点时，可以求出 DH 的长度．请写出解答过程；
【拓展运用】小辉同学在（2）的基础上，求出了 PH 的长，进而求得了△PDH 的周长，发现这个周长与正方形的边长存在一定的关系，是一个定值．进一步研究他发现：当点 P 在 AD 上任意位置时，如图 4，△PDH 的周长是一个定值．小辉的结论是否正确？ 若正确，请给出证明；若不正确，请说明理由．
培优专题 特殊四边形的折叠问题
培优专题 特殊四边形的折叠问题
解：（1）PB 平分∠APG 这个结论正确，理由：∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴AD∥BC，∠ABC=∠A=90°，∴∠APB=∠CBP，
由折叠的性质可得 EB=EP，∠EPG=∠EBC=90°，∴∠EPB=∠EBP，
又∵∠EBP+∠PBC=90°=∠EPB+∠BPG=90°，∴∠BPG=∠PBC，
∴∠APB=∠BPG，∴PB 平分∠APG；
（2）∵ 四边形 ABCD 是正方形，∴∠ABC=∠D=∠A=90°，
由折叠的性质可得 EB=EP，∠EPG=∠EBC=90°，
设 BE=PE=x， 则 AE=4-x，∵ 点 P为AD 的中点，∴AP=DP=2，
在 Rt△APE 中，由勾股定理得
培优专题 特殊四边形的折叠问题
PE2=AP2+AE2，∴x2=22+（4-x）2，解得x= ，∴AE= ；∵∠APE+∠AEP=90°=∠APE+∠DPH，∴∠AEP=∠DPH，
∴△AEP∽△DPH，∴ = ，
即 = ，∴DH= ；
培优专题 特殊四边形的折叠问题
（3）小辉的结论正确，证明如下：
如图，过点 B 作 BQ⊥PG 于点 Q，连接 BH，∴∠A=∠PQB=90°，∠BQH=
∠BCH=90°，由（1）得∠APB=∠QPB，又 ∵BP=BP，∴△BAP≌△BQP（AAS），∴PQ=PA，AB=QB，∵AB=BC，∴BQ=BC，又∵BH=BH，
∴Rt△BQH≌Rt△BCH（HL），∴QH =CH，∴△DPH 的周长=DP+DH+PH=
DP+DH+PQ+HQ=DP+DH+AP+CH=AD+CD，∴△DPH 的周长等于正方形 ABCD 的边长的 2 倍，∴△DPH 的周长是一个定值．
