(共11张PPT)
综合与实践 探究圆的综合问题
在探究圆的综合问题时，通过分析几何图形的特点，学习如何运用圆的基本性质和相关定理来解决数学问题或实际问题，并结合具体案例展示其应用方法.
综合与实践 探究圆的综合问题
1.［2024·扬州］在综合实践活动中，“特殊到一般”是一种常用方法，我们可以先研究特殊情况，猜想结论，然后再研究一般情况，证明结论.如图，已知△ABC，CA=CB，⊙O 是△ABC的外接圆，点 D 在⊙O 上（AD＞BD），连接AD，BD，CD．
特殊化感知
（1）如图 1，若∠ACB=60°，点 D 在 AO 延长线上，则 AD-BD 与 CD 的数量关系为 ____________；
AD-BD=CD
综合与实践 探究圆的综合问题
一般化探究
（2）如图 2，若∠ACB=60°，点 C，D 在 AB 同侧，判断 AD-BD 与 CD 的数量关系并说明理由；
拓展性延伸
（3）若∠ACB=α，直接写出 AD，BD，CD 满足的数量关系（. 用含 α 的式子表示）
综合与实践 探究圆的综合问题
解：（2）若∠ACB=60°，点 C，D 在 AB 同侧 ，AD -BD 与 CD 的 数 量关系为AD -BD=CD.理由：如图 1，延长 BD至点 E 使DE=CD，连接 CE，
∵CA=CB，∠ACB=60°，∴△ABC 为等边三角形，
∴∠BAC=∠ACB=∠ABC=60°，∵ 四边形 ABDC 为圆的内接四边形，
∴∠CDE=∠BAC=60°，∵DE=CD，∴△CDE 为等边三角形，
∴CE=CD，∠DCE=∠E=60°，
∴ ∠ACD = ∠ACB + ∠BCD =60° +∠BCD，
∵ ∠BCE = ∠BCD + ∠DCE =60°+∠BCD，∴∠ACD=∠BCE．
∵∠ADC=∠ABC=60°，∴∠ADC=∠E=60°．
在△ACD 和△BCE 中，
综合与实践 探究圆的综合问题
∠ACD=∠BCE，
CD=CE，
∠ADC=∠E,
∴△ACD≌△BCE（ASA），∴AD=BE，
∵BE =BD +DE =BD +CD，∴AD =BD +CD，∴AD-BD=CD；
综合与实践 探究圆的综合问题
（3）当点 C，D 在 AB 同侧时 AD-BD=2CD·sin α；当点 C，D 在 AB 异侧时，AD+BD=2CD·sin α．
综合与实践 探究圆的综合问题
2.［2024·陕西］问题提出
（1）如图 1，在△ABC 中，AB=15，∠C=30°，作△ABC 的外接圆⊙O，则ACB 的长为____；（结果保留 π）
问题解决
（2）如图 2 所示，道路 AB 的一侧是湿地．某生态研究所在湿地上建有观测点 D，E，C，线段AD，AC 和 BC 为观测步道，其中点 A 和点 B为观测步道出入口．已知点 E 在 AC 上，且AE=EC，∠DAB=60°，∠ABC=120°，AB=1 200 m，AD=BC=900 m，现要在湿地上修建一个新观测点 P，使∠DPC=60°．再在线段 AB 上选一个新的步道出入口点 F，并修建三条新步道 PF，PD，PC，使新步道 PF 经过观测点 E，并将五边形 ABCPD 的面积平分．
25π
综合与实践 探究圆的综合问题
请问：是否存在满足要求的点 P 和点 F ？ 若存在，求此时 PF 的长；若不存在，请说明理由.（点 A，B，C，P，D 在同一平面内，道路 AB 与观测步道的宽、观测点及出入口的大小均忽略不计，结果保留根号）
综合与实践 探究圆的综合问题
解：（2）存在满足要求的点 P 和点 F，此时 PF 的长为（300 +1 200） m.
理由：如图，连接 CD.
∵∠DAB=60°，∠ABC=120°，∴∠DAB+∠ABC=180°，∴AD∥BC，
∵AD=BC=900 m,∴ 四边形 ABCD 是平行四边形，∵ 要在湿地上修建一个新观测点 P， 使∠DPC=60°，∴ 点P 在以 O 为圆心，CD 为弦，圆心角为120°的圆上 ，∵AE =EC，∴ 经过点 E的直线都平分四边形 ABCD 的面积，
∵ 新步道 PF 经过观测点 E，并将五边形 ABCPD 的面积平分，
∴ 直线 PF 必经过 CD 的中点 M，∴ME 是△CAD 的中位线，
综合与实践 探究圆的综合问题
∴ME∥AD，∵MF∥AD，DM∥AF，∴ 四边形 AFMD 是平行四边形，
∴FM=AD=900 m，作 CN⊥PF 于点 N，
∵ 四 边 形 AFMD 是平行四边形，∠DAB=60°，
∴∠PMC=∠DMF=∠DAB=60°，∵CM= CD= AB=600 m，
∴MN=CM·cos60°=300 m，CN=CM·sin60°=300 m,
∵∠PMC=∠DPC=60°，∠PCM=∠DCP，∴△PMC∽△DPC，
∴ = ，即= ，∴PC2=720 000，在 Rt△PCN 中，PN== =300（m），
综合与实践 探究圆的综合问题
∴PF=300 +300+900=（300 +1 200） m，∴ 存在满足要求的点 P和点 F，此时 PF 的长为（300 +1 200） m.(共8张PPT)
培优专题一 两种方法求弧长
方法总结
当所求的弧长是一段规则的圆弧时，可直接利用弧长公式求解，注意确定半径和弧所对的圆心角.
培优专题一 两种方法求弧长
类型一 直接公式法
练习一 一张直径为 40 cm 的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，则优弧 ABC 的长度为 （ ）
A. 10π cm B. 15π cm C. 20π cm D. 30π cm
D
培优专题一 两种方法求弧长
练习二 传统文化 抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．其示意图如图，AC，BD 分别与⊙O 相切于点 C，D，延长AC，BD 交于点 P．若∠P=120°，⊙O 的半径为 6 cm，则瞬间与空竹接触的细绳的长为 （ ）
A． 4π cm B． 4 cm C． 2π cm D． 2 cm
C
培优专题一 两种方法求弧长
练习三 如图，一块含 30°角的直角三角形 ABC 的三个顶点刚好都在一个圆上，已知弦 CD 与 CB 的夹角∠BCD=40°，BC=3，则BD 的长度为______（结果保留 π）．
培优专题一 两种方法求弧长
思路点拨
求多段弧长时：
（1）可以看成几段规则弧长相加减；
（2）半径相同时，也可转化到同一段圆弧上.
培优专题一 两种方法求弧长
类型二 和差转化法
练习四 如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三角形”．若等边三角形ABC 的边长为 3，则该“莱洛三角形”的周长等于 （ ）
A． π B． 3π C． 2π D． 2π
B
培优专题一 两种方法求弧长
练习五 如图，将半径为 2，圆心角为 90°的扇形 BAC 绕 A 点逆时针旋转，在旋转过程中，点 B 落在AC 上的点 D 处，点 C 的对应点为点 E，则图中阴影部分图形的周长为 _________.（结果保留 π）
培优专题一 两种方法求弧长
练习六 如图，线段 AB=2，以 AB 为直径作半圆，再分别以点 A，B 为圆心，以 AB 的长为半径画弧，两弧相交于点 C．则图中阴影部分的周长为 ________．(共9张PPT)
培优专题三 利用辅助圆解决问题
模型分析
1. 模型一：定点定长
如左图，线段 AB 长度为定值，点 A 为定点，则点 B的运动轨迹是以点 A 为圆心，线段 AB 长为半径的圆.
2. 模型二：直径对直角
如右图，线段 AB 长度为定值，且∠ACB=90°，则点 C的运动轨迹是以线段 AB为直径的圆.
培优专题三 利用辅助圆解决问题
类型一 构造辅助圆———定点定长
练习一 如图，将△ABC 绕着点 B 逆时针旋转 60°后得到△A′BC′，若 BC=3，则CC′的长度为 （ ）
A． 3 B． π
B
培优专题三 利用辅助圆解决问题
练习二 如图，四边形 ABCD 中，AB=AC=AD，∠CBD=15°，BD= AB，则∠BDC=____．
45°
培优专题三 利用辅助圆解决问题
类型二 构造辅助圆———直径对直角
练习三 如图，点 A 是半径为 8 的圆 O 上一定点，点B 是圆 O 上一动点，点 P 是弦 AB 的中点，则点 B绕圆周运动一周，点 P 所经过的路径长为 （ ）
A． 4 B． 8 C． 4π D． 8π
D
培优专题三 利用辅助圆解决问题
方法总结
1. 点圆问题求最值.
平面内有一定点 A，动点 C在以点 B 为圆心，BC 长为半径的圆上运动.
①如图 1，当点 C 在线段AB 上时，线段 AC 的值最小；
②如图 2，当点 C 为射线AB 与⊙B 的交点时，线段AC 的值最大.
培优专题三 利用辅助圆解决问题
2. 线圆问题求最值.
已知定直线 l∥定弦 AB，动点 C 在以点 O 为圆心的圆上运动.
①点 C 到线段 AB，直线 l 的最大值分别为 CE，CD 的长；
②点 C 到线段 AB，直线 l 的最小值分别为 C′E，C′D 的长.
培优专题三 利用辅助圆解决问题
类型三 利用辅助圆求最值———点圆问题
练习四 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=5，点 E 是折线 A-B-C上的动点，连接 DE，将矩形沿 DE 折叠，点 A 的对应点为点 P.在点E 运动过程中：
（1）点 P 在以点 ______ 为圆心，长度 ______ 为半径的圆上运动；
（2）点 B，P 之间的最小距离为 ___________；
（3）点 C，P 之间的最小距离为 ______.
D
5
2
培优专题三 利用辅助圆解决问题
练习五 如图，Rt△ABC 中，AB⊥BC，AB=4，BC=3，P是△ABC 内部的一个动点，满足∠PAB=∠PBC，则线段 CP 长的最小值为 _______.
培优专题三 利用辅助圆解决问题
类型四 利用辅助圆求最值———线圆问题
练习六 如图，四边形 ABCD 为矩形，AB=3，BC=4，点 P 是线段 BC上一动点，点 M 为线段 AP 上一点，∠ADM=∠BAP，在点 P 的运动过程中.
（1）点 M 在以线段 ______ 为直径的圆上运动；
（2）点 M 到直线 BC 的最小距离为 ________.
AD
1(共9张PPT)
培优专题二 三种方法求阴影部分面积
解题关键
当所求的面积是扇形时，直接应用面积公式计算.关键是确定扇形的半径和圆心角.
培优专题二 三种方法求阴影部分面积
类型一 直接公式法
练习一 如图，△ABC 的三个顶点都在 5×5 的网格（每个小正方形的边长均为 1 个单位长度）的格点上，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转到△A′BC′的位置，且点 A′，C′仍落在格点上，则线段 AB 扫过的图形的面积是（ ）
B
培优专题二 三种方法求阴影部分面积
练习二 ［2024·河南］如图，⊙O 是边长为 4 的等边三角形 ABC 的外接圆，点 D 是BC 的中点，连接 BD，CD．以点 D 为圆心，BD 的长为半径在⊙O 内画弧，则阴影部分的面积为 （ ）
C
培优专题二 三种方法求阴影部分面积
方法总结
所求不规则阴影部分的面积可以看成几个规则图形的面积的和差 ，也可以添加辅助线，构造规则图形，再进行相加减.
培优专题二 三种方法求阴影部分面积
类型二 和 差 法
练习三 ［2024·泰安］两个半径相等的半圆按如图方式放置，半圆 O′的一个直径端点与半圆 O 的圆心重合，若半圆的半径为 2，则阴影部分的面积是 （ ）
A
培优专题二 三种方法求阴影部分面积
练习四 如图，扇形 DOE 的半径为 3，菱形 OABC 的顶点 A，C，B 分别在OD，OE，DE 上，OA= ，则图中阴影部分的面积为 ______.
培优专题二 三种方法求阴影部分面积
要点提示
通过平移、旋转、对称等方法，把无法计算的阴影部分面积转化为规则图形面积的和差.
培优专题二 三种方法求阴影部分面积
类型三 转 化 法
练习五 如图，已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，若∠ABD=72°，AB=20，则图中阴影部分的面积为 ______.
10π
培优专题二 三种方法求阴影部分面积
练习六 如图，在半径为 2，圆心角为 90°的扇形内，以 OB为直径作半圆交 AB 于点 D，连接 OD，则阴影部分的面积是 ______.
π-2(共30张PPT)
第一节 圆的有关概念及基本性质
■考点一 圆的有关概念
平面上，到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中定点称为①________，②________称为半径，以点 O 为圆心的圆记作③______.
圆
定义
确定圆的条件：④______ 决定圆的位置，⑤_______ 决定圆的大小.不在同一条直线上的三点确定一个圆
圆心
定长
⊙O
圆心
半径
第一节 圆的有关概念及基本性质
圆
圆的有
关概念
及性质
概念
弦
连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图 1，线段⑥________ 是⊙O 的弦.经过⑦______ 的弦叫做圆的直径，如图 1，线段 AB 是⊙O 的直径.
直径是圆中最长的弦，但弦不一定是直径，一个圆有无数条直径和半径.
AB，AC
圆心
第一节 圆的有关概念及基本性质
圆上任意两点之间的部分叫做弧.大于半圆的弧叫做⑧__________，如图 1， ABC .小于半圆的弧叫做⑨______，如图 1，AC.
圆
定义
圆的有关概念
及性质
概念
弧
圆上任意一条弦对应两段弧，半圆是弧（不包括直径部分），但弧不一定是半圆.
在同圆或等圆中，能够互相⑩________ 的弧叫做等弧
等弧只存在于同圆或等圆中，是指能够完全重合的弧，而不是弧长相等或所对的圆心角相等的弧.
失分警示
优弧
劣弧
重合
第一节 圆的有关概念及基本性质
圆心角：顶点在 ________ 的角叫做圆心角，如图 1，∠BOC 为BC 所对的圆心角.
圆
圆的有关概念
及性质
概念
圆周角
顶点在 ________，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角，如图 1，∠BAC 为BC所对的圆周角.
等圆：能够完全重合的两个圆叫做等圆.
性质
对称性
圆是轴对称图形，过圆心的每一条直线都是它的对称轴.
圆是中心对称图形， _______ 是它的对称中心.
旋转不变性：圆围绕圆心旋转任意角度都能与自身重合.
圆心
圆上
圆心
第一节 圆的有关概念及基本性质
■考点二 弧、弦、圆心角的关系
弦、弧、圆
心角的关系
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧 ______，所对的弦也 _______.
（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角 _____，所对的弦也 ______.
（2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角 _____，所对的弧也 ______.
推论
举例：如图 2，在⊙O 中，∠AOB=∠COD
相等
相等
相等
相等
相等
相等
CD
第一节 圆的有关概念及基本性质
在同圆或等圆中，若AB =2CD ，则AB 所对的圆心角（或圆周角）等于CD 所对的圆心角（或圆周角）的 2 倍，但弦 AB≠2CD.
失分警示
第一节 圆的有关概念及基本性质
■考点三 垂径定理（常考）
垂径定理
及其推论
定理：垂直于弦的直径 ______ 这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧.
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
推论
总结
根据圆的对称性，如图 3，在以下五个结论中：（1）AC =BC ；（2）AD = ________；（3）AE= ________；（4）AB⊥ ________；（5）CD 是⊙O的直径.只要满足其中两个，另外三个结论一定成立，即知二推三
平分
BE
CD
第一节 圆的有关概念及基本性质
垂径定理
及其推论
推论
如图 3，半径、弦心距和弦的一半构成直角三角形 OEB，满足勾股定理 OB2=OE2+BE2，常用于在圆中求线段的长度.
应用
第一节 圆的有关概念及基本性质
已知圆心到两条平行弦的距离，求两条平行弦的距离时需分两条弦位于圆心同侧和两条弦位于圆心异侧两种情况画图分类讨论并求解.
失分警示
第一节 圆的有关概念及基本性质
一题串考点
如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，垂足为点 E，连接 OC，OD.
（1）若∠AOC=120°，则∠COD=_____°，∠ODC=_____°；
（2）若 CD=8，则 CE=____；
（3）若 BE=2，CD=8，则 CO=____，sin∠OCE=______；
（4）若 AB=20，OE∶OB=3∶5，则 CD=_______.
（5）若 CD=8，AB=10，现有另一条弦 MN∥CD，且 MN=6，则 CD 与 MN 的距离 d=_________.
120
30
4
5
3
5
16
1 或 7
第一节 圆的有关概念及基本性质
■考点四 圆周角定理（常考）
圆周角
定理及
其推论
圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．如图 4，∠BAC= ______.
推论 1：同弧或等弧所对的圆周角 ______，如图 4，∠BAC=∠BDC.
推论
推论 2
半圆（或直径）所对的圆周角是 ______，如图 4，∠ADB=90°；90°的圆周角所对的弦是 ______.
∠BOC
相等
直角
直径
第一节 圆的有关概念及基本性质
已知圆内一条弦及其对应的圆心角，求其对应的圆周角要分情况讨论：
失分警示
第一节 圆的有关概念及基本性质
一题串考点
如图，已知 AB 是⊙O 直径，C，D 是⊙O 上的点.
（1）若∠CDB=26°，则∠AOC=________°；
（2）若 AB⊥CD，∠COB=40°，则∠BAD=________°；
（3）若∠BAD=22.5°，AB=8，CD⊥AB，则 CD=_______；
（4）若∠AOC=120°，CD⊥AB，AB=8，则 BD=_________；
（5）若 BD=1，AD= ，则弦 BD 所对的圆周角的度数为 ______________.
128
20
4
150°或 30°
第一节 圆的有关概念及基本性质
■考点五 圆内接四边形
圆内接
四边形
概念：如果一个四边形的所有顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形.
性质
（1）圆内接四边形的对角 ______，如图 5，∠ABC+∠ADC= ______；
（2）圆内接四边形的任意一个外角等于它的 _______（和它相邻的内角的对角），如图 5，∠ADE= ______.
互补
180°
内对角
∠ABC
第一节 圆的有关概念及基本性质
连接圆内接四边形的两条对角线，则必然存在两组相似三角形，如图 5，△ADF∽ _______，△ABF∽ _______.
满分备考
△BCF
△DCF
■题型一 与圆周角有关的计算（常考）
题型解法
第一节 圆的有关概念及基本性质
例 1 ［2024·廊坊安次区二模］如图，已知⊙O 的两条弦 AC，BD相交于点 P，∠ADB=25°，∠BPC=70°，则劣弧 的度数为（ ）
A． 170°
B． 165°
C． 160°
D． 150°
第一节 圆的有关概念及基本性质
A
练习一 如图，AB 是半圆的直径，C，D 是半圆上的两点，∠ADC=106°，则∠CAB 等于 （ ）
A． 32°
B． 28°
C． 16°
D． 14°
第一节 圆的有关概念及基本性质
C
练习二 ［2024·秦皇岛山海关区一模］如图，AB 是⊙O 的直径，弦 AC，BD 相交于点 E，则 可能是 （ ）
第一节 圆的有关概念及基本性质
A
■题型二 垂径定理（常考）
题型解法
1. 常用辅助线：
2. 若圆中圆心的位置未知，常根据垂径定理的推论确定圆心在某一条直线或线段上，再根据垂径定理求解相关的量.
第一节 圆的有关概念及基本性质
例 2 ［2024·石家庄十八县联考］如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦且不是直径，CD⊥AB，则下列结论不一定正确的是 （ ）
A． AE=BE
B． OE=DE
C． AO=CO
D．
第一节 圆的有关概念及基本性质
B
练习一 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，⊙P经过点 O，与 y 轴交于点 A（0，6），与 x 轴交于点 B（8，0），则 OP 的长为 ________．
第一节 圆的有关概念及基本性质
5
练习二 ［2024·邯郸模拟］如图，是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为 O，直径 AB 是河底截线，弦 CD 是水位线，CD∥AB，AB=20 m，OE⊥CD 于点 E．
（1）当测得水面宽 CD=10 m 时，①求此时水位的高度 OE；②求水面以上的桥洞部分（即 ）的长；
（2）当水位的高度比（1）上升 1 m 时，有一艘宽为 10 m，船舱顶部高出水面 2 m 的货船要经过桥洞（船舱截面为矩形 MNPQ），请通过计算判断该货船能否顺利通过桥洞？
第一节 圆的有关概念及基本性质
第一节 圆的有关概念及基本性质
第一节 圆的有关概念及基本性质
解：（1）①∵OE⊥CD，∴DE= CD=5 m，
又 ∵OD=OB= AB=10 m，
∴ 此时水位的高度 OE= = =5（m）；
②如图 1，连接 OC，
∵sin∠DOE= = = ，∴∠DOE=60°，
∴∠COD=2∠DOE=120°，∴ 水面以上的桥洞部分的长为 = m；
第一节 圆的有关概念及基本性质
第一节 圆的有关概念及基本性质
（2）该货船能顺利通过桥洞；
理由：由（1）中水位高度为 5 m，可知此时 OE=5+1=6 m，
如图 2，延长 OE 交 MQ 于点 F，连接 OM，则 OF⊥MQ，
∵ 货船宽为 10 m，船舱顶部高出水面 2 m，∴OF=6+2=8 m，货船居中行驶时MF= ×10=5（ｍ），
∴OM= = =＜10，
∴ 该货船能顺利通过桥洞．
■题型三 弧、弦、圆心角关系的简单应用（常考）
题型解法
第一节 圆的有关概念及基本性质
例 3 ［2024·邯郸 25 中三模］如图，在⊙O 中，满足 ，则下列对弦 AB 与弦 CD 大小关系表述正确的是 （ ）
A． AB＞2CD
B． AB＜2CD
C． AB=2CD
D． 无法确定
第一节 圆的有关概念及基本性质
B
拓题一 如果在⊙O 中，AB=2CD，那么 （ ）
A. AB ＞2CD B． AB ＜2CD
C． AB =2CD D． AB 与CD 的大小关系无法比较
拓题二 如果AB ＝2CD ，弦 CD所对的圆心角为 45°，⊙O 的半径为 5，那么弦 AB=_______.
第一节 圆的有关概念及基本性质
A(共19张PPT)
第三节 与圆有关的计算
■考点一 扇形的相关计算（必考）
圆的周长：C=①____________.
扇形 AOB 的弧长：l=②____________.
圆的面积：S=③____________.
扇形 AOB 的面积：S=④____________=⑤____________.
弓形面积：S 扇形 AOB-S 三角形 AOB.
扇形弧长和
面积的公式
应用弧长公式和扇形的面积公式时：
1. 不要混淆分母.
2. 记牢 n 指的是扇形的圆心角度数而不是圆周角度数.
失分警示
R 为圆的半径
n°为弧所对的圆心角的度数
l 是扇形 AOB 的弧长
2πR
πR2
第三节 与圆有关的计算
扇形弧长和
面积的公式
计算扇形面积的公式选择：
（1）当已知半径 R 和圆心角的度数 n°，求扇形的面积时，选用公式 S 扇形=⑥______；
（2）当已知半径 R 和弧长 l，求扇形的面积时，选用公式 S 扇形=⑦______；
（3）当已知扇形的面积，求半径或圆心角度数时，要将计算公式当成方程用.
满分备考
第三节 与圆有关的计算
一题串考点
如图，已知扇形 AOB 的半径为 R，圆心角的度数为 n.
（1）若 R=2，n=120°，则AB 的长度为 ______，扇形 AOB 的面积为 ______；
（2）若 n=80°，AB 的长度为 2π，则 R=_____；
（3）若 R=4，AB 的长度为 2π，则 n=_____°，扇形 AOB 的面积为 ______；
（4）将扇形 AOB 围成一个圆锥.
90
4π
第三节 与圆有关的计算
①若 R=3，围成圆锥的底面圆半径为 2，则该圆锥的侧面积为 _______；
②若圆锥的侧面积为 18π，底面圆半径为 3，则该圆锥的高是 _______，侧面展开图中 n=_____°.
6π
180
第三节 与圆有关的计算
■考点二 圆锥的相关计算
圆锥的
相关计算
1. 圆锥的侧面展开图是⑧________.
2. 圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图（扇形）的弧长，即 2πr=
3. 圆锥的母线长等于其侧面展开图（扇形）的⑨________.
4. 圆锥的轴截面是⑩_______ 三角形，圆锥的母线长 l 和底面圆半径 r、圆锥的高h，这三个量之间的数量关系是 ________.
圆锥与其侧面展
开图之间的关系
扇形
半径
等腰
h2+r2=l2
第三节 与圆有关的计算
圆锥的
相关计算
圆锥侧面积：S 侧=
圆锥全面积：S 全=S 侧+S 底 = πrl+πr2
根据圆锥的底面周长等于其侧面展开后所得扇形的弧长，可以求得展开图的圆心角 n=
满分备考
■题型一 弧长的计算（常考）
题型解法
1. 弧长的相关计算中涉及三个量：
半径
圆心角 知二推一
弧长
2. 求弧长的关键是求出弧所对的圆心角的度数和所在圆的半径.当题中没有直接给出这两个条件时，需要利用圆的相关知识（弦、弦心距、圆心角等）求出圆的半径或弧所对的圆心角.
第三节 与圆有关的计算
例1［2022·河北 10 题］如下图，某款“不倒翁”（图 1）的主视图是图 2，PA，PB 分别与AMB 所在圆相切于点 A，B．若该圆半径是 9 cm，∠P=40°，则 AMB 的长是 （ ）
A． 11π cm B． π cm C． 7π cm D． π cm
第三节 与圆有关的计算
A
衍生一 变设问［2023·衡水六区县二模］如图，某款“不倒翁”（图 1）的主视图是图 2，M 是“不倒翁”与水平面的接触点，PA，PB 分别与AMB 所在圆相切于点 A，B．将“不倒翁”向右作无滑动滚动，使点B与水平面接触，如图 3．若∠P=60°，水平面上点 M 与点 B 之间的距离为 4π，则AMB 所在圆的半径是 （ ）
A． 3 B． 6 C． 9 D． 12
第三节 与圆有关的计算
B
衍生二 变情境
如图，已知某一条传送带转动轮的半径为 20 cm，如果该转动轮转动了两周后又转过 120°，那么传送带上的物体 A 被传送的距离为 （ ）
第三节 与圆有关的计算
D
衍生三 变考法
如图，在△ABE 中，BE＞AE，延长 BE 到点 D，使 DE=BE，延长 AE 到点 C，使 CE=AE．以点 E 为圆心，分别以 BE，AE 为半径作大小两个半圆，连接 CD．
（1）求证：AB=CD；
（2）设小半圆与 BD 相交于点 M，BE=2AE=2．
①当 S△ABE 取得最大值时，求其最大值以及 CD 的长；
②当 AB 恰好与小半圆相切时，直接写出AM 的长．
第三节 与圆有关的计算
第三节 与圆有关的计算
解：（1）在△ABE和△CDE中，
BE=DE，
∠AEB=∠CED
AE=CE,
∴△ABE≌△CDE（SAS），
∴AB=CD；
第三节 与圆有关的计算
（2）①当 AE⊥BE 时，S△ABE 取得最大值，S△ABE 最大值 = ×2×1=1，在 Rt △ABE 中 ，AB= = = ，∴CD=AB= ；
② 或 π.
■题型二 扇形面积的计算（常考）
题型解法
对于不规则图形的计算，主要有以下方法：
（1）构造和差法
第三节 与圆有关的计算
（2）转化法（平移、旋转、对称等方法）
第三节 与圆有关的计算
例 2 ［2024·张家口一模］如图，点 B 在数轴上对应的数是-2，以原点 O 为圆心，OB 的长为半径作优弧AB ，使点 A 在原点的左上方，且 tan∠AOB= 3 姨 ，点 C 为 OB 的中点，点 D 在数轴上对应的数为 4．
（1）求扇形 AOB 的面积；
（2）点 P 是优弧AB 上任意一点，求∠PDB 的最大值．
第三节 与圆有关的计算
拓题 在（2）的条件下，当∠PDB 最大，且∠AOP＜180°时，固定△OPD 的形状和大小，以原点 O 为旋转中心，把△OPD 顺时针旋转 α°（0°≤α≤180°）.在这一过程中，阴影部分的面积 S 是否发生变化，如果不变，求出 S 的值.
第三节 与圆有关的计算
第三节 与圆有关的计算
解：（1）∵tan∠AOB= ，∴∠AOB=60°，
∴S 扇形 AOB= = ；
（2）如 图 ， 当 PD 与 ⊙O 相切时 ，∠PDB 的值最大．∵PD 是⊙O 的切线，∴OP⊥PD，∴∠OPD=90°，
∵sin∠PDO= = = ，
∴∠PDB=30°，
同理，当 DP′与⊙O 相切时，
∠BDP′=30°，
∴∠PDB 的最大值为 30°.
第三节 与圆有关的计算
拓题 S 的大小不变，如图，由（2）可知，
在 Rt△OPD 中，OP=2，∠PDO=30°，
∴∠POD=60°，PD=2 ，
∴S=S △OPD-S 扇形 OPQ = ×2 ×2 - =2 - π.∵ 旋转过程中△OPD 和扇形 OPQ 的面积都不变，∴S 的值不变，恒为 2 - π.(共29张PPT)
第二节 与圆有关的位置关系
■考点一 点与圆的位置关系
1. 点与圆的位置关系有三种，分别是点在圆上、①________、圆外.
2. 设圆的半径为 r，圆所在平面上任一点到圆心的距离为 d，如图 1，则点在圆外 d②_____r；点在圆上 d③_____r；点在圆④_____ d＜r.
点与圆的
位置关系
平面内的点与圆上距离最大和最小的点均在该点与圆心连线所在的直线上.如图 1，点 Ｐ 与⊙O 上的距离最大和最小的点分别是点 N 和点 M.
满分备考
圆内
＞
＝
内
第二节 与圆有关的位置关系
■考点二 直线与圆的位置关系（常考）
直线与圆的位置关系
（设⊙O 的半径为 r，
圆心到直线的距离为 d）
＞
一个
＜
两个
第二节 与圆有关的位置关系
■考点三 切线的性质与判定（必考）
切
线
直线与圆只有⑨_______ 公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的⑩______，这个点叫做 ______，如图 2，直线 l 是⊙O 的切线，点 _____ 是切点.
概念
圆的切线垂直于过切点的半径.如图 2，直线 l 是⊙O 的切线，则 l⊥ ______.
性质
切线性质说明了两方面内容：
（1）数量方面：圆心到切线的距离等于 _____；
（2）位置方面：切线 ______ 过切点的半径.
满分备考
一个
切线
切点
A
OA
半径
垂直于
第二节 与圆有关的位置关系
切
线
1. 经过圆心且垂直于切线的直线必过 _________.
2. 经过切点且垂直于切线的直线必过 ________.
推论
1. 定义法：满足切线定义（和圆有且仅有一个公共点的直线是圆的切线）即可.
判定
2. 判定定理法
具体内容：经过半径的 ______ 并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
运用情况：直线和圆的公共点明确.
一般步骤：如图 3，连接 OA，证明 OA⊥CD.
速记简称：有切点，连半径，证垂直.
切点
圆心
外端
第二节 与圆有关的位置关系
切
线
判定
3. 距离法
具体内容：如果圆心到一条直线的距离 __________ 圆的半径，那么这条直线是圆的切线.
运用情况：直线和圆的公共点不明确.
一般步骤：如图 3，作 OA⊥CD 于点 A，证明 OA=r.
速记简称：无公共点，作垂直，证相等.
等于
第二节 与圆有关的位置关系
切线长
及其
定理
1. 切线长
经过圆外一点作圆的切线，这点和 ______ 之间线段的长度叫做这点到圆的切线长，如图 4，线段 AB 的长度即为点 A 到⊙O 的切线长.
2. 切线长定理
从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长 _______，这一点和圆心的连线 ________ 两条切线的夹角.如图 4，AB，AC 是⊙O 的两条切线，则 AB= ______，∠OAB= ______= ______.
3. 如图 4，由切线长定理可得出的结论有：①AO⊥BC；②BD=CD；③BE =CE ；④OB⊥AB，OC⊥AC；⑤∠1=∠2=∠3=∠4 等.
切点
相等
平分
AC
∠OAC
∠BAC
第二节 与圆有关的位置关系
切线长
及其
定理
第二节 与圆有关的位置关系
一题串考点
如图，已知 D 为⊙O 上一点，点 C 在直径 BA 的延长线上，BE 与⊙O 相切，射线 CD 与⊙O 相切于点 D，与 BE 交于点 E，连接 OE 交 BD 于点 F，连接 AD，若∠EBD=60°，OE=3.
（1）DE=______；∠BEO=_______°；
（2）OB=______，OF=______；
（3）∠BDC=______°；
（4）AC 的长为 _______；
（5）点 D 到线段 AB 的距离为 _______.
30
120
第二节 与圆有关的位置关系
■考点四 三角形的内心与外心（常考）
三
角
形
的
外
接
圆
与
内
切
圆
垂直平分线
角平分线
相等
相等
第二节 与圆有关的位置关系
三
角
形
的
外
接
圆
与
内
切
圆
内部
外部
斜边中点
第二节 与圆有关的位置关系
三
角
形
的
外
接
圆
与
内
切
圆
第二节 与圆有关的位置关系
（１）在 Rt△ABC中，若两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，则内切圆半径为 ，外接圆半径为 ；
（2）若△ABC 的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为 r，则 S△ABC=
（a+b+c）r.
满分备考
正六边形的边长等于其外接圆的半径；正三角形的边长等于其外接圆半径的 倍；正方形的边长等于其外接圆半径的 倍.
满分备考
■题型一 三角形的内心与外心（常考）
题型解法
1. 三角形外心常见的关系：
2. 三角形内心常见的关系：
第二节 与圆有关的位置关系
例 1 ［2024·唐山古冶区二模］如图，点 I 为△ABC 的内心，AB=4，AC=3，BC=2，将∠ACB 平移使其顶点与 I 重合，则图中阴影部分的周长为 （ ）
A． 4.5 B． 4
C． 3 D． 2
第二节 与圆有关的位置关系
B
衍生一 变条件
［2024·邯郸模拟］如图，点 I 和 O 分别是△ABC的内心和外心，若∠AIB=125°，则∠AOB 的度数为 （ ）
A． 120° B． 125°
C． 135° D． 140°
第二节 与圆有关的位置关系
D
衍生二 如图，在△ABC 中，已知 AB=4 ，cosC= ，O 是△ABC 的外心，D 是AB 的中点，则 OD= （ ）
A． 2 B． C． 1 D．
第二节 与圆有关的位置关系
C
衍生三 变图形
［2024·石家庄 40 中二模］如图，点 I 为△ABC 的内心，AB=5，AC=4，BC=3，将△ACB 平移使其顶点与 I 重合，与 AB 边交于点 D，E，延长 EI 交 AC 于点 P，延长 DI 交 BC 于点 Q，则图中阴影部分的周长为 （ ）
A． 12 B． 9 C． 8 D． 6
第二节 与圆有关的位置关系
B
衍生四 如图，将 Rt△ABC 平移到△A′B′C′的位置，其中∠C=90°，使得点 C′与△ABC 的内心重合，已知 AC=4，BC=3，则阴影部分的面积为 （ ）
第二节 与圆有关的位置关系
D
■题型二 与切线的性质有关的证明与计算（必考）
题型解法
第二节 与圆有关的位置关系
例 2 ［2024·河北 25 题］已知⊙O 的半径为 3，弦 MN=2 ．△ABC 中，∠ABC=90°，AB=3，BC=3 ．在平面上，先将△ABC和⊙O 按图 1 位置摆放（点 B 与点 N 重合，点 A 在⊙O 上，点 C在⊙O 内），随后移动△ABC，使点 B 在弦 MN 上移动，点 A 始终在⊙O 上随之移动．设 BN=x.
（1）当点 B 与点 N 重合时，求劣弧AN 的长；
（2）当 OA∥MN 时，如图 2，求点 B 到 OA 的距离，并求此时x 的值；
（3）设点 O 到 BC 的距离为 d.
①当点 A 在劣弧MN 上，且过点 A 的切线与 AC 垂直时，求d 的值；
②直接写出 d 的最小值.
第二节 与圆有关的位置关系
第二节 与圆有关的位置关系
第二节 与圆有关的位置关系
解：如图 1，连接 OA，OB，
∵⊙O 的半径为 3，AB＝3，
∴OA＝OB＝AB＝3，
∴△AOB 为等边三角形，
∴∠AOB＝60°，
∴ 劣弧AN 的长为 =π；
第二节 与圆有关的位置关系
（2）如图 2，过 B 作 BI⊥OA 于点 I，过点 O 作 OH⊥MN 于点 H，连接 MO.∵OA ∥MN，∴ ∠IBH ＝ ∠BHO ＝∠HOI＝∠BIO＝90°，∴ 四边形 BIOH是矩形 ，∴BH ＝OI，BI ＝OH，∵MN =2 ，OH⊥MN，∴MH=NH= ，而 OM＝3，∴OH= =2=BI，
∴ 点 B 到 OA 的距离为 2；
∵AB＝3，BI⊥OA，∴AI= = ，
∴OI=OA-AI=3- =BH，
∴x=BN=BH+NH=3- + =3；
第二节 与圆有关的位置关系
（3）①如图 3，过点 O 作 OJ⊥BC 于点 J，OK⊥AB 于点 K.∵∠ABC＝90°，过点 A 的切线与 AC 垂直，∴AC 过圆心，易得四边形 KOJB 为矩形，
∴OJ＝KB，∵AB＝3，BC=3 ，
∴AC= =3 ，
∴cos∠BAC= = = = ，
∴AK = ，∴OJ =BK =3 - ，
即 d=3- ；
② .
练习 ［2019·河北 25 题］如图 1 和 2，在荀ABCD 中，AB＝3，BC＝15，tan∠DAB＝ ．点 P 为 AB 延长线上一点．过点 A 作⊙O 切 CP 于点 P．设 BP＝x．
（1）如图 1，x 为何值时，圆心 O 落在 AP 上？ 若此时⊙O 交 AD 于点 E，直接指出 PE 与 BC 的位置关系；
（2）当 x＝4 时，如图 2，⊙O 与 AC 交于点 Q，求∠CAP 的度数，并通过计算比较弦 AP 与劣弧PQ 长度的大小；
第二节 与圆有关的位置关系
（3）当⊙O 与线段 AD 只有一个公共点时，直接写出 x 的取值范围．
第二节 与圆有关的位置关系
（3）x≥18.
第二节 与圆有关的位置关系
解：（1）如图 1，AP 经过圆心 O，∵CP 与⊙O 相切于点 P，∴∠APC=90°，在 ABCD中，AD∥BC，∴∠PBC=∠DAB，∴ =tan∠PBC=tan∠DAB= ，设 CP=4k，BP=3k，由 CP 2+BP 2=BC2，得（4k）2+（3k）2=152，解得 k1=-3（舍去），k2=3，∴x=BP=3×3=9，
∴ 当 x=9 时，圆心 O 落在 AP 上.∵AP 是⊙O 的直径，∴∠AEP=90°，∴PE⊥AD，∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴BC∥AD，∴PE⊥BC；
第二节 与圆有关的位置关系
（2）如图 2， 过点 C 作 CG ⊥AP 延长线于点 G，∵ 在 ABCD 中，∴BC∥AD，∴∠CBG=∠DAB，∴ =tan ∠CBG =tan∠DAB= ，设 CG=4m，BG=3m，由勾股定理得（4m）2+（3m）2=152，解得 m=3（舍去负值），∴CG=4×3=12，BG=3×3=9，PG=BG-BP=9-4=5，AP=AB+BP=3+4=7，∴AG=AB+BG=3+9=12，∴tan∠CAP= =1，∴∠CAP=45°.连接 OP，OQ，过点 O 作OH⊥AP 于点 H，则∠POQ=2∠CAP=2×45°=90°，PH= AP= ，在Rt△CPG中，CP= =13，∵CP 是 ⊙O的切线，∴∠OPC=∠OHP=90°，∠OPH+∠CPG=90°，∠PCG+∠CPG=90°，
∴∠OPH=∠PCG，∴△OPH∽△PCG，
第二节 与圆有关的位置关系
∴ 弦 AP 的长度＞劣弧PQ 长度；
