(共6张PPT)
综合与实践 设计生日蛋糕包装盒
初中阶段综合与实践领域，可采用项目式学习的方式，在学习过程中，感知各种几何图形及其组成元素，依据图形的特征进行分类；建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型；利用图表分析实际情境与数学问题，探索解决问题的思路.
综合与实践 设计生日蛋糕包装盒
1. 素材一 某兴趣小组在数学社团活动中进行了项目化学习研究“如何设计生日蛋糕包装盒？ ”为便于研究，他们提出合理假设：为圆形生日蛋糕设计包装盒，包装盒由一个顶部为正方形的无底长方体盒子和一个正方形的底部托盘组成，其中顶部正方形和底部托盘边长相同．蛋糕装好后，用一根彩带从盒子上方缠绕一周，在底部打一个十字，再将彩带两端拉上来在盒子顶部打一个蝴蝶结，打包后的蛋糕如图 1 所示．
综合与实践 设计生日蛋糕包装盒
素材二 已知 6 寸，8 寸，10 寸，12 寸圆形蛋糕的直径分别为 15 cm，20 cm，25 cm，30 cm.若要制作一个可以装上述 4 种尺寸且厚度均为 10 cm 的圆形蛋糕的包装盒．图 2 是该兴趣小组设计的正方形托盘的平面示意图，虚线圆圈是放置蛋糕的区域，正方形托盘的边沿到这个圆形区域的最短距离为 1 cm，托盘高为 1 cm.
综合与实践 设计生日蛋糕包装盒
素材三 该兴趣小组利用边长为 72 cm 的正方形透明塑料板制作顶部为正方形的无底长方体盒子．在正方形透明塑料板的四角各剪掉一个同样大小的小正方形，如图 3 所示．将剩余部分折成一个无底长方体盒子．蛋糕顶部与盒子顶部的距离至少为 8 cm.设顶部正方形边长为 a cm，剪掉的小正方形边长为 h cm.
综合与实践 设计生日蛋糕包装盒
任务一 （1）写出 a，h 之间的关系式；
任务二 （2）求 a 的取值范围；
解：（1）根据题意得 a+2h=72，∴a 与 h 的关系式为 a=-2h+72；
（2）根据题意得
即 解得 32≤a≤34；
a≥30+1+1=32，
h≥10+1+8=19,
a≥32，
≥19,
综合与实践 设计生日蛋糕包装盒
任务三 （3）若用一根长为 240 cm 的彩带打包，要求预留 40 cm 的彩带打蝴蝶结，则彩带是否够用？
（3）根据题意得4×（32+19）+40=244（cm）＞240 cm，
∴ 彩带不够用．(共13张PPT)
培优专题一 图形的裁剪、拼接和折叠
思路点拨
在解决与图形剪拼相关的问题时，解题关键是利用不变的量，在剪拼的过程中，新图形（一个或多个）与原图形的面积一般保持不变.
培优专题一 图形的裁剪、拼接和折叠
类型一 图形的剪拼
练习一 如图，甲、乙是两张不同的平行四边形纸片，将它们分别沿着虚线剪开后，各自要拼接一个与原来面积相等的菱形，则 （ ）
A． 甲、乙都可以
B． 甲可以，乙不可以
C． 甲、乙都不可以
D． 甲不可以，乙可以
D
培优专题一 图形的裁剪、拼接和折叠
练习二 如图，有 4 张大小相同的正方形纸片，按图中的虚线剪开（同一图形中，作相同标记的两条线段相等），利用剪下来的两部分图形能拼成三角形和平行四边形的有 （ ）
A． 1 个
B． 2 个
C． 3 个
D． 4 个
B
培优专题一 图形的裁剪、拼接和折叠
练习三 如图，有一张一个角为 30°，最小边长为 2 的直角三角形纸片，沿图中所示的中位线剪开后，将两部分拼成一个四边形，所得四边形的周长是 （ ）
A． 8 或 2
B． 10 或 4+2
C． 10 或 2
D． 8 或 4+2
D
培优专题一 图形的裁剪、拼接和折叠
练习四 综合实践活动课上，小亮将一张面积为 24 cm2，其中一边 BC为 8 cm 的锐角三角形纸片（如图 1），经过两刀裁剪，拼成了一个无缝隙、无重叠的矩形 BCDE（如图 2），则矩形的周长为 _____ cm.
22
培优专题一 图形的裁剪、拼接和折叠
练习五 （1）如图 1，两个面积为 1 的小正方形可拼成一个大正方形，由此可得小正方形的对角线长为 ________；
（2）把长为 2，宽为 1 的两个小矩形进行裁剪，拼成如图 2 所示的一个大正方形（中间为小正方形），则小矩形的对角线的长为 ________．
培优专题一 图形的裁剪、拼接和折叠
方法点拨
解决与图形折叠相关的问题，利用不变的量和轴对称的性质是解题的关键.在折叠的过程中，折叠前后的图形关于折痕成轴对称图形，折叠前后的图形中对应线段的长度、对应角的度数均保持不变.
培优专题一 图形的裁剪、拼接和折叠
类型二 图形的折叠
练习六 ［2024·沧州任丘模拟］如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC的中点，将△ADE 沿线段 DE 向下折叠，得到图 2，下列关于图 2 的结论中，不一定成立的是 （ ）
A． DE∥BC
B． △DBA 是等腰三角形
C． 点 A 落在 BC 边的中点
D． ∠B+∠C+∠1=180°
C
培优专题一 图形的裁剪、拼接和折叠
练习七 ［2024·石家庄 42 中三模］如图，要判断一张纸带的两边 a，b 是否相互平行，提供了如下两种折叠与测量方案：
培优专题一 图形的裁剪、拼接和折叠
对于方案Ⅰ，Ⅱ，下列说法正确的是 （ ）
A． Ⅰ可行，Ⅱ不可行
B． Ⅰ不可行，Ⅱ可行
C． Ⅰ，Ⅱ都不可行
D． Ⅰ，Ⅱ都可行
D
培优专题一 图形的裁剪、拼接和折叠
练习八 （1）操作发现：如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=2∠B=90°，D 是 BC上一点，沿 AD 折叠△ADC，使得点 C 恰好落在 AB 上的点 E 处．请写出 AB，AC，CD 之间的关系 _____________；
（2）问题解决：如图 2，若（1）中∠C≠90°，其他条件不变，请猜想 AB，AC，CD 之间的关系，并证明你的结论；
（3）类比探究：如图 3，在四边形 ABCD 中，∠B=120°，∠D=90°，AB=BC，AD=DC，连接 AC，点 E 是 CD 上一点，沿 AE 折叠，使得点 D 恰好落在 AC 上的 F 处，若 BC=2 +2，直接写出 DE 的长．
AB=AC+CD
培优专题一 图形的裁剪、拼接和折叠
培优专题一 图形的裁剪、拼接和折叠
解：（2）AB=AC+CD．理由：如题图 2，
∵ 沿 AD 折叠△ADC，使得点 C 恰好落在 AB 上的点 E 处，
∴DC=DE，∠AED=∠C，AE=AC，
∵∠C=2∠B，
∴∠AED=2∠B，而∠AED=∠B+∠BDE，
∴∠B=∠BDE，∴EB=ED，ED=CD，
∴AB=AE+BE=AC+CD；
（3）DE 的长为 .(共8张PPT)
培优专题二 轴对称求最值
方法点拨
单动点单对称轴时 ，直线同侧两线段和转化为异侧，进而应用两点间线段最短如练习一和练习二.双动点单对称轴时 ，在上述基础上应用垂线段最短如练习三.
培优专题二 轴对称求最值
类型一 几何最值问题
练习一 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=4，点 D 为边 AB
的中点，点 P 为边 AC 上的动点，则 PB+PD 的最小值为 （ ）
C
培优专题二 轴对称求最值
练习二 如图，点 M 是边长为 2 的正六边形 ABCDEF 内的一点（不包括边界），且 AM⊥BM，P 是 FC 上的一点，N 是 AF 的中点，则 PN+PM的最小值为 （ ）
A． +2 B． +1 C． 3 D． 2
D
培优专题二 轴对称求最值
练习三 如图，在菱形 ABCD 中，∠D=135°，AD=3 ，CE=2，点 P 是线段 AC 上一动点，点 F 是线段 AB 上一动点，求 PE+PF 的最小值．
解：作点 E 关于 AC 的对称点G，连接 PG，则 PE=PG，CE=CG=2，连接 BG，过点 B 作 BH⊥CD 于点 H，∵∠D=135°，∴∠BCH=∠CBH=45°，
培优专题二 轴对称求最值
∵ 四边形 ABCD 是菱形，AD=3 ，∴BC =AD =3 ，
∴Rt △BHC 中 ，
BH=CH=BC·sin∠BCH=BC·sin∠45°=3 × =3，∴HG=HC-GC=3-2=1，∴Rt△BHG 中，BG= = = ，
∵ 当点 F 与点 B 重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），
∴PE+PF 的最小值是 ．
培优专题二 轴对称求最值
思路点拨
坐标系中求最值问题，要善于抓住两坐标轴互相垂直的关系来找对称.最后利用“三角形任意两边之和大于第三边”或“两点之间线段最短”把折线化“折”成“直”.
培优专题二 轴对称求最值
类型二 坐标系中的轴对称求最值
练习四 如图，已知抛物线 y=-x2+px+q 的对称轴为直线 x=-3，过其顶点 M 的一条直线 y=kx+b（k≠0）与该抛物线的另一个交点为 N（-1，1）． 要在坐标轴上找一点 P， 使得△PMN 的周长最小，则点 P 的坐标为 （ ）
A．（0，2） B．
C．（0，2）或 D． 以上都不正确
A
培优专题二 轴对称求最值
练习五 如图，网格纸上每个小正方形的边长为 1，点 A，点 C 均在格点上，点 P 为 x 轴上任意一点，则△PAC 周长的最小值为 ____________．
2(共27张PPT)
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
■考点一 投影的有关概念
由①______ 光线照射在物体上所形成的投影，叫做平行投影.
例子：太阳光线照射物体形成的投影.
投
影
平行投影
正投影：投影线②_____ 照射在投影面上的物体的投影叫做正投影.
中心投影
中心投影由一点射出的光线照射在物体上所形成的投影，叫做中心投影.
例子：蜡烛和灯泡的光线照射物体形成的投影.
同一时刻，同一地点太阳光下物高和其影长成正比，但灯光下物高和其影长不具备这样的性质.
失分警示
平行
垂直
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
■考点二 几何体的三视图及还原（必考）
常
见
几
何
体
的
三
视
图
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
1. 正方体的三视图是三个等大的正方形，球的三视图是三个等大的圆.
2. 长方体的三视图是三个矩形，但不一定相同.
3. 圆锥的俯视图不能忽略圆心，圆柱的三视图是两个等大的矩形和一个圆.
失分警示
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
根
据
三
视
图
还
原
几
何
体
1. 想象：根据三个视图，想象从三个方向看到的几何体形状.
2. 定形：综合确定几何体（实物原型）的形状.
3. 定大小和位置：在几何体的主视图、左视图、俯视图中，主视图可以反映几何体的③_____ 和④______，左视图可以反映几何体的⑤_______ 和⑥________，俯视图可以反映几何体的⑦______ 和⑧_______.
长
高
宽
高
长
宽
根据三视图判断几何体口诀：俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章
满分备考
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
一题串考点
一个几何体是由若干个棱长为 3 cm 的小正方体搭成的，从左面、上面看到的几何体的形状图如图所示.
（1）该几何体最少由 _____ 个小正方体组成，最多由 _____ 个小正方
体组成；
9
14
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
（2）画出用最多小正方体搭成的几何体的主视图；
（3）将该几何体的形状固定好，该几何体体积的最大值为 _______ cm3；
（4）若要给体积最小时的几何体表面涂上油漆，所涂油漆的面积为 ______ cm2．
378
324 或 342
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
■考点三 立体图形的展开与折叠（常考）
常
见
几
何
体
的
展
开
图
矩形
三角形
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
正
方
体
的
表
面
展
开
图
注：图中每两个颜色相同的面为相对面
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
正方体的表面展开图中，相对的面一定不相邻或没有公共
点，在展开图中不能出现“ ”（“田”字）“ ”“ ”
类型，若出现“ ”类型，则另两面一定在其两侧.
满分备考
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
立体图形的折叠
一个几何体能展开成一个平面图形，这个平面图形就可以折叠成相应的几何体，它们是一个互逆的过程.
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
最
短
路
径
问
题
求立体图形上两点之间最短距离的时候，一般先把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间，线段最短”原则，在平面图形上构造直角三角形解决此类问题.需要注意展开方式不同的立体图形需要确定哪种展开图能使两点之间最短.
举例：如图，圆柱上，点 A 处的蚂蚁要吃到点 B 处蜂蜜，最短距离是
圆柱的侧面展开图中线段 AB 的长度.
■题型一 几何体的认识（常考）
题型解法
柱体的特征
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
例 1 ［2022·河北 7 题］如图，①～④是由相同的小正方体粘在一起的几何体，若组合其中的两个，恰是由 6 个小正方体构成的长方体，则应选择（ ）
A． ①③ B． ②③ C． ③④ D． ①④
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
D
练习一 如图所示，陀螺是由下面哪两个几何体组合而成的 （ ）
A． 长方体和圆锥
B． 长方形和三角形
C． 圆和三角形
D． 圆柱和圆锥
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
D
练习二 如图，一个正方体模块，上面留有一个圆柱形孔洞，不可能堵上这个孔洞的几何体是 （ ）
A． 球 B． 圆柱 C． 圆锥 D． 长方体
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
D
■题型二 三视图的判断（常考）
题型解法
对于小正方体组合体，确定它的主视图时，从原组合体的正面看，主视图要看原组合体的列， 即原组合体有几列，则主视图便有几列，并且主视图中每列从上到下的正方形的个数就是看到的小正方体组合体对应列从上到下的小正方体的总层数.
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
例 2 ［2024·河北 6 题］如图是由 11 个大小相同的正方体搭成的几何体，它的左视图是 （ ）
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
D
拓题一 从主视图、左视图、俯视图中随机抽取一个视图，则抽取的视图是轴对称图形的概率为 ______．
拓题二 如图，取走几何体中的一个小正方体①，取走前后几何体的三种视图不变的是 （ ）
A． 左视图 B． 主视图
C． 俯视图 D． 三视图都改变
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
B
拓题三 再从几何体中去掉几个几何体，变成由 5 个小正方体组成的几何体（如图所示），棱长均为 1，把这个新几何体在桌面上顺时针旋转 90°后，主视图的面积为 （ ）
A． 3 B． 4 C． 5 D． 6
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
A
■题型三 由三视图判断几何体（常考）
题型解法
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
例 3 ［2023·河北 12 题］如图 1，一个 2×2 的平台上已经放了一个棱长为 1 的正方体，要得到一个几何体，其主视图和左视图如图 2，平台上至少还需再放这样的正方体 （ ）
A． 1 个 B． 2 个
C． 3 个 D． 4 个
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
B
衍生一 变图形 一个几何体由若干个大小相同的小正方体组成，如图是该几何体的三视图，则这个几何体是 （ ）
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
A
衍生二 变条件———问答反置
几个大小相同，且棱长为 1 的小正方体所搭成几何体的俯视图如图所示，图中小正方形中的数字表示在该位置小正方体的个数，则这个几何体的左视图的面积为 （ ）
A． 3 B． 4 C． 6 D． 9
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
B
■题型四 立体图形的展开与折叠（常考）
题型解法
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
正方体展开图 相间“Z”端是对面 先在同一层四个或三个连续相连的正方形中隔一面寻找，再在异层中隔两面寻找，剩下的两面自然相对
间二、拐角是邻面 中间隔着两个小正方形的面是正方体的邻面；拐角型的三个面是正方体的邻面
例 4［2021·河北 6 题］一个骰子相对两面的点数之和为 7，它的展开图如图所示，下面判断正确的是 （ ）
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
A
衍生一 变设问 小聪要制作一个正方体骰子， 使六个面上分别标有 1～6 个点， 而且相对的两个面的点数之和都等于 7，则以下展开图（如下左图）中，可以做成正方体骰子的有 （ ）
A． 4 个 B． 3 个 C． 2 个 D． 1 个
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
C
衍生二 变设问 如图，纸板上有 9 个小正方形（其中 5 个有阴影，4 个无阴影），从图中 4 个无阴影的小正方形中选出一个（剩余的剪掉），与 5 个有阴影的小正方形一起折成一个正方体的包装盒，不同的选法有 （ ）
A． 4 种 B． 3 种 C． 2 种 D． 1 种
第一节 视图与投影、立体图形的展开与折叠
C(共39张PPT)
第四节 图形的平移与旋转
■考点一 图形的平移与旋转（必考）
图
形
的
平
移
与
旋
转
图形的平移 图形的旋转
定义 在平面内，一个图形沿着一定的方向平移一定的距离，这样的图形运动称为平移. 把一个图形绕着平面内的某一点沿某个方向旋转一个角度的图形变换叫做旋转，这个点叫做旋转中心，转动的角度叫做旋转角.
第四节 图形的平移与旋转
续表
图示
要素 平移的①_______ 和②_______. 旋转中心、旋转⑥_______ 和旋转⑦______.
图
形
的
平
移
与
旋
转
方向
距离
方向
角度
第四节 图形的平移与旋转
续表
性质 （1）平移前后，对应线段③______，对应角④______； （2）各对应点所连接的线段⑤_______（或在同一条直线上）且相等； （3）平移前后的图形全等. （1）对应点到旋转中心的距离⑧_______；
（2）每对对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；
（3）旋转前后的图形全等.
图
形
的
平
移
与
旋
转
相等
相等
平行
相等
第四节 图形的平移与旋转
续表
作图 步骤 （1）确定平移的方向和距离； （2）找出原图形的关键点； （3）过关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移距离相等的线段，得到关键点的对应点； （4）按原图形依次连接各对应点，得到平移后的图形. （1）确定旋转中心、旋转方向和旋转角；
（2）找出原图形的关键点；
（3）连接关键点与旋转中心，按旋转方向与旋转角将它们旋转，得到各关键点的对应点；
（4）按原图形依次连接各对应点，得到旋转后的图形.
图
形
的
平
移
与
旋
转
第四节 图形的平移与旋转
图
形
的
平
移
与
旋
转
确定旋转中心的方法：
在图形的旋转过程中，判断旋转中心的位置，要看旋转中心是在图形上还是不在图形上；若在图形上，哪一点在旋转的过程中位置没有改变，哪一点就是旋转中心；若不在图形上，对应点连线的垂直平分线的交点就是旋转中心
第四节 图形的平移与旋转
1. 平移的距离相等，平移可以改变图形的位置和朝向，但不改变图形的形状和大小，平移是可逆的，即平移逆向运动之后返回原始位置.
2. 图形的平移可转化为平移前后某一对对应点的位置变化情况.
3. 中心对称是特殊的旋转，因为旋转涉及到相等的线段和相等的角，所以常常用到等腰三角形的相关性质解题.
满分备考
图形平移的距离是指连接一对对应点的线段的长度.在计算图形平移的距离时，首先找到一对对应点，连接它们的线段的长度即为平移的距离，注意表示平移距离长度的线段不唯一，要选择合适的线段进行计算.
失分警示
第四节 图形的平移与旋转
一题串考点
边长为 6 的等边三角形 ABC 中，点 D，E 分别在 AC，BC 边上，DE∥AB，EC=2 ．
（1）如图 1，将△DEC 沿射线 EC 方向平移，得到△D′E′C′，边 D′E′与 AC 的交点为 M.
①E′C′=_____，∠D′C′C=_____°；
②D′E′与 DE 的位置关系是 _________；
③判断 E′C，MC，ME′的数量关系 _________；
2
60
D′E′∥DE
E′C=MC=ME′
第四节 图形的平移与旋转
（2）如图 2，将△DEC 绕点 C 旋转∠α（0°＜α＜360°），得到△D′E′C，连接 AD′，BE′．D′E′的中点为 P．
①旋转中心为 ______，E′C=________，∠E′CD′=_________°；
②在旋转过程中，AD′和 BE′的数量关系是 ____________；
③连接 AP，当 AP 最大时，AD′的值为 ________________． （结果保留根号）
点 C
2
60
AD′=BE′
2
第四节 图形的平移与旋转
■考点二 图形变换与点的坐标关系
在平面直角坐标系中，若图形位置发生了平移、对称或旋转变换，其各点坐标也相应改变.设图形上任一点的坐标为（x，y）：
第四节 图形的平移与旋转
在平面直角坐标系中，已知点 P（-3，2）.若将点 P 向左平移 3 个单位长度，再向上平移 5 个单位长度得到点 Q的坐标是 ___________；点 P 关于 y 轴对称的点是 _______，关于 x 轴对称的点是 _______，关于原点对称的点是 _______，关于 B（1，2）对称的点是 _______；点 P 绕原点 O 顺时针方向旋转 90°所得的点是 _______．
即学即练
（-6，7）
（3，2）
（-3，-2）
（3，-2）
（5，2）
（2，3）
■题型一 与平移有关的计算及证明
题型解法
第四节 图形的平移与旋转
例1 ［2024·唐山遵化二模］如图，桌面内，直线 l 上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较大锐角的度数为 60°．将△ECD沿直线 l 向左平移，使 E 点落在 AB 上，即点 E′，点 P 为 AC 与 E′D′的交点．
（1）求∠CPD′的度数；
（2）求证：AB⊥E′D′．
第四节 图形的平移与旋转
第四节 图形的平移与旋转
解：（1）由平移的性质知 DE∥D′E′，∴∠CPD′=∠CED=60°；
（2）由平移的性质知 CE∥C′E′，EC∥E′C′，∠CED=∠C′E′D′=60°，
∴∠BE′C′=∠BAC=30°，
∴∠BE′D′=∠BE′C′+∠C′E′D′=90°，
∴AB⊥E′D′．
衍生一 变图象———四边形的平移
如图，将长为 6，宽为 4 的矩形 ABCD 先向右平移 2，再向下平移 1，得到矩形 A′B′C′D′，则阴影部分的面积为 （ ）
A． 12 B． 10
C． 8 D． 6
第四节 图形的平移与旋转
A
衍生二 变考法———结合坐标系
如图，平面直角坐标系中点 A 为 y 轴上一点，且 AO=2 ，以 AO 为底构造等腰三角形 ABO，且∠ABO=120°，将△ABO 沿着射线 OB 方向平移，每次平移的距离都等于线段 OB 的长，则第 2 023 次平移结束时，点 B 的对应点坐标为 （ ）
A．（2 022 ，2 022） B．（2 024，2 024 ）
C．（2 023，2 023） D．（2 024，2 023 ）
第四节 图形的平移与旋转
B
衍生三 变设问———求平移距离
问题情境：如图 1，已知△ABC 是等边三角形，AB=6，点 D 是 AC 边的中点，以 AD 为边，在△ABC 外部作等边三角形 ADE．
操作探究：将△ADE 从图 1 的位置开始，沿射线 AC 方向平移，点 A，D，E 的对应点分别为点 A′，D′，E′；
（1）如图 2，善思小组的同学画出了 BA′=BD′时的情形，求此时△ADE 平移的距离；
第四节 图形的平移与旋转
（2）如图 3，点 F 是 BC 的中点，在△ADE 平移过程中，连接 E′F 交射线 AC 于点 O，敏学小组的同学发现 OE′=OF 始终成立，请你证明这一结论；
拓展延伸：（3）在△ADE 平移的过程中，以 F，D′，E′为顶点的三角形成为直角三角形时，△ADE 平移的距离是 ___________．
第四节 图形的平移与旋转
第四节 图形的平移与旋转
解：（1）如图 1，连接 BD，
∵△ABC 是等边三角形，AB=6，点 D是 AC 边的中点，
∴AD=CD=3，BD⊥AC，
第四节 图形的平移与旋转
∵ 将△ADE 从题图 1 的位置开始，沿射线 AC 方向平移，点 A，D，E 的对应点分别为点 A′，D′，E′，
∴A′D′=AD=3；∵BA′=BD′，BD⊥AC，∴A′D=DD′= A′D′= ，
∴△ADE 平移的距离 DD′为 ；
第四节 图形的平移与旋转
（2）证明：如图 2，
∵△ADE 是等边三角形，AD=3，
∴∠DAE=60°，AE=3，
∵ 将△ADE 从题图 1 的位置开始，沿射线 AC
方向平移，点 A，D，E 的对应点分别为点 A′，D′，E′；
∴∠D′A′E′=∠DAE=60°，A′E′=3；
∵△ABC 是等边三角形，AB=6，点 F 是BC 边的中点，
∴∠ACB=60°，CF= BC=3，∴∠OA′E′=∠OCF=60°，A′E′=CF=3，
∵∠A′OE′=∠COF，∴△A′OE′≌△COF（AAS），∴OE′=OF；
第四节 图形的平移与旋转
（3）6 或 12
■题型二 与旋转有关的计算及证明（必考）
题型解法
在旋转变换中，常见的几类旋转模型如下：
①等腰直角三角形模型：如图 1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点 P 为△ABC内一点，将△APC 绕点 C 按逆时针方向旋转 90°，使得 AC 与 BC 重合，经过这样的旋转变换，得到的△P′CP 为等腰直角三角形；
第四节 图形的平移与旋转
②等边三角形模型：如图2，在等边三角形 ABC 中，点 P 是△ABC 内一点，将△ABP 绕点 A 按逆时针方向旋转 60°，使得 AB 与 AC 重合 ，经过这样的旋转变换，得到的△APP′为等边三角形；
③正方形模型：如图 3，在正方形 ABCD中，点P为正方形ABCD内一点，将△ABP绕点 B 按顺时针方向旋转 90°，使得BA 与 BC 重合，经过这样的旋转变换，得到的△PBP′为等腰直角三角形.
第四节 图形的平移与旋转
例 2 ［2023·河北 26 题］如图 1 和图 2，平面上，四边形 ABCD 中，AB＝8，BC=2 ，CD＝12，DA＝6．∠A＝90°，点 M 在 AD 边上，且 DM＝2．将线段 MA 绕点 M 顺时针旋转 n°（0＜n≤180）到 MA′，∠A′MA 的平分线 MP 所在直线交折线 AB-BC 于点P，设点 P 在该折线上运动的路径长为 x（x＞0），连接 A′P．
第四节 图形的平移与旋转
（1）若点 P 在 AB 上，求证：A′P＝AP；
（2）如图 2，连接 BD．
①求∠CBD 的度数，并直接写出当 n＝180 时，x 的值；
②若点 P 到 BD 的距离为 2，求 tan∠A′MP 的值；
（3）当 0＜x≤8 时，请直接写出点 A′到'线 AB 的距离（用含 x 的式子表示）．
第四节 图形的平移与旋转
解：（1）证明：将线段 MA 绕点 M 顺时针旋转 n°（0＜n≤180）到 MA′，
∴A ′ M = AM，∵∠A′MA 的平分线 MP 所在直线交折线 AB-BC 于点 P，
∴∠A′MP=∠AMP，又 ∵PM=PM，∴△A′MP≌△AMP（SAS），∴A′P=AP；
解：（2）①x=13 提示：∵AB=8，DA=6，∠A=90°，∴BD= =10，
∵BC= ，CD=12，∴BC2+BD2=（ ）2+102=144，
∴CD2=122=144，∴BC2+BD2=CD2，∴∠CBD=90°，如图 1，当 n=180 时，
∵PM 平分∠A′MA，∴∠PMA=90°，∴PM∥AB，∴△DNM∽△DBA，
∴ ，∵DM=2，DA=6，∴ ，∴DN= ，MN= ，
∴BN=BD-DN= ，
∵∠PBN=∠NMD=90°，∠PNB=∠DNM，∴△PBN∽△DMN，
∴ ，即 解得 PB=5，∴x=AB+PB=8+5=13；
第四节 图形的平移与旋转
解：（2）如图 2，当点 P 在 AB 上时，PQ=2，∠A′MP=∠AMP，
∵sin∠DBA= ，∴BP= ，
∴AP=AB-BP=8- ，
∴tan∠A′MP =tan∠AMP = ；
如图 3，当点 P 在 BC 上时，则 BP=2，过点 P 作 PQ⊥AB 交 AB 的延长线于点 Q，延长 MP 交 AB 的延长线于点 H，
∵∠PQB=∠CBD=∠DAB=90°，∴∠QPB=90°-∠PBQ=∠DBA，
∴△PQB∽△BAD，∴ ，即 ，∴PQ= ,BQ= ， ∴AQ=AB+BQ= ，∵PQ⊥AB，DA⊥AB，∴PQ∥AD，∴△HPQ∽△HMA，
第四节 图形的平移与旋转
解：∴ ，∴ ，解得 HQ= ，
∴tan ∠A′ MP =tan ∠AMP =tan ∠QPH = .
综上所述，tan∠A′MP 的值为 或 ；
（3）点 A′到直线 AB 的距离为 .
第四节 图形的平移与旋转
练习一 如图 1，将两个完全相同的三角形纸片 ABC 和 DEC 重合放置，其中∠C=90°，∠B=∠E=30°．
（1）操作发现 如图 2，固定△ABC，使△DEC 绕点 C 旋转，当点 D 恰好落在 AB 边上时，填空：
①线段 DE 与 AC 的位置是 ____________；
②设△BDC 的面积为 S1，△AEC 的面积为 S2，则 S1 与 S2 的数量关系是 ____________；
第四节 图形的平移与旋转
DE∥AC
S1=S2
（2）猜想论证 当△DEC 绕点 C 旋转到如图 3 所示的位置时，小明猜想（1）中 S1 与 S2 的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC 和△AEC 中 BC，CE 边上的高，请你证明小明的猜想．
第四节 图形的平移与旋转
第四节 图形的平移与旋转
解：（2）∵△DEC 是由△ABC 绕点 C 旋转得到，∴△ABC≌△DEC，
∴BC =CE，AC =CD，∵ ∠BCA =90° ，∠DCE=90°，E，C，N 三点共线，
∴ ∠ ACN + ∠ BCN = 90 ° ， ∠ DCM +∠BCN=180°-90°=90°，
∴∠ACN=∠DCM，在△ACN 和△DCM 中，
∠ACN=∠DCM，
∠N=∠CMD=90°，
AC=DC,
∴△ACN≌△DCM（AAS），
∴AN=DM，∴△BDC 的面积和△AEC的面积相等（等底等高的三角形的面积相等），即 S1=S2．
练习二 如图 1，在菱形 ABCD 中，AB=2 ，∠ABC=60°，对角线 AC，BD 交于点 O，过点 D 作 BC 的垂线，交 BC 的延长线于点 H，且 CH=OC，E 为 BC 的中点，过点 E 作 EF⊥BC 交 BD 于点 F．
（1）求证：△OCD≌△HCD；
（2）将△BEF 沿 BD 方向以每秒 1 个单位长度的速度平移到△B′E′F（′ 如图 2），当点 F′与点 D 重合后，立即绕点 D 以每秒 3 度的速度逆时针方向旋转 120°停止运动（如图 3）．
第四节 图形的平移与旋转
①线段 EF 从平移开始，到绕点 D 旋转结束，求边 EF 扫过的面积；②求在旋转过程中，B′C 的最大值与最小值的差；③若点 M 在 CD 上，且 DM= ，求点 M 在△B′E′F′内部（包括边界）时的时长.
第四节 图形的平移与旋转
第四节 图形的平移与旋转
解：（1）证明：∵ 四边形 ABCD为菱形，∴AC⊥BD．
在 Rt△OCD 和 Rt△HCD 中，
OC=HC，
DC=DC,
∴Rt△OCD≌Rt△HCD（HL）；
（2）①如图 1，线段 EF 在平移过程中扫过的面积为平行四边形 FEE′D 的面积．过点 F 作 FN⊥EE′于点 N．
第四节 图形的平移与旋转
∵EE′∥BD，∴∠E′EH=∠DBC=30°，
在 Rt△BEF 中，∵BE= BC= AB= ，∠DBC= ∠ABC=30°，
∴BF= =2，EF= BF=1．
在 Rt△EFN 中，∵EF=1，∠FEE′=90°-∠E′EH=60°，
∴FN=EF·sin60° = ，∵∠ABC =60°，AB=BC，∴△ABC 为等边三角形，∴AC=2 ，∴OC=CH= AC= ，∴BH=BC+CH=3 ，
第四节 图形的平移与旋转
在 Rt△BHD 中，∵∠DBH=30°，BH=3 ，∴BD= =6，∴DF=BD-BF=4，S 平行四边形 FEE′D=FN·EE′= ×4=2 ，∵ 线段 EF 旋转扫过的面积是圆心角为 120°，半径为 1 的扇形面积，∴S 扇形= = ．
∴ 线段 EF 扫过的面积为 2 + ；
②DB′在旋转过程中形成以点 D 为圆心，DB′长为半径，圆心角为 120°的扇形，如图 2 所示，
第四节 图形的平移与旋转
设 DC 交B′B′′于点 B1，连接 CB″，
∵DB1=DB′=BF=2，DC=2 ，∴B′Cmin=B1C=DC-DB1=2 -2，
∴∠CDB″=∠ODB″-∠ODC=120°-30°=90°，∵CD=2，DB″=2，
∴B′Cmax=B″C= =4．
∴B′Cmax-B′Cmin=B″C-B1C=4-（2 -2）=6-2 ；
第四节 图形的平移与旋转
③如图 3，平移过程中，当点 M 在 E′F′边上时，在△DF′M中，∠BDC=∠F′MD=30°，过点 F′作 F′N⊥CD 于点 N，则 DN= DM= ，∴DF′= = ，∴F′运动到点 D 所用的时间为 = （s）；
第四节 图形的平移与旋转
如图 4，设当△BEF 平移到△B′E′F′时，B′E′与 CD 交于 M′，
在 Rt△DM′E′中，∠CDH=30°，
∴DM′= = cm，
∴ 点 M 与 M′重合，此时的旋转角∠BDC=30°，
∴ 旋转过程中，旋转角为 30°时，
∴ 点 M 运动的时长为 30°÷3°=10（ｓ），
∴ 点 M 在△B′E′F′内部（包括边界）时的时长为 10+ =10（s）.(共32张PPT)
第三节 图形的对称
■考点一 轴对称和轴对称图形（常考）
轴对
称
和
轴
对
称
图
形
轴对称图形 轴对称
图形 示例
定义 如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全①_____，那么这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做 如果两个图形沿某条直线对折后，这两个图形能够完全③_______，那么我们就说这两个图形成轴对称，这条直线叫做④__________.如上
重合
重合
对称轴
第三节 图形的对称
续表
轴对
称
和
轴
对
称
图
形
定义 ②________.如上图，△ABC 是轴对称图形，直线 l 为对称轴. 图，△ABC 与△A′B′C′关于直线 l 成轴对称.
对称轴
第三节 图形的对称
续表
轴对
称
和
轴
对
称
图
形
性质 被对称轴分成的两部分是全等图形. （1）对应点的连线被对称轴⑤__________；
（2）对应线段⑥_____，对应角⑦______；
（3）对应线段或其延长线的交点在⑧______ 上；
（4）成轴对称的两个图形⑨_______.
垂直平分
相等
相等
对称轴
全等
第三节 图形的对称
续表
轴对
称
和
轴
对
称
图
形
区别 （1）轴对称图形是指具有特殊形状的一个图形； （2）对称轴不一定只有一条 （1）轴对称是指两个全等图形之间的位置关系；
（2）对称轴只有一条.
常见轴对称图形：线段、角、等腰三角形、矩形、菱形、正方形、正 n（n 是正整数）边形、圆、完整的二次函数图象、反比例函数图象等；常见对称轴：中垂线、角平分线、y=- （二次函数）、y=x，y=-x（反比例函数）.
满分备考
第三节 图形的对称
1. 对称轴是一条直线，而不是射线或线段.
2. 成轴对称的两个图形全等，而全等的两个图形不一定成轴对称，轴对称是和位置有关的一种图形变换.
失分警示
第三节 图形的对称
■考点二 中心对称和中心对称图形（常考）
中心对称
图形与
中心对称
第三节 图形的对称
中心对称
图形与
中心对称
180°
对称中心
对应点
对称中心
180°
对称中心
对称中心
平分
平行
第三节 图形的对称
确定对称中心的方法：
1. 连接一组对应点，所连线段的中点即为对称中心.
2. 把两组对应点分别连接，两线段的交点即为对称中心.
常见既是中心对称又是轴对称的图形：菱形、正方形、矩形、正六边形、圆.
满分备考
第三节 图形的对称
■考点三 折叠问题（常考）
折
叠
问
题
︵翻
折
变
换
︶
第三节 图形的对称
1. 几何图形折叠的实质是 _________，位于折痕两侧的图形关于折痕 _________.
2. 折叠前后的两部分图形 _________，对应边、角、线段、周长、面积等均 ________.
3. 折叠前后，对应点的连线被折痕 _________.
满分备考
轴对称
成轴对称
全等
相等
垂直平分
第三节 图形的对称
■考点四 利用对称解决与线段长有关的最值问题
最
值
问
题
第三节 图形的对称
最
值
问
题
第三节 图形的对称
（1）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，D 为 AB 的中点，P 为 BC 上一动点，连接 AP，DP，则 AP+DP 的最小值是 _______；
（2）如图 2，在等腰三角形 ABC 中，AB=AC=13，BC=10，D 是 BC 边上的中点，M，N 分别是 AD 和 AB 上的动点．则BM+MN 的最小值是 __________；
（3）如图 3，AB=AC=5，∠BAC=110°，AD是∠BAC 内的一条射线，且∠BAD=25°，P 为 AD 上一动点，则 PB-PC 的最大值是 _________．
即学即练
6
5
第三节 图形的对称
即学即练
第三节 图形的对称
■考点五 图形的裁剪与拼接（常考）
常
见
的
裁
剪
拼
接
意直角三角形，找其中两条边的中点，沿着中点连线裁剪，可拼成平行四边形：
等腰直角三角形沿着斜边中点裁剪，可拼成平行四边形：
第三节 图形的对称
常
见
的
裁
剪
拼
接
大小两个正方形拼成大正方形：
当 时，正方形拼成矩形：
第三节 图形的对称
1. 图形剪拼中总面积不变，总周长发生变化.
2. 一个图形裁剪成两个图形，周长增加两个裁剪痕迹的长.
3. 两个图形拼成一个图形，周长减少两个拼接口的长.
满分备考
■题型一 对称图形的识别（常考）
题型解法
第三节 图形的对称
轴对称图形 中心对称图形
判断方法 ①有对称轴———直线； ②图形沿对称轴折叠 ，对称轴两边的图形完全重合. ①有对称中心———点；
②图形绕对称中心旋转180°，旋转前后的图形完全重合.
若一个图形既是轴对称图形（对称轴不止一条）又是中心对称图形，则对称轴的交点必是对称中心 例 1 ［2024·河北 3 题］如下左图，AD 与 BC 交于点 O，△ABO 和△CDO 关于直线 PQ 对称，点 A，B 的对称点分别是点 C，D．下列不一定正确的是 （ ）
A． AD⊥BC B． AC⊥PQ
C． △ABO≌△CDO D． AC∥BD
第三节 图形的对称
A
衍生一 变考法———问答反置
如上图，OE 是∠AOB 的平分线，BD⊥OA 于点 D，AC⊥BO 于点 C，则关于直线 OE 对称的三角形共有 _________ 对．
第三节 图形的对称
4
衍生二 变条件———中心对称
如图，△ABC 与△A′B′C′关于点 O 成中心对称，有以下结论：①点A 与点 A′是对称点；②BO=B′O；③AB∥A′B′；④∠ACB=∠C′A′B′．其中正确结论的序号为 _________．
第三节 图形的对称
①②③
■题型二 与折叠有关的证明与计算
题型解法
折叠问题（轴对称变换）的本质是全等变换，折叠前的部分与折叠后的部分是全等图形.折痕可看成垂直平分线（折痕垂直平分连接两个对应点的连线），折痕还可看成角平分线（对称线段所在的直线与折痕的夹角相等）.
第三节 图形的对称
例 2 ［2024·唐山曹妃甸区模拟］如图 1，等边三角形纸片 ABC 中，AB=12，点 D 在边 BC 上（不与点 B，C 重合），CD=4，点 E 在边 AC上，将△CDE 沿 DE 折叠得到△C′DE（其中点 C′是点 C 的对应点）．
（1）当点 C′落在 AC 上时，依题意补全图 2，并指出 C′D 与 AB的位置关系；
（2）如图 3，当点 C′落到∠ACB 的平分线上时，判断四边形CDC′E 的形状并说明理由；
（3）当点 C′到 AB 的距离最小时，求 CE 的长；
（4）当 A，C′，D 三点共线时，直接写出∠AEC′的余弦值．
第三节 图形的对称
第三节 图形的对称
第三节 图形的对称
解：（1）补全图如图 1 所示.
C′D∥AB， 理由：∵△ABC 是等边三
角形，∴∠A=∠C=60°，
由折叠知，∠CC′D=∠C=60°，
∴∠CC′D=∠A，∴C′D∥AB；
第三节 图形的对称
（2）四边形 CDC′E 的形状是菱形，理由：由折叠知 CD=DC′，CE=EC′，
∴∠DCC′=∠DC′C，∠ECC′=∠EC′C，∵ 点 C′落到∠ACB 的平分线上，∴∠EC′C=∠DC′C，∠ECC′=∠DCC′
在△CDC′和△CEC′中，
∠DCC′=∠ECC′，
CC′=CC′，
∠DC′C=∠EC′C,
∴△CDC′≌△CEC（′ ASA），
∴CD=DC′=CE=EC′，∴ 四边形 CDC′E 的形状是菱形；
第三节 图形的对称
（3）由题意知，当点 C′到 AB 的距离最小时，DC′的延长线垂直 AB 于点F，过点 D 作 DH⊥AC 于点 H，如图2 所示，
∵∠B=60°，∠BFD=90°，∴∠FDC=180°-∠FDB=150°，
由折叠知，∠CDE= ∠FDC=75°，
∵∠C=60°，∠DHC=90°，
∴ ∠HDC =30° ，∴ ∠EDH = ∠CDE -∠HDC=75°-30°=45°，∵CD=4，∴CH= CD=2，DH=2 ，∵△EDH 为等腰直角三角形，∴EH=DH=2 ，
∴CE=CH+EH=2+2 ； （4）cos∠AEC′=
拓题一 （5）当 B，C′，E 三点共线时.求 AE 的长.
第三节 图形的对称
解 ：（5）如图 ，过点 D 作 DG⊥EC′于点G，过点E作EH⊥CD于点H，
第三节 图形的对称
∵△CDE 关于 DE 的轴对称图形为△C′DE，∴DC′=DC=4，∠EC′D=∠C=60°，∵GD⊥EC′，∠EC′D=60°，
∴C′G= DC′=2，DG= C′G=2 ，
∵AB =BC =AC =12，CD=4，∴BD =BC -CD=12-4=8，∵BD2=DG2+BG2，
∴64=12+（BC′+2）2，∴BC′=2 -2，
∴BG=2 ，∵EH⊥BC，∠C=60°，∴CH= EC2 ，EH= HC= EC，
∵∠GBD=∠EBH，∠BGD=∠BHE=90°，∴△BGD∽△BHE，
第三节 图形的对称
∴ =，∴ =，
∴EC=2（ -1），∴AE=AC-EC=12-2（ -1）=14-2 .
拓题二 （6）如图 1，当点 C′在△ABC 内部时，求∠BDC′+∠AEC′的度数.
第三节 图形的对称
解 ：（6）如图，连接 CC′，
第三节 图形的对称
∵∠AEC′是△CEC′的一个外角，
∴∠AEC′=∠ECC′+∠EC′C①，
∵∠BDC′是△CDC′的一个外角，
∴∠BDC′=∠DCC′+∠DC′C②，
∵△CDE 关于 DE 的轴对称图形为△C′DE，
∴CD=DC′，CE=EC′，∠DCE=∠DC′E，
∴∠DCC′=∠DC′C，∠ECC′=∠EC′C.
由①+②得∠AEC′+∠BDC′=∠DCE+
∠DC′E=2∠DCE=2×60°=120°.(共29张PPT)
第二节 尺规作图
■考点一 五种基本尺规作图（必考）
五
种
基
本
尺
规
作
图
作图内容 步骤 作图依据 图示
类型一 作一条线段 等于已知线段 （1）作射线 OP；（2）在 OP 上截取 OA=①______，线段 OA 即为所求作的线段. 圆上的点到圆心的距离等于半径.
a
第二节 尺规作图
续表
五
种
基
本
尺
规
作
图
作图内容 步骤 作图依据 图示
类型二 作角平分线 （1）以点 O 为圆心，②______ 为半径作弧，分别交 OA，OB于点 N，M； （2）分别以点 M，N 为圆心，③________ 的长为半径作弧，两弧相交于点 P；（3）过点 O 作射线 OP，OP即为所求作的角平分线. 三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等；两点确 定一条直线.
任意长
大于 MN
第二节 尺规作图
续表
五
种
基
本
尺
规
作
图
作图内容 步骤 作图依据 图示
类型三 作一个角 等于已知角 （1）在∠α 上以点 O 为圆心，以④________ 为半径作弧，交∠α 的两边于点 P，Q；（2）作射线 O′A；（3）以点 O′为圆心，⑤___________ 长为半径作弧，交 O′A 于点 M；（4）以点 M为圆心，⑥______ 长为半径作弧，交前弧于点 N；（5）过点 N 作射线O′B，则∠BO′A 即为所求作的角. 三边分别相等的两个三角形全等，全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线.
任意长
OP（或 OQ）
PQ
第二节 尺规作图
续表
五
种
基
本
尺
规
作
图
作图内容 步骤 作图依据 图示
类型四 作线段的 垂直平分线 （1）分别以点 A，B 为圆心，⑦____________ 长为半径，在 AB 两侧作弧，两弧分别交于点 M和点 N；（2）过点 M，N 作直线 MN，则直线 MN 即为所求作线段 AB 的垂直平分线. 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线.
大于 AB
第二节 尺规作图
续表
五
种
基
本
尺
规
作
图
作图内容 步骤 作图依据 图示
类型五 过一点作已知直线的垂线（平行线） 过直线上一点O 作已知 直线的垂线 （1）以直线上的点 O 为圆心，任意长为半径向点 O两侧作弧，交直线于点A，B；（2）分别以点 A，B 为圆心，以大于 AB 长为半径在直线两侧作弧，交点分别为 M，N；（3）过点M，N 作直线 MN，则直线MN 即为所求作的垂线. 等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线.
第二节 尺规作图
续表
五
种
基
本
尺
规
作
图
类型五 过一点作已知直线的垂线（平行线） 过直线外 一点 P 作已知直线的垂线 （1）在直线的另一侧取点 M；（2）以点 P 为圆心、PM 的长为半径画弧，交直线于点 A，B；（3）分别以点A，B 为圆心，大于 AB 长为半径画弧，在点 M 的同侧交于点 N； （4）过点 P，N 作直线 PN，则直线PN 即为所求作的垂线. 到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线.
第二节 尺规作图
续表
五
种
基
本
尺
规
作
图
类型五 过一点作已知直线的垂线（平行线） 过直线外一点 P 作已知直线的平行线 （1）一固：固定三角尺，让一条直角边和已知直线重合（边线重合）； （2）二靠：把直尺紧靠在三角板的另一直角边上；（3）三移：直尺固定不动，使三角板沿着直尺移动，使其边与直线外已知点 P 重合； （4）四画：沿三角板过已知点 P 的直角边画出直线，所画直线为所求，与已知直线平行. 平行线的性质（两 直线平行，同位角 相等）.
第二节 尺规作图
一题串考点
如图，4 幅图中的∠C=45°，AC＞AB.
（1）图甲中 BN_____CE，MN_____EF（选填“=”或“≠”）；
（2）在图甲、图乙、图丙中，∠PBC=_________°；
（3）图丙中的基本作图是 __________________________________________；
=
=
45
过直线外一点作已知直线的垂线
第二节 尺规作图
（4）图丁中∠APB=_______°.
90
第二节 尺规作图
■考点二 利用基本作图作图形
常
见
基
本
尺
规
作
图
形
式
第二节 尺规作图
常
见
基
本
尺
规
作
图
形
式
第二节 尺规作图
常
见
基
本
尺
规
作
图
形
式
第二节 尺规作图
常
见
基
本
尺
规
作
图
形
式
第二节 尺规作图
常
见
基
本
尺
规
作
图
形
式
第二节 尺规作图
1. 三角形的外心是三角形外接圆的圆心，即三边垂直平分线的交点；三角形的内心是三角形内切圆的圆心，即三条角平分线的交点.
2. 过一点能作无数个圆，过两点能作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可作出一个圆.
满分备考
■题型一 判断作图痕迹（常考）
题型解法
尺规作图是用无刻度的直尺和圆规作图，直尺可作出射线、线段和直线，圆规可作出圆和圆弧，它使用的直尺和圆规带有想象性质，跟现实中的并非完全相同．直尺必须没有刻度，无限长，且只能使用直尺的固定一侧．只可以用它来将两个点连在一起，不可以在上画刻度．圆规可以开至无限宽，但上面亦不能有刻度．它只可以拉开成你之前构造过的长度．
第二节 尺规作图
例 1 ［2024·河北 5 题］观察图中尺规作图的痕迹，可得线段 BD一定是△ABC 的 （ ）
A． 角平分线
B． 高线
C． 中位线
D． 中线
第二节 尺规作图
B
练习一 如下左图 1，使用尺规经过直线 l 外的点 P 作已知直线 l的平行线，作图痕迹如图 2，下列关于图中的四条弧线①，②，③，④的半径长度的说法中，正确的是 （ ）
A． 弧②、③的半径长度可以不相等
B． 弧①的半径长度不能大于 AP 的长度
C． 弧④以 PA 的长度为半径
D． 弧③的半径可以是任意长度
第二节 尺规作图
C
第二节 尺规作图
练习二 如图，尺规作∠HFG=∠ABC，作图痕迹中弧 MN 是 （ ）
A． 以点 F 为圆心，以 BE 长为半径的弧
B． 以点 F 为圆心，以 DE 长为半径的弧
C． 以点 G 为圆心，以 BE 长为半径的弧
D． 以点 G 为圆心，以 DE 长为半径的弧
第二节 尺规作图
D
练习三 如图，在△ABC 中，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论不一定正确的是 （ ）
A． ∠BAE=∠CAE B． BE=CE C． BD=CD D． BF=CF
第二节 尺规作图
B
■题型二 根据尺规作图痕迹进行计算或证明（常考）
题型解法
第二节 尺规作图
例 2 ［2024·石家庄 41 中二模］如图，已知在△ABC中，∠A=70°，AC=BC， 根据图中尺规作图痕迹，∠ACE= （ ）
A． 4° B． 5°
C． 8° D． 10°
第二节 尺规作图
B
练习一 已知∠MAN=40°，用圆规和没有刻度的直尺，按如图所示的步骤作出△ABC，观察图中的作图痕迹，可以得出∠ABC 的度数为 （ ）
A． 30°
B． 25°
C． 15°
D． 10°
第二节 尺规作图
C
练习二 在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC，AB=6，用尺规作图的方法作线段 AD和线段 DE，保留作图痕迹如图所示，认真观察作图痕迹，则△BDE 的周长是
（ ）
A． 3 B． 3
C． 6 D． 6
第二节 尺规作图
D
■题型三 根据尺规作图步骤判断结论正误（常考）
题型解法
分析题目中用到的尺规作图，如：①作平行线的实质是作等角；②作三角形中线的实质是作线段的垂直平分线；③作三角形的外接圆的实质是作线段的垂直平分线；④作三角形内切圆的实质是作角平分线、过一点作已知线段的垂线；⑤作一个三角形全等于已知三角形的实质是作一个角等于已知角，及该角两边等于已知角的两边等．
第二节 尺规作图
例 3 ［2024·秦皇岛北戴河区一模］阅读以下作图步骤：①在 OA和 OB 上分别截取 OC，OD，使 OC=OD；②分别以点 C，D 为圆心，以大于 12 CD 的长为半径作弧，两弧在∠AOB 内交于点 M；③作射线 OM，连接 CM，DM，如图所示．根据以上作图，一定可以推得的结论是 （ ）
A． ∠1=∠2 且 CM=DM
B． ∠1=∠3 且 CM=DM
C． ∠1=∠2 且 OD=DM
D． ∠2=∠3 且 OD=DM
第二节 尺规作图
A
练习“经过已知角一边上的一点，作一个角等于已知角”的尺规作图过程如下：已知：如图 1，∠AOB 和 OA 上一点 C．求作：一个角等于∠AOB，使它的顶点为 C，一边为 CA．作法：如图 2，第一步：在 OA 上取一点 D，以点 O 为圆心，OD 长为半径画弧，交 OB 于点 E；第二步：以点 C 为圆心，OD 长为半径画弧，交 CA 于点 F，以点 F 为圆心，DE 长为半径画弧，两弧交于点 G；第三步：作射线 CG．则∠GCA 就是所求作的角．此作图的依据中不含有 （ ）
第二节 尺规作图
D
A． 三边分别相等的两个三角形全等
B． 全等三角形的对应角相等
C． 两点确定一条直线
D． 两直线平行，内错角相等
第二节 尺规作图
