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第6讲 一元二次方程及其应用
1．(2023·新疆)用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是( D )
A．(x＋6)2＝28 B．(x－6)2＝28
C．(x＋3)2＝1 D．(x－3)2＝1
2．(2024·贵州)一元二次方程x2－2x＝0的解是( B )
A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0
C．x1＝3，x2＝－2 D．x1＝－2，x2＝－1
3．(2024·吉林)下列方程中，有两个相等实数根的是( B )
A．(x－2)2＝－1 B．(x－2)2＝0
C．(x－2)2＝1 D．(x－2)2＝2
4．(2024·眉山)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670 kg增长到了2023年的780 kg.设该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为( B )
A．670×(1＋2x)＝780
B．670×(1＋x)2＝780
C．670×(1＋x2)＝780
D．670×(1＋x)＝780
5．(2024·凉山州)若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为( A )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．
6．(2024·乐山)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0的两根为x1，x2，且＋＝3，则p的值为( A )
A．－ B．
C．－6 D．6
7．(2024·河北)淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a的值为( C )
A．1 B．－1
C．＋1 D．1或＋1
8．(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为( C )
A．17或13 B．13或21
C．17 D．13
9．(2024·黑龙江)若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取值范围是( D )
A．m≤4 B．m≥4
C．m≥－4且m≠2 D．m≤4且m≠2
10．(2024·巴中)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0的一个根为－2，则另一个根为__4__．
11．(2024·泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是__14__．
12．解下列方程：
(1)(2024·齐齐哈尔)x2－5x＋6＝0；
解：因式分解，得(x－2)(x－3)＝0，
则x－2＝0或x－3＝0，
解得x1＝2，x2＝3.
(2)(2024·安徽)x2－2x＝3.
解：移项，得x2－2x－3＝0.
因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0，
解得x1＝3，x2＝－1.
13．(2024·南充)已知x1，x2是关于x的方程x2－2kx＋k2－k＋1＝0的两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．
解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－2k)2－4×1×(k2－k＋1)＝4k2－4k2＋4k－4＝4k－4＞0，
解得k＞1.
(2)∵1＜k＜5，
∴整数k为2或3或4.
当k＝2时，方程为 x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3；
当k＝3或4时，此时方程的解不为整数．
综上所述，k的值为2.
14．某公司设计了一款工艺品，每件的成本为40元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价为50元时，每天的销售量为100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．
(1)要使每天销售这种工艺品盈利1 350元，每件工艺品的售价应为多少元？
(2)公司每天销售这种工艺品获利能否达到2 000元？请说明理由．
解：(1)设每件工艺品的售价为x元，则每天的销售量为[100－2(x－50)]件．
依题意，得(x－40)[100－2(x－50)]＝1 350，
整理，得x2－140x＋4 675＝0，
解得x1＝55，x2＝85(不合题意，舍去).
答：每件工艺品的售价应为55元．
(2)不能达到2 000元．理由如下：
设每件工艺品的售价为y元，则每天的销售量为[100－2(y－50)]件．
依题意，得(y－40)[100－2(y－50)]＝2 000，
整理，得y2－140y＋5 000＝0.
∵Δ＝1402－4×5 000＝－400＜0，
∴该方程无解，
∴公司每天销售这种工艺品获利不能达到2 000 元．
15．(2024·绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是( B )
A．x2＋6x＋5＝0 B．x2－7x＋10＝0
C．x2－5x＋2＝0 D．x2－6x－10＝0
16．(2024·凉山州)已知y2－x＝0，x2－3y2＋x－3＝0，则x的值为__3__．
17．(2024·烟台)若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－4m＋n2的值为__6__．
18．如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠B＝30°，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点B移动，点Q从点B出发，以2 cm/s的速度向点C移动．当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动，P，Q两点同时出发．
(1)经过几秒后△PBQ的面积为4 cm2
(2)△PBQ的面积能否为5 cm2？并说明理由．
解：(1)过点Q作QE⊥AB于点E，则∠QEB＝90°，
S△PBQ＝PB·QE.
∵∠B＝30°，
∴2QE＝QB.
设经过t s后△PBQ的面积为4 cm2，
∴PB＝(6－t)cm，QB＝2t cm，QE＝t cm，
∴·(6－t)·t＝4，
解得t1＝2，t2＝4.
当t＝4时，2t＝8，8>7，不合题意，舍去，取t＝2.
答：经过2 s后△PBQ的面积为4 cm2.
(2)当S△PBQ＝5 cm2时，·(6－t)·t＝5，
即t2－6t＋10＝0.
∵Δ＝(－6)2－4×1×10＝－4<0，
∴方程没有实数根，
∴△PBQ的面积不能为5 cm2.
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第6讲 一元二次方程及其应用
1．(2023·新疆)用配方法解一元二次方程x2－6x＋8＝0，配方后得到的方程是( D )
A．(x＋6)2＝28 B．(x－6)2＝28
C．(x＋3)2＝1 D．(x－3)2＝1
2．(2024·贵州)一元二次方程x2－2x＝0的解是( B )
A．x1＝3，x2＝1 B．x1＝2，x2＝0
C．x1＝3，x2＝－2 D．x1＝－2，x2＝－1
3．(2024·吉林)下列方程中，有两个相等实数根的是( B )
A．(x－2)2＝－1 B．(x－2)2＝0
C．(x－2)2＝1 D．(x－2)2＝2
4．(2024·眉山)眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670 kg增长到了2023年的780 kg.设该村水稻亩产量年平均增长率为x，则可列方程为( B )
A．670×(1＋2x)＝780
B．670×(1＋x)2＝780
C．670×(1＋x2)＝780
D．670×(1＋x)＝780
5．(2024·凉山州)若关于x的一元二次方程(a＋2)x2＋x＋a2－4＝0的一个根是x＝0，则a的值为( A )
A．2 B．－2
C．2或－2 D．
6．(2024·乐山)若关于x的一元二次方程x2＋2x＋p＝0的两根为x1，x2，且＋＝3，则p的值为( A )
A．－ B．
C．－6 D．6
7．(2024·河北)淇淇在计算正数a的平方时，误算成a与2的积，求得的答案比正确答案小1，则a的值为( C )
A．1 B．－1
C．＋1 D．1或＋1
8．(2024·赤峰)等腰三角形的两边长分别是方程x2－10x＋21＝0的两个根，则这个三角形的周长为( C )
A．17或13 B．13或21
C．17 D．13
9．(2024·黑龙江)若关于x的一元二次方程(m－2)x2＋4x＋2＝0有两个实数根，则m的取值范围是( D )
A．m≤4 B．m≥4
C．m≥－4且m≠2 D．m≤4且m≠2
10．(2024·巴中)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋k＝0的一个根为－2，则另一个根为__4__．
11．(2024·泸州)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的两个实数根，则(x1－x2)2＋3x1x2的值是__14__．
12．解下列方程：
(1)(2024·齐齐哈尔)x2－5x＋6＝0；
解：因式分解，得(x－2)(x－3)＝0，
则x－2＝0或x－3＝0，
解得x1＝2，x2＝3.
(2)(2024·安徽)x2－2x＝3.
解：移项，得x2－2x－3＝0.
因式分解，得(x－3)(x＋1)＝0，
解得x1＝3，x2＝－1.
13．(2024·南充)已知x1，x2是关于x的方程x2－2kx＋k2－k＋1＝0的两个不相等的实数根．
(1)求k的取值范围；
(2)若k＜5，且k，x1，x2都是整数，求k的值．
解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－2k)2－4×1×(k2－k＋1)＝4k2－4k2＋4k－4＝4k－4＞0，
解得k＞1.
(2)∵1＜k＜5，
∴整数k为2或3或4.
当k＝2时，方程为 x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3；
当k＝3或4时，此时方程的解不为整数．
综上所述，k的值为2.
14．某公司设计了一款工艺品，每件的成本为40元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价为50元时，每天的销售量为100件，而销售单价每提高1元，每天就减少售出2件，但要求销售单价不得超过65元．
(1)要使每天销售这种工艺品盈利1 350元，每件工艺品的售价应为多少元？
(2)公司每天销售这种工艺品获利能否达到2 000元？请说明理由．
解：(1)设每件工艺品的售价为x元，则每天的销售量为[100－2(x－50)]件．
依题意，得(x－40)[100－2(x－50)]＝1 350，
整理，得x2－140x＋4 675＝0，
解得x1＝55，x2＝85(不合题意，舍去).
答：每件工艺品的售价应为55元．
(2)不能达到2 000元．理由如下：
设每件工艺品的售价为y元，则每天的销售量为[100－2(y－50)]件．
依题意，得(y－40)[100－2(y－50)]＝2 000，
整理，得y2－140y＋5 000＝0.
∵Δ＝1402－4×5 000＝－400＜0，
∴该方程无解，
∴公司每天销售这种工艺品获利不能达到2 000 元．
15．(2024·绥化)小影与小冬一起写作业，在解一道一元二次方程时，小影在化简过程中写错了常数项，因而得到方程的两个根是6和1；小冬在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根是－2和－5.则原来的方程是( B )
A．x2＋6x＋5＝0 B．x2－7x＋10＝0
C．x2－5x＋2＝0 D．x2－6x－10＝0
16．(2024·凉山州)已知y2－x＝0，x2－3y2＋x－3＝0，则x的值为__3__．
17．(2024·烟台)若一元二次方程2x2－4x－1＝0的两根为m，n，则3m2－4m＋n2的值为__6__．
18．如图，在△ABC中，AB＝6 cm，BC＝7 cm，∠B＝30°，点P从点A出发，以1 cm/s的速度向点B移动，点Q从点B出发，以2 cm/s的速度向点C移动．当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动，P，Q两点同时出发．
(1)经过几秒后△PBQ的面积为4 cm2
(2)△PBQ的面积能否为5 cm2？并说明理由．
解：(1)过点Q作QE⊥AB于点E，则∠QEB＝90°，
S△PBQ＝PB·QE.
∵∠B＝30°，
∴2QE＝QB.
设经过t s后△PBQ的面积为4 cm2，
∴PB＝(6－t)cm，QB＝2t cm，QE＝t cm，
∴·(6－t)·t＝4，
解得t1＝2，t2＝4.
当t＝4时，2t＝8，8>7，不合题意，舍去，取t＝2.
答：经过2 s后△PBQ的面积为4 cm2.
(2)当S△PBQ＝5 cm2时，·(6－t)·t＝5，
即t2－6t＋10＝0.
∵Δ＝(－6)2－4×1×10＝－4<0，
∴方程没有实数根，
∴△PBQ的面积不能为5 cm2.
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第二章 方程(组)与不等式(组)
第6讲 一元二次方程及其应用
考点提升训练
D
B
B
B
A
A
C
C
D
4
14
(2)∵1＜k＜5，
∴整数k为2或3或4.
当k＝2时，方程为 x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3；
当k＝3或4时，此时方程的解不为整数．
综上所述，k的值为2.
解：(1)∵原方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝(－2k)2－4×1×(k2－k＋1)＝4k2－4k2＋4k－4＝4k－4＞0，
解得k＞1.
B
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6
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