6.2.2 排列数 课件（共22张PPT）

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6.2.2 排列数
第 六 章 计 数 原 理
1.能用计数原理推导排列数公式；
2.掌握几种有限制条件的排列，能用排列数公式解决简单的实际问题．
情景：在某次家长座谈会中，要给参会的30位学生家长安排座位，一共有多少种坐法？这样的排列顺序问题能否用一个公式来表示呢？
前面给出了排列的定义，研究一个排列问题，往往只需知道所有排列的个数而无需一一写出所有的排列，那么能否不通过一一写出所有的排列而直接“得”出所有排列的个数呢？下面探究计算排列个数的公式.
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列.
排列定义
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数, 叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，并用符号表示.
排列数的定义：
排列的第一个字母
元素总数
取出元素数
m，n所满足的条件是：
(1) m∈N*，n∈N* ；
(2) m≤n .
探究：从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数(m≤n)是多少？
可以先从特殊情况开始探究，例如求排列数 . 根据前面的求解经验，可以这样考虑：
假定有排好顺序的两个空位 , 如图所示 , 从n个不同的元素中取出2个元素去填空, 一个空位填一个元素, 每一种填法就得到一个排列
因此，所有不同填法的种数就是 .
现在我们计算有多少种填法. 完成填空这件事可分为两个步骤：
第1步，填第1个位置的元素，可以从这n个元素中任选1个，有n种方法；
第2步，填第2个位置的元素，可以从剩下的(n-1)个元素中任选1个，有(n-1)种方法；
根据分步乘法计数原理，2个空位的填法种数为
=n(n-1).
第1位
第2位
第3位
n-2
n
n-1
同理，求排列数按依次填3个空位来考虑，有
=n(n-1)(n-2).
假定有排好顺序的m个空位，如图，从n个不同元素中取出m个元素去填空，一个空位填1个元素，每一种填法就对应一个排列.
第1步, 从n个不同元素中任选1个填在第1位上, 有n种选法；
第2步 , 从剩下的(n-1)个元素中任选1个填第2位上 , 有(n-1)种选法；
填空可分为m个步骤：
一般地，求排列数可以按依次填m个空位来考虑：
· · · · · ·
第1位
第2位
第3位
第m位
n
n-1
n-2
n-m+1
第3步, 从剩下的(n-2)个元素中任选1个填在第3位上, 共有(n-2)种选法；
第m步, 从剩下的n-(m-1)个元素中任选1个填第m位上，共有n-m+1种选法；
根据分步乘法计数原理，m个空位的填法种数为：
n(n-1)(n-2) (n-m+1).
这样，我们就得到公式：
=n(n-1)(n-2) (n-m+1).
这里, m, n∈N*, 并且m≤n. 这个公式叫做排列数公式.
……
排列数公式的特点：
1. 公式中是m个连续正整数的连乘积；
2. 连乘积中最大因数为n，后面依次减1，最小因数是(n－m＋1).
全排列数：
从n个不同素中取出n个元素的一个排列称为n个不同 元素的一个全排列 .
全排列数为:
排列数公式：
阶乘：正整数1到n的连乘积 1×2×···×n称为n的阶乘，用 表示, 即
思考：排列和排列数的区别？
×
×
×
√
例1. 计算：（1）
解：根据排列数公式可得
（1）
（2）
（3）
（4）
排列数的计算方法:
(1)排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行，应用时注意：连续正整数的积可以写成某个排列数，其中最大的是排列元素的总个数，而正整数(因式)的个数是选取元素的个数，这是排列数公式的逆用．
(2)应用排列数公式的阶乘形式时，一般写出它们的式子后，再提取公因式，然后计算，这样往往会减少运算量．
归纳总结
思考：由例题可以看出
观察这两个结果，你发现了它们的共性了吗？
即
排列数公式的阶乘形式：
排列数公式的应用：
连乘形式一般用于的计算，
阶乘形式用于化简或证明.
练习：求证：
证明：
例2.用0~9这10个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？
解法1：如图，由于三位数的百位上的数字不能是0，所以可以分两步完成：
第1步, 确定百位上的数字, 可以从1~9这9个数字中取出1个, 有种取法;
第2步，确定十位和个位上的数字，可以从剩下的9个数字中取出2个，有种取法.
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为
第1类，每一位数字都不是0的三位数, 可以从1~9这9个数字中取出3个, 有种取法；
解法2：如图，符合条件的三位数可以分成三类：
第2类，个位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和十位，有种取法；
第3类，十位上的数字是0的三位数，可以从剩下的9个数字中取出2个放在百位和个位，有种取法.
0
0
根据分步乘法计数原理，所求的三位数的个数为
解法3: 从0~9这10个数字中选取3个的排列数为 , 其中0在百位上的排列数为，它们的差就是用这10个数组成的没有重复数字的三位数的个数，
0
即所求三位数的个数为
练习1：用数字2，3，4，5，6组成没有重复数字的五位数，其中偶数的个数为(　　)
A.120 B.72 C.60 D.48
B
练习2：为弘扬我国古代的“六艺文化”，某夏令营主办单位计划利用暑期开设“礼”“乐”“射”“御”“书”“数”六门体验课程，每周一门，连续开设六周.若课程“乐”不排在第一周，课程“御”不排在最后一周，则所有可能的排法种数为(　　)
A.216 B.480 C.504 D.624
C