6.2.3 组合 课件（共19张PPT）
文档属性
| 名称 | 6.2.3 组合 课件（共19张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 8.3MB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2025-01-20 15:07:34 | ||
图片预览
文档简介
(共19张PPT)
6.2.3 组合
学习目标
1. 理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.
2. 能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式
及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明.
3. 能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的
应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的 能力.
新知引入
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).
1.排列的定义
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示.
2.排列数的定义
3.排列数的计算
（1）排列数公式(1)：
（2）全排列数:
（3）排列数公式(2)：
新知引入
问题1：这两个问题有何不同？
甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、乙丙、丙乙，共有=6种.
甲乙、甲丙、乙丙，共有3种.
问题2 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？
将具体问题背景舍去，上述问题可以概括为：
从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.
从已知的3个不同元素中每次取出2个元素合成一组
排列问题
组合问题
组合与元素顺序无关
排列与元素顺序有关
这里每一组与顺序无关，我们把这种问题称为组合问题.
新知引入
新知学习
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
1.组合定义:
注意：
(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.
(2)组合的特性：元素的无序性. 取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求.
问题2：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？
新知引入
新知学习
排列 组合
定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列. 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
相同点 不同点
完成这件事步骤
从n个不同元素中取出m个元素
元素的顺序有关
元素的顺序无关
第一步、取
→ 第二步、排
仅一步、取
组合
甲乙
甲丙
乙丙
甲乙，乙甲
甲丙，丙甲
乙丙，丙乙
排列
问题1和问题2中“排列”和“组合”的对应关系：
排列、组合的联系与区别
新知引入
新知学习
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合 为什么
思考二:两个相同的排列有什么特点 两个相同的组合呢
１）元素相同；
２）元素排列顺序相同.
元素相同
构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.
思考三:组合与排列有联系吗
组合，元素相同、顺序不同
练一练
(1) 设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
(2) 某铁路线上有6个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票
有多少种不同的火车票价？
(3) 4名同学分成人数相同的舞蹈和书法两个课外小组，共有多少种分法
(4) 5人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次
(5) 从3个风景点中选出2个游览，有多少种不同的方法
(6)从4个风景点中选出2个，分别在上午和下午去游览，有多少种不同的游览方法
1.判断下列问题是组合问题还是排列问题
(7).校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色、绿色的各3辆.
①从中选3辆，有多少种不同的方法 ②从中选3辆给3位同学,有多少种不同的方法
排列问题
组合问题
组合问题
组合问题
排列问题
组合问题
组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.
组合问题
排列问题
组合问题
练一练
(1) 设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
(2) 某铁路线上有6个车站，则这条铁路线共上有多少种不同的火车票价？
(3) 4名同学分成人数相同的舞蹈和书法两个课外小组，共有多少种分法
2.写出下列问题中所有不同的组合种数
{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,c,d},{a,c,e},{a,d,e},{b,c,d},{b,c,e},{b,d,e},{c,d,e}共10种
设6个车站为A,B,C,D,E,F，车票种数AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF共15种
设4名同学为A,B,C,D，选择舞蹈的同学组合有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种，剩下的两名同学选书法
新知学习
典例解析
平面内有A，B，C，D共4个点.
(1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
(2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条
例1
平面内有A，B，C，D共4个点.
(1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
(2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条
思路点拨
在 (1)确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题;
(2)确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题
新知学习
典例解析
平面内有A，B，C，D共4个点.
(1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
(2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条
例1
平面内有A，B，C，D共4个点.
(1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
(2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条
解：(1)一条有向线段的端点要分起点和端点，以平面内4个 点中的两个点为端点的有向线段的条数，就是从4个元素中取出2个元素的排列数，共有 条.
(2) 将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为1条线段,就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数, 共有如下6条：AB, AC, AD, BC, BD, CD.
这12条有向线段分别为
结论：取出2个元素的组合的个数是排列数的一半.
合作交流
问题：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？
进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数
新知学习
练习1
1. 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛.
(1) 列出所有各场比赛的双方；
(2) 列出所有冠、亚军的可能情况.
解：(1) 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁.
(2)
冠军 甲 甲 甲 乙 乙 乙 丙 丙 丙 丁 丁 丁
亚军 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙
随堂练习
解：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD 共4个.
1. 已知平面内A, B, C, D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形.
2. 现有1, 3, 7, 13这4个数.
(1) 从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和
(2) 从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差
解：(1) 不相等的和为4, 8, 14, 10, 16, 20，共6个.
(2) 不相等的差为－2, －6, －12, 2, －4, －10, 6, 4, 12, 10，共10个.
随堂练习
3.按下列条件，从甲、乙、丙、丁、戊、戌6人中选出3人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙二人必须当选； （2）甲、乙二人不能当选；
（3）甲必须当选，乙不能当选； （4）甲、乙二人中只有一人当选；
解：(1) 从剩下的4人中选出1人，有丙、丁，戊，戌共4种结果.
(2) 从剩下的4人中选出3人，有丙丁戊、丙丁戌，丙戊戌，丁戊戌共4种结果.
(3) 从除甲乙之外剩下的4人中选出2人，有丙丁、丙戊，丙戌，丁戊，丁戌，戊戌共6种结果.
随堂练习
3.按下列条件，从甲、乙、丙、丁、戊、戌6人中选出3人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙二人必须当选； （2）甲、乙二人不能当选；
（3）甲必须当选，乙不能当选； （4）甲、乙二人中只有一人当选；
(4)分两类情况：
第一类情况 甲当选乙没有当选，从除甲乙之外剩下的4人中选出2人，有丙丁、丙戊，丙戌，丁戊，丁戌，戊戌共6种结果，
第二类情况 乙当选甲没有当选，从除甲乙之外剩下的4人中选出2人，有丙丁、丙戊，丙戌，丁戊，丁戌，戊戌共6种结果，
由分类加法计数原理，共有6+6=12种.
课堂小结
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
1.组合定义:
2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法：
排列问题
组合问题
若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
(1)判断是否为组合问题;(2)是否分类或分步;(3)根据组合的相关知识进行求解.
3.求一个组合问题的所有组合个数的基本方法：
课时作业
作业
1.《选择性必修第三册》P26“复习巩固” 4、7
2.“综合运用” 14，
*3.现有1，3，7，13这4个数．
（1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和
（2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差
拓展：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色、绿色的各3辆.如何快速计算下列各问题？
①.从中选3辆，有多少种不同的方法 ②.从中选3辆给3位同学,有多少种不同的方法
课时作业
*3.现有1，3，7，13这4个数．
（1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和
（2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差
6.2.3 组合
学习目标
1. 理解组合、组合数的概念及组合和排列之间的区别与联系.
2. 能利用计数原理推导组合数公式，并熟练掌握组合数公式
及组合数的性质，能运用组合数的性质化简、计算、证明.
3. 能运用排列数公式、组合数公式和计数原理解决一些简单的
应用问题，提高数学应用能力和分析问题、解决问题的 能力.
新知引入
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement).
1.排列的定义
我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示.
2.排列数的定义
3.排列数的计算
（1）排列数公式(1)：
（2）全排列数:
（3）排列数公式(2)：
新知引入
问题1：这两个问题有何不同？
甲乙、乙甲、甲丙、丙甲、乙丙、丙乙，共有=6种.
甲乙、甲丙、乙丙，共有3种.
问题2 从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？
问题1 从甲、乙、丙3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动，另1名同学参加下午的活动，有几种不同的选法？
将具体问题背景舍去，上述问题可以概括为：
从已知的3个不同元素中每次取出2个元素,按照一定的顺序排成一列.
从已知的3个不同元素中每次取出2个元素合成一组
排列问题
组合问题
组合与元素顺序无关
排列与元素顺序有关
这里每一组与顺序无关，我们把这种问题称为组合问题.
新知引入
新知学习
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
1.组合定义:
注意：
(1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出.
(2)组合的特性：元素的无序性. 取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求.
问题2：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？
新知引入
新知学习
排列 组合
定义 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列. 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
相同点 不同点
完成这件事步骤
从n个不同元素中取出m个元素
元素的顺序有关
元素的顺序无关
第一步、取
→ 第二步、排
仅一步、取
组合
甲乙
甲丙
乙丙
甲乙，乙甲
甲丙，丙甲
乙丙，丙乙
排列
问题1和问题2中“排列”和“组合”的对应关系：
排列、组合的联系与区别
新知引入
新知学习
思考一:ab与ba是相同的排列还是相同的组合 为什么
思考二:两个相同的排列有什么特点 两个相同的组合呢
１）元素相同；
２）元素排列顺序相同.
元素相同
构造排列分成两步完成，先取后排；而构造组合就是其中一个步骤.
思考三:组合与排列有联系吗
组合，元素相同、顺序不同
练一练
(1) 设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
(2) 某铁路线上有6个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票
有多少种不同的火车票价？
(3) 4名同学分成人数相同的舞蹈和书法两个课外小组，共有多少种分法
(4) 5人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候,共需握手多少次
(5) 从3个风景点中选出2个游览，有多少种不同的方法
(6)从4个风景点中选出2个，分别在上午和下午去游览，有多少种不同的游览方法
1.判断下列问题是组合问题还是排列问题
(7).校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色、绿色的各3辆.
①从中选3辆，有多少种不同的方法 ②从中选3辆给3位同学,有多少种不同的方法
排列问题
组合问题
组合问题
组合问题
排列问题
组合问题
组合是选择的结果，排列是选择后再排序的结果.
组合问题
排列问题
组合问题
练一练
(1) 设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的子集有多少个
(2) 某铁路线上有6个车站，则这条铁路线共上有多少种不同的火车票价？
(3) 4名同学分成人数相同的舞蹈和书法两个课外小组，共有多少种分法
2.写出下列问题中所有不同的组合种数
{a,b,c},{a,b,d},{a,b,e},{a,c,d},{a,c,e},{a,d,e},{b,c,d},{b,c,e},{b,d,e},{c,d,e}共10种
设6个车站为A,B,C,D,E,F，车票种数AB,AC,AD,AE,AF,BC,BD,BE,BF,CD,CE,CF,DE,DF,EF共15种
设4名同学为A,B,C,D，选择舞蹈的同学组合有AB,AC,AD,BC,BD,CD,共6种，剩下的两名同学选书法
新知学习
典例解析
平面内有A，B，C，D共4个点.
(1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
(2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条
例1
平面内有A，B，C，D共4个点.
(1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
(2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条
思路点拨
在 (1)确定一条有向线段，不仅要确定两个端点，还要考虑它们的顺序，是排列问题;
(2)确定一条线段，只需确定两个端点，而不需考虑它们的顺序，是组合问题
新知学习
典例解析
平面内有A，B，C，D共4个点.
(1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
(2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条
例1
平面内有A，B，C，D共4个点.
(1) 以其中2个点为端点的有向线段共有多少条
(2) 以其中2个点为端点的线段共有多少条
解：(1)一条有向线段的端点要分起点和端点，以平面内4个 点中的两个点为端点的有向线段的条数，就是从4个元素中取出2个元素的排列数，共有 条.
(2) 将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为1条线段,就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数, 共有如下6条：AB, AC, AD, BC, BD, CD.
这12条有向线段分别为
结论：取出2个元素的组合的个数是排列数的一半.
合作交流
问题：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？
进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数
新知学习
练习1
1. 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛.
(1) 列出所有各场比赛的双方；
(2) 列出所有冠、亚军的可能情况.
解：(1) 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁.
(2)
冠军 甲 甲 甲 乙 乙 乙 丙 丙 丙 丁 丁 丁
亚军 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙
随堂练习
解：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD 共4个.
1. 已知平面内A, B, C, D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形.
2. 现有1, 3, 7, 13这4个数.
(1) 从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和
(2) 从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差
解：(1) 不相等的和为4, 8, 14, 10, 16, 20，共6个.
(2) 不相等的差为－2, －6, －12, 2, －4, －10, 6, 4, 12, 10，共10个.
随堂练习
3.按下列条件，从甲、乙、丙、丁、戊、戌6人中选出3人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙二人必须当选； （2）甲、乙二人不能当选；
（3）甲必须当选，乙不能当选； （4）甲、乙二人中只有一人当选；
解：(1) 从剩下的4人中选出1人，有丙、丁，戊，戌共4种结果.
(2) 从剩下的4人中选出3人，有丙丁戊、丙丁戌，丙戊戌，丁戊戌共4种结果.
(3) 从除甲乙之外剩下的4人中选出2人，有丙丁、丙戊，丙戌，丁戊，丁戌，戊戌共6种结果.
随堂练习
3.按下列条件，从甲、乙、丙、丁、戊、戌6人中选出3人，有多少种不同选法？
（1）甲、乙二人必须当选； （2）甲、乙二人不能当选；
（3）甲必须当选，乙不能当选； （4）甲、乙二人中只有一人当选；
(4)分两类情况：
第一类情况 甲当选乙没有当选，从除甲乙之外剩下的4人中选出2人，有丙丁、丙戊，丙戌，丁戊，丁戌，戊戌共6种结果，
第二类情况 乙当选甲没有当选，从除甲乙之外剩下的4人中选出2人，有丙丁、丙戊，丙戌，丁戊，丁戌，戊戌共6种结果，
由分类加法计数原理，共有6+6=12种.
课堂小结
一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合．
1.组合定义:
2.判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法：
排列问题
组合问题
若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关.
若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关.
(1)判断是否为组合问题;(2)是否分类或分步;(3)根据组合的相关知识进行求解.
3.求一个组合问题的所有组合个数的基本方法：
课时作业
作业
1.《选择性必修第三册》P26“复习巩固” 4、7
2.“综合运用” 14，
*3.现有1，3，7，13这4个数．
（1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和
（2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差
拓展：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色、绿色的各3辆.如何快速计算下列各问题？
①.从中选3辆，有多少种不同的方法 ②.从中选3辆给3位同学,有多少种不同的方法
课时作业
*3.现有1，3，7，13这4个数．
（1）从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和
（2）从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差