6.3.2 二项式系数的性质 课件（共19张PPT）

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6.3.2 二项式系数的性质
第 六 章 计 数 原 理
1.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.
2.理解二项式系数的性质并能进行简单运用．

1.二项式定理：
Tk＋1=
2.二项展开式的通项：
3.二项式系数：
探究1 ：用计算工具计算(a＋b)n的展开式的二项式系数，并填入下表中.
(a＋b)1
(a＋b)2
(a＋b)3
(a＋b)4
(a＋b)5
(a＋b)6
n (a＋b)n的展开式的二项式系数 1
2
3
4
5
6
杨辉三角形
二项式系数的性质
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
为了便于发现规律, 上表还可以写成如下所示的形式:
观察上图，你还能发现哪些规律
①在同一行中 , 每行两端都是1 , 与这两个1等距离的项的系数相等 . 即：
②在相邻的两行中, 除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和 . 即：
杨辉三角形
对于确定的n，我们还可以画出它的图像．
Cnr可看成是以r为自变量的函数f(r),其定义域是：
例如，当n=6 时，f(r)=Cnr (r∈{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6})的图象是右图中的7个离散点．
f(r)
r
6
3
O
6
15
20
1
10
对于(a+b)n展开式的二项式系数：
还可以从函数角度来分析它们.
性质1. 对称性
由此我们可得二项式系数有以下性质：
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
事实上，这一性质可直接由公式 得到．
图象的对称轴为
性质2.增减性与最大值
r
f(r)
O
1
2
3
5
10
15
20
4
5
6
探究2：已知 =
令x=1 得=
所以，的展开式的各二项式系数之和为2n
赋值法
性质3： 各二项式系数的和
各二项式系数的和
结论:
思考：
例1.求证:在的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
证明:在展开式=中，
令a=1,b=-1，得
即.
因此
即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
归纳总结
性质3： 各二项式系数的和
（1） ；
（2）
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1）二项展开式中系数最大的项与二项式系数最大的项是相同的.( )
×
（2）二项展开式的二项式系数和为 .( )
×
（3）在 的展开式中，当 为偶数时，二项展开式中中间一项的系数最大.( )
×
（4）在 的展开式中，二项式系数具有对称性，所以 .( )
×
练一练：
.
；
2.填一填：
1024
练一练：
例2 （多选题）若 的展开式共有8项，则下列有关该二项展开式的说法
正确的是( )
BC
A. B.各二项式系数的和为128
C.二项式系数最大的项有2项 D.第4项与第5项的系数相等且最大
解：由题意可知，因为 的展开式共有8项，所以 ，所以A错误；
根据二项式系数和的性质，可得二项式系数的和为 ，所以B正确；
根据二项式系数的性质，可得中间项的二项式系数最大，即第4项和第5项的二项式系
数最大，所以C正确；
因为 的展开式的第4项为 ，第5项为
，所以展开式中第4项与第5项的系数不相等，所以D错误.
1.二项式系数最大的项的求法
求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对 中的 进行讨论：
（1）当 为奇数时，中间两项的二项式系数最大；
（2）当 为偶数时，中间一项的二项式系数最大.
2.展开式中系数最大的项的求法：
求展开式中系数最大的项与求二项式系数最大的项是不同的，需要根据各项系数
的正、负变化情况进行分析.如求 的展开式中系数最大的项，一般
采用待定系数法.设展开式中各项系数分别为 ， ， ， ， ，且第 项
最大，应用 解出 ，即可得出系数最大的项.
方法归纳
3.在 的展开式中，
（1）求二项式系数最大的项.
（2）系数的绝对值最大的项是第几项？
（3）求系数最大的项与系数最小的项.
练一练：
解：
（1）二项式系数最大的项为中间项，即第5项，故 .
（2）设第 项系数的绝对值最大，
则 即 整理得 所以 或 .
故系数的绝对值最大的项是第6项和第7项.
（3）由（2）知，展开式中的第6项和第7项系数的绝对值最大，第6项的
系数为负，第7项的系数为正.
故系数最大的项为 ,
系数最小的项为 .