第4课时 等边三角形的判定和含30 °角的直角三角形的性质
等边三角形的判定
1.如图,在△ABC中,下列条件中能说明△ABC是等边三角形的是 ( )
A.AB=AC,∠B=∠C B.AD⊥BC,BD=CD
C.BC=AC,∠B=∠C D.AD⊥BC,∠BAD=∠CAD
2.如图,一艘轮船由海平面上A地出发向南偏西40°的方向行驶40 n mile到达B地,再由B地向北偏西20°的方向行驶40 n mile到达C地,则A,C两地相距 ( )
A.30 n mile B.40 n mile C.50 n mile D.60 n mile
3.如图,在一个池塘旁有一条笔直小路(B,C为小路的端点)和一棵小树(A为小树位置),测得的相关数据为:∠ABC=60°,∠ACB=60°,BC=50 m,则AC= m.
4.如图,已知△ABC是等边三角形,D为BC延长线上的一点,CE平分∠ACD,且CE=BD.
求证:△ADE为等边三角形.
含30 °角直角三角形的性质
5.(2024抚顺月考)在△ABC中,∠C=90°,∠A=60°,AC=2,则AB的长为 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
6.如图,衣架框内部可以近似看成一个等腰三角形,记为等腰三角形ABC.若AB=AC=26 cm,D是BC的中点,∠ABC=30°,则AD的长为 ( )
A.11 cm B.12 cm C.13 cm D.14 cm
7.(教材变式)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,点D在线段AC上,且∠A=30°,∠BDC=60°,CD=2,则AD= .
8.如图所示,在△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,CD⊥AB于点D,BC=8 cm,求AD的长.
1.(2024长春期末)如图,在△ABC中,∠C=60°,AD是BC边上的高,E为AD的中点,连接BE并延长交AC于点F.若∠AFB=90°,EF=2,则BF的长为 ( )
A.4 B.6 C.8 D.10
2.如图,E是等边三角形ABC中AC边上的点,∠1=∠2,BE=CD,则△ADE的形状是 ( )
A.等腰三角形 B.等边三角形
C.不等边三角形 D.无法确定
3.如图,在四边形OAPB中,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若点M,N分别在直线OA,OB上,且△PMN为等边三角形,则满足上述条件的△PMN有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.3个以上
4.(新情境)如图是一个地铁站入口的双翼闸机.它的双翼展开时,双翼边缘的端点A与B之间的距离为10 cm,双翼的边缘AC=BD=54 cm,且与闸机侧立面夹角∠PCA=∠BDQ=30°.当双翼收起时,可以通过闸机的物体的最大宽度为 cm.
5.在△ABC中,∠ABC=60°,AD为BC边上的高,AD=6,CD=1,则BC的长为 .
6.如图,点P,M,N分别在等边三角形ABC的各边上,且MP⊥AB于点P,MN⊥BC于点M,PN⊥AC于点N.
(1)求证:△PMN是等边三角形.
(2)若AB=12 cm,求MC的长.
7.(推理能力)如图,O是等边三角形ABC内一点,D是△ABC外一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,△BOC≌△ADC,∠OCD=60°,连接OD.
(1)求证:△OCD是等边三角形.
(2)当α=150°时,试判断△AOD的形状,并说明理由.
(3)探究:当α为多少度时,△AOD是等腰三角形.
【详解答案】
课堂达标
1.C 2.B 3.50
4.证明:如图,∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠ACB=60°,AB=AC.
∴∠ACD=180°-∠ACB=120°.
∵CE平分∠ACD,
∴∠1=∠2=60°.
∴∠B=∠1.
在△ABD和△ACE中,
∴△ABD≌△ACE(SAS).
∴AD=AE,∠BAD=∠CAE.
∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD.
即∠BAC=∠DAE.
∴∠DAE=∠BAC=60°.
∴△ADE为等边三角形.
5.D 6.C 7.4
8.解:∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=8 cm,
∴∠B=60°,AB=2BC=2×8=16(cm).
∵CD⊥AB,
∴∠BDC=90°.
∴∠DCB=30°.
∴DB=BC=×8=4(cm).
∴AD=AB-DB=16-4=12(cm).
故AD的长为12 cm.
课后提升
1.D 解析:∵在△ABC中,∠C=60°,AD是BC边上的高,∴∠DAC=90°-∠C=90°-60°=30°.∵∠AFB=90°,EF=2,∴AE=2EF=4.∵E为AD的中点,∴DE=AE=4.∵∠C=60°,∠BFC=180°-90°=90°,∴∠EBD=30°,∴BE=2DE=8,∴BF=BE+EF=8+2=10.故选D.
2.B 解析:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.在△ABE和△ACD中,∵AB=AC,∠1=∠2,BE=CD,
∴△ABE≌△ACD(SAS).∴AE=AD,∠BAE=∠CAD=60°.∴△ADE是等边三角形.故选B.
3.D 解析:如图,在OA,OB上分别截取OE=OF=OP,作∠MPN=60°,点M,N分别在直线OA,OB上.∵OP平分
∠AOB,∴∠EOP=∠POF=60°.∵OP=OE=OF,∴△OPE,△OPF是等边三角形,∴EP=OP,∠EPO=∠OEP=
∠PON=∠MPN=60°,∴∠EPM=∠OPN,在△PEM和△PON中,∴△PEM≌△PON(ASA),
∴PM=PN.∵∠MPN=60°,∴△PMN是等边三角形,∴只要∠MPN=60°,△PMN就是等边三角形.故这样的三角形有无数个.故选D.
4.64 解析:如图,过点A作AE⊥CP于点E,过点B作BF⊥DQ于点F,则在Rt△ACE中,AE=AC=×54=27(cm),同理可得BF=27 cm.又∵点A与点B之间的距离为10 cm,∴通过闸机的物体的最大宽度为27+10+27=64(cm).
5.7或5 解析:在Rt△ABD中,∠ADB=90°,∠ABD=60°,AD=6,∴∠BAD=30°.∴AB=2BD.易得BD=6,当AD在△ABC内部时,如图1,则BC=BD+CD=6+1=7;当AD在△ABC外部时,如图2,则BC=BD-CD=6-1=5.
图1 图2
6.解:(1)证明:∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C.
∵MP⊥AB,MN⊥BC,PN⊥AC,
∴∠MPB=∠NMC=∠PNA=90°.
∴∠PMB=∠MNC=∠APN.
∴∠NPM=∠PMN=∠MNP.
∴△PMN是等边三角形.
(2)根据题意,得△PBM≌△MCN≌△NAP,
∴BM=CN=AP,PB=MC=NA.
∴BM+PB=BM+MC=AB=12 cm.
∵△ABC是等边三角形,
∴∠A=∠B=∠C=60°.
∴∠BMP=30°.
∴2PB=BM.
∴2PB+PB=12 cm.
解得PB=4 cm.
∴MC=PB=4 cm.
7.解:(1)证明:∵△BOC≌△ADC,
∴OC=DC.
∵∠OCD=60°,
∴△OCD是等边三角形.
(2)△AOD是直角三角形.理由如下:
由(1)可知,△OCD是等边三角形,
∴∠ODC=60°.
∵△BOC≌△ADC,
∴∠ADC=∠BOC=α=150°,
∴∠ADO=∠ADC-∠ODC=150°-60°=90°,
∴△AOD是直角三角形.
(3)∵△OCD是等边三角形,
∴∠COD=∠ODC=60°.
∵∠AOB=110°,∠ADC=∠BOC=α,
∴∠AOD=360°-∠AOB-∠BOC-∠COD=360°-110°-α-60°=190°-α,∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°,
∴∠OAD=180°-∠AOD-∠ADO=180°-(190°-α)-(α-60°)=50°.
①当∠AOD=∠ADO时,190°-α=α-60°,
∴α=125°;
②当∠AOD=∠OAD时,190°-α=50°,
∴α=140°;
③当∠ADO=∠OAD时,α-60°=50°,
∴α=110°.
综上所述,当α=110°或125°或140°时,△AOD是等腰三角形.第3课时 等腰三角形的判定和反证法
等腰三角形的判定
1.(2024鞍山月考)在△ABC中,∠A=80°,∠B=50°,若AB=6 cm,则AC的长为 ( )
A.4 m B.5 cm C.6 cm D.8 cm
2.如图,∠C=∠D=72°,AD=BC,AC=BD=AB,则图中等腰三角形的个数是 ( )
A.2 B.5 C.4 D.3
3.(教材变式)如图,上午8时,一艘船从点A处出发以15 n mile/h的速度向正北航行,10时到达点B处,从A,B两点望灯塔C,测得∠NAC=42°,∠NBC=84°,则点B处到灯塔C的距离为 n mile.
4.如图,△ABC的边AB的延长线上有一个点D,过点D作DF⊥AC于点F,交BC于点E,且BD=BE.
求证:△ABC为等腰三角形.
反证法
5.用反证法证明某个命题的结论“a>0”时,第一步应假设 ( )
A.a<0 B.a≠0
C.a≥0 D.a≤0
6.用反证法证明命题“三角形中最多有一个角是钝角”时,下列假设正确的是 ( )
A.三角形中至少有两个角是钝角
B.三角形中没有一个角是钝角
C.三角形中三个角都是钝角
D.三角形中至少有一个角是钝角
7.(2024宁波鄞州区期末)已知△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°,下面是运用反证法证明这个命题的四个步骤:
①∴∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形内角和为180°矛盾;
②因此假设不成立.∴∠B<90°;
③假设在△ABC中,∠B≥90°;
④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是 .(填序号)
8.(用反证法证明)如图,已知直线a∥c,b∥c.求证:a∥b.
1.用反证法证明命题“在直角三角形中,至少有一个锐角不大于45°”时,应先假设 ( )
A.有一个锐角小于45°
B.每一个锐角都小于45°
C.有一个锐角大于45°
D.每一个锐角都大于45°
2.如图,在△ABC中,AB=AC,D,E两点分别在AC,BC上,BD是∠ABC的平分线,DE∥AB,若BE=
5 cm,CE=3 cm,则△CDE的周长是 ( )
A.15 cm B.13 cm C.11 cm D.9 cm
3.(2024益阳期末)如图,在一张长方形纸条上任意画一条截线AB,将纸条沿截线AB折叠,所得到的△ABC一定是 三角形.
4.如图,△ABC的外角平分线AE与BC的延长线交于点E.
求证:AB≠AC.
5.(推理能力)(1)如图1,已知:在△ABC中,AB=AC=10,BD平分∠ABC,CD平分∠ACB,过点D作EF∥BC,分别交AB,AC于E,F两点,则图中共有 个等腰三角形;EF与BE,CF之间的数量关系是 ,△AEF的周长是 .
(2)如图2,若将(1)中“在△ABC中,AB=AC=10”改为“若△ABC为三边都不相等的三角形,AB=8,AC=10”其余条件不变,则图中共有 个等腰三角形;EF与BE,CF之间的数量关系是什么 证明你的结论,并求出△AEF的周长.
(3)已知:如图3,点D在△ABC外,AB>AC,且BD平分∠ABC,CD平分△ABC的外角∠ACG,过点D作DE∥BC,分别交AB,AC于E,F两点,则EF与BE,CF之间又有何数量关系呢 直接写出结论,不用证明.
图1 图2 图3
【详解答案】
课堂达标
1.C 2.B 3.30
4.证明:∵DF⊥AC,
∴∠DFA=∠EFC=90°.
∴∠A=90°-∠D,∠C=90°-∠CEF.
∵BD=BE,
∴∠D=∠BED.
又∵∠BED=∠CEF,
∴∠D=∠CEF.
∴∠A=∠C.
∴△ABC为等腰三角形.
5.D 6.A 7.③④①②
8.证明:假设a与b相交于点M,
∵a∥c,b∥c,∴过点M有两条直线平行于直线c.
这与“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾,因此假设不成立.
∴a∥b.
课后提升
1.D
2.B 解析:∵AB=AC,∴∠ABC=∠C.∵DE∥AB,∴∠DEC=∠ABC=∠C,∠ABD=
∠BDE,∴DE=DC.∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBE,∴∠DBE=∠BDE,∴DE=DC=BE=5 cm,∴△CDE的周长为DE+DC+CE=5+5+3=13(cm).故选B.
3.等腰 解析:如图,由已知得AC∥DB,∴∠1=∠2,由折叠的性质知,∠2=∠ABC,∴∠1=∠ABC,∴AC=BC,
∴△ABC为等腰三角形.
4.证明:假设AB=AC,
∵AB=AC,∴∠B=∠ACB.
又∵∠DAC=∠B+∠ACB=2∠ACB,∠DAC=2∠DAE=2∠CAE,
∴∠ACB=∠CAE.
∴AE∥BC,这与AE与BC的延长线交于点E相矛盾.
∴AB≠AC.
5.解:(1)5 BE+CF=EF 20
(2)2 BE+CF=EF.
证明:∵等腰三角形有△BDE,△CFD,
∴BE+CF=DE+DF=EF,即BE+CF=EF.
△AEF的周长=AE+EF+AF=AE+BE+AF+FC=AB+AC=18.
(3)BE-CF=EF.
