2直角三角形
第1课时 直角三角形的性质与判定
直角三角形的性质
1.在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=12,AC=16,则AB的长为 ( )
A.26 B.18 C.20 D.21
2.(2024济南期末)在△ABC中,∠C=90°,∠A=2∠B,则∠A的度数是 ( )
A.45° B.30° C.90° D.60°
3.公元3世纪初,中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时,创造了“赵爽弦图”,如图,设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是 .
4.(2024沈阳月考)如图,一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬,木板底端距离墙角0.7 m,当小猫从木板底部爬到顶端时,木板底端向左滑动了1.3 m,木板顶端向下滑动了0.9 m,小猫在木板上爬行了多远
直角三角形的判定
5.下列条件:①∠A+∠B=∠C;②∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3;③∠A=2∠B=3∠C;④∠A=∠B=∠C.其中能确定△ABC是直角三角形的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6.(2024唐山路北区期末)下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是 ( )
A.3,4,5 B.6,8,12 C.5,12,13 D.7,24,25
7.如图,在△ABC中,AB=13,AC=15,D是BC边上一点,BD=5,AD=12.
(1)求证:△ADB是直角三角形.
(2)求BC的长.
互逆命题与互逆定理
8.下列命题的逆命题是真命题的是 ( )
A.对顶角相等
B.若一个三角形的两个内角分别为30°和60°,则这个三角形是直角三角形
C.两个全等的三角形面积相等
D.两直线平行,同旁内角互补
9.命题“全等三角形的对应角相等”的逆命题是 ,它们 (“是”或“不是”)互逆定理.
1.下列各命题的逆命题成立的是 ( )
A.若a=b,则a2=b2
B.两直线平行,同位角相等
C.如果两个实数是正数,那么它们的积是正数
D.互为邻补角的两个角和为180°
2.如图,长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5 cm.若一只蚂蚁从点P开始经过4个侧面爬行一圈到达点Q,则蚂蚁爬行的最短路径长为 ( )
A.8 cm B.10 cm C.12 cm D.13 cm
3.在直角三角形中,锐角α是另一个内角的一半,则锐角α的度数为 .
4.(数学文化)我国古代数学名著《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题,“平地秋千未起,踏板一尺离地.送行二步与人齐,5尺人高曾记,仕女佳人争蹴,终朝笑语欢嬉.良工高士素好奇,算出索长有几 ”此问题可理解为:如图,有一架秋千,当它静止时,踏板离地距离PA的长为1尺,将它向前水平推送10尺时,即P'C=10尺,秋千踏板离地的距离P'B就和身高5尺的人一样高,秋千的绳索始终拉得很直,则秋千的绳索长为 尺.
5.如图,在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD⊥AC于点D.
(1)若∠A=48°,求∠CBD的度数.
(2)若BC=15,BD=12,求AB的长.
6.(推理能力)在综合与实践课上,老师让同学们以“两条平行线AB,CD和一块含60°角的直角三角尺EFG(∠EFG=90°,∠EGF=60°)”为主题开展数学活动.
(1)如图1,三角尺的60°角的顶点G放在CD上,若∠2=2∠1,求∠1的度数.
(2)如图2,小颖把三角尺的两个锐角的顶点E,G分别放在AB和CD上,请你探索并说明∠AEF与∠FGC间的数量关系.
(3)如图3,小亮把三角尺的直角顶点F放在CD上,30°角的顶点E落在AB上,请你探索并说明∠AEG与∠CFG间的数量关系.
图1 图2 图3
【详解答案】
课堂达标
1.C 2.D 3.4
4.解:设CD=x m,则AC=(x+0.9) m.
由AC2+BC2=AB2=DE2=CE2+CD2,
得(x+0.9)2+0.72=x2+(1.3+0.7)2,
解得x=1.5.∴DE==2.5(m).
故小猫在木板上爬行了2.5 m.
5.B 6.B
7.解:(1)证明:在△ABD中,
∵AB=13,BD=5,AD=12,
∴BD2+AD2=52+122=169,AB2=132=169.
∴BD2+AD2=AB2.∴∠ADB=90°.
∴△ADB是直角三角形.
(2)由(1)可得∠ADC=90°,
在Rt△ACD中,
由勾股定理,得CD===9,
∴BC=BD+CD=5+9=14.
8.D
9.三组角分别对应相等的两个三角形全等 不是
课后提升
1.B 解析:B.逆命题是同位角相等,两直线平行,是真命题,故本选项符合题意.故选B.
2.D 解析:如图,∵长方体的底面边长分别为2 cm和4 cm,高为5 cm.∴PA=2+4+2+4=12(cm),QA=5 cm,
∴PQ==13 cm.故选D.
3.45°或30° 解析:①当锐角α是直角的一半时,α=×90°=45°;②当锐角α是另一锐角的一半时,α=(90°-α),解得α=30°.综上所述,锐角α的度数为45°或30°.
4.14.5 解析:设秋千的绳索长为x尺,由题意知,OC=x-(5-1)=(x-4)尺,CP'=10尺,OP'=x尺.在Rt△OCP'中,由勾股定理得(x-4)2+102=x2,解得x=14.5.
5.解:(1)∵在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD⊥AC,
∴∠ABC=∠C,∠ADB=90°.
∵∠A=48°,
∴∠ABC=∠C=66°,∠ABD=90°-∠A=42°.
∴∠CBD=66°-42°=24°.
(2)∵BD⊥AC,∴∠BDC=90°.
∵BC=15,BD=12,
∴CD==9.
设AB=x,则AD=x-9.
∵∠ADB=90°,BD=12,
∴122+(x-9)2=x2.
解得x=,即AB=.
6.解:(1)∵AB∥CD,∴∠1=∠EGD.
∵∠2+∠FGE+∠EGD=180°,∠2=2∠1,
∴2∠1+60°+∠1=180°,解得∠1=40°.
(2)∠AEF+∠FGC=90°.理由如下:
如图,过点F作FP∥AB.
∵CD∥AB,∴FP∥AB∥CD.
∴∠AEF=∠EFP,∠FGC=∠GFP.
∴∠AEF+∠FGC=∠EFP+∠GFP=∠EFG.
∵∠EFG=90°,
∴∠AEF+∠FGC=90°.
(3)∠AEG+∠CFG=300°.理由如下:
∵AB∥CD,∴∠AEF+∠CFE=180°.
∴∠AEG-∠FEG+∠CFG-∠EFG=180°.
∵∠FEG=90°-60°=30°,∠EFG=90°,
∴∠AEG-30°+∠CFG-90°=180°.
∴∠AEG+∠CFG=300°.第2课时 直角三角形全等的判定
用“HL”判定直角三角形全等
1.如图,AC⊥BC于点C,AD⊥BD于点D,AC=AD,则Rt△ABC≌Rt△ABD,依据是 ( )
A.SAS B.SSS C.HL D.无法确定
2.如图,CD⊥AB于点D,EF⊥AB于点F,CD=EF.要根据“HL”证明Rt△ACD≌Rt△BEF,则还需要添加的条件是 ( )
A.∠A=∠B B.∠C=∠E C.AC=BE D.AD=BF
3.(易错题)如图,AB=12 m,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B,且AC=4 m,点P从点B向点A运动,每分钟走1 m,点Q从点B向点D运动,每分钟走2 m,P,Q两点同时出发,运动 min后,△CAP与△PQB全等.
4.如图,AB=BC,∠BAD=∠BCD=90°,D是EF上一点,AE⊥EF于点E,CF⊥EF于点F,AE=CF,连接BD.
求证:Rt△ADE≌Rt△CDF.
用其他方法判定直角三角形全等
5.下列语句中不正确的是 ( )
A.斜边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
B.有两条直角边对应相等的两个直角三角形全等
C.有两个锐角相等的两个直角三角形全等
D.一直角边和一锐角对应相等的两个直角三角形全等
6.(开放性试题)如图,Rt△ABC和Rt△EDF中,∠B=∠D,在不添加任何辅助线的情况下,请你添加一个条件 ,使Rt△ABC和Rt△EDF全等.
7.如图,在△ABC中,D是边BC上的点,DE⊥AC,DF⊥AB,垂足分别为E,F,且DE=DF,CE=BF.
求证:∠B=∠C.
1.(2024长春期中)如图,BE⊥AC,CF⊥AB,垂足分别是E,F,若BE=CF,则图中全等三角形有 ( )
A.1对 B.2对 C.3对 D.4对
2.如图,在△ABC中,AD⊥BC于点D,E为AC上一点,连接BE交AD于点F,且BF=AC,DF=DC.若AD=4,CD=3,则BE的长为 ( )
A. B.5 C. D.
3.如图,正方形网格中,点A,B,C,D均在格点上,则∠ACD+∠BDC= °.
4.如图,CA⊥AB,垂足为A,AB=8 cm,AC=4 cm,射线BM⊥AB,垂足为B,一动点E从点A出发(不与点A重合),以2 cm/s的速度沿射线AN运动,D为射线BM上一动点,始终保持ED=CB,当点E的运动时间为 时,△BDE与△ABC全等.
5.(2024锦州月考)如图,已知AD, AF分别是两个钝角三角形ABC和ABE的高,AD=AF,AC=AE.
求证: BC=BE.
6.(推理能力)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,D是射线BC上一动点,过点B作BE⊥AD,垂足为E,交直线AC于点P.
【问题发现】
(1)如图1,若点D在BC的延长线上,且点E在线段AD上,试猜想AP,CD,BC之间的数量关系,并说明理由.
【类比探究】
(2)如图2,若点D在线段BC上,试猜想AP,CD,BC之间的数量关系,并说明理由.
【拓展应用】
(3)当E为BP的中点时,直接写出线段CD的长度.
图1 图2
【详解答案】
课堂达标
1.C 2.C 3.4
4.证明:由题意得∠BAD=∠BCD=90°,
在Rt△ABD和Rt△CBD中,
∴Rt△ABD≌Rt△CBD(HL).
∴AD=CD.
∵AE⊥EF,CF⊥EF,
∴∠E=∠F=90°.
在Rt△ADE和Rt△CDF中,
∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL).
5.C
6.AB=ED(答案不唯一)
7.证明:∵DE⊥AC,DF⊥AB,
∴∠BFD=∠CED=90°.
在△BDF和△CDE中,DF=DE,∠BFD=∠CED,BF=CE,
∴△BDF≌△CDE(SAS),
∴∠B=∠C.
课后提升
1.C 解析:①△BCF≌△CBE.∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠CFB=∠BEC=90°.∵BE=CF,BC=CB,∴△BCF≌△CBE
(HL);②△ABE≌△ACF.∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠AFC=∠AEB=90°.∵BE=CF,∠A=∠A,∴△ABE≌△ACF(AAS);③△BOF≌△COE.∵BE⊥AC,CF⊥AB,∴∠OFB=∠OEC=90°.由①得BF=CE,又∵∠BOF=∠COE,∴△BOF≌△COE(AAS).故选C.
2.A 解析:∵AD⊥BC,∴∠BDF=∠ADC=90°.在Rt△BDF和Rt△ADC中,∴Rt△BDF≌Rt△ADC(HL).
∴∠FBD=∠CAD,BD=AD=4.又∵∠BFD=∠AFE,∠BFD+∠FBD=90°,∴∠AFE+∠CAD=90°.∴∠AEF=90°.
∴BE⊥AC.∵BC=BD+CD=7,AC==5,S△ABC=BC×AD=AC×BE,∴BE===.故选A.
3.90 解析:如图,在Rt△AEC和Rt△DAB中,AE=AD,AC=BD,∴Rt△AEC≌Rt△DAB(HL).∴∠ACE=∠ABD.
∵∠EAC+∠ACE=90°,∴∠EAC+∠ABD=90°.∴∠AFB=90°.∴∠CFD=90°.∴∠ACD+∠BDC=90°.
4.2 s或6 s或8 s 解析:设运动时间为t s.当点E在线段AB上时,若BE=AC=4 cm,结合ED=CB,可知Rt△BDE≌Rt△ABC,此时AE=AB-BE=8-4=4(cm),t=4÷2=2(s);当点E在射线BN上,且BE=AC=4 cm时,结合ED=CB,可知Rt△BDE≌Rt△ABC,此时AE=AB+BE=8+4=12(cm),t=12÷2=6(s);当点E在射线BN上,且BE=AB=8 cm时,结合ED=BC,可知Rt△BDE≌Rt△ACB,此时AE=AB+BE=8+8=16(cm),t=16÷2=8(s).综上所述,当点E的运动时间为2 s或6 s或8 s时,△BDE与△ABC全等.
5.证明:∵AD,AF分别是两个钝角三角形ABC和ABE的高,
∴∠ADC=∠AFE=90°.
又∵AD=AF,AC=AE,
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL).
∴CD=EF.
∵AD=AF,AB=AB,
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL).
∴BD=BF.
∴BD-CD=BF-EF,
即BC=BE.
6.解:(1)BC=AP+CD.理由如下:
∵∠ACB=90°,BE⊥AD,
∴∠D+∠DAC=90°,∠D+∠DBE=90°.
∴∠DAC=∠DBE.
又∵∠ACB=∠ACD=90°,AC=BC,
∴△ACD≌△BCP(ASA).
∴CD=CP.
∵BC=AC=AP+CP,
∴BC=AP+CD.
(2)AP=BC+CD.理由如下:
∵∠ACB=90°,BE⊥AD,
∴∠P+∠PAE=90°,∠P+∠PBC=90°.
∴∠PAE=∠PBC.
又∵∠ACB=∠BCP=90°,AC=BC,
∴△ACD≌△BCP(ASA).
∴CD=CP.
∵AP=AC+CP,
∴AP=BC+CD.
(3)线段CD的长度为2-2或2+2.
解析:如图1,过点D作DM⊥AB,垂足为M.
图1
∵AE⊥BE,E是PB的中点,
∴∠AEP=∠AEB,EP=EB.
又∵AE=AE,
∴△AEP≌AEB(SAS).
∴∠DAC=∠DAM.
又∵AD=AD,∠ACD=∠AMD=90°,
∴△ACD≌△AMD(AAS).
∴AM=AC=2,CD=MD.
∵∠ACB=90°,AC=BC=2,
∴AB=2,∠ABC=45°.
∴MB=AB-AM=2-2.
∵DM⊥AB,∠ABC=45°,
∴∠MDB=∠ABC=45°.
∴DM=BM=2-2.
∴CD=2-2.
当点D在BC的延长线上,如图2,同理可得CD=CP=AP+CA=2+2.
图2
