第2课时 三角形三条角平分线
三角形角平分线的性质
1.如图,点O在△ABC内,且到三边的距离相等.若∠A=40°,则∠BOC等于 ( )
A.110° B.115° C.125° D.130°
2.如图,在△ABC中,∠ABC和∠ACB的平分线交于点O,OD⊥BC于点D,△ABC的面积为23,AB=6,AC=8,OD=2,则BC的长是 .
3.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,BD平分∠ABC,点O, E,F分别在BD,BC,AC上,且四边形OECF是正方形(四边相等,四个角都是直角).
(1)求证:点O在∠BAC的平分线上.
(2)若AC=5,BC=12. AB=13,求OE的长.
三角形角平分线的应用
4. 根据尺规作图的痕迹,可用直尺成功找出到三角形三边距离相等的点的是 ( )
A B C D
5.如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形,两直角边AC,BC的长分别为6 m和8 m,斜边AB的长为10 m.按照输油中心O到三条支路的距离相等来连接管道,则O到三条支路的管道总长(计算时视管道为线段)是 m.
6.(教材变式)如图,某小区绿化带△ABC内有两个喷水臂P,Q,现欲在△ABC内部建一个水泵O,使得水泵O到BA,BC的距离相等,且到两个喷水管P,Q的距离也相等,请你在图中标出水泵O的位置.(用直尺、圆规作图,不写作法,但要保留作图痕迹)
1.某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内建一个砂石场,如图,要使这个砂石场到三条公路的距离相等,则可供选择的地址( )
A.仅有一处 B.有四处
C.有七处 D.有无数处
2.如图,△ABC中,∠CAB和∠CBA的平分线交于点P,连接PC,若△PAB,△PBC,△PAC的面积分别为S1,S2,S3,则 ( )
A.S1
C.S1>S2+S3 D.无法确定S1与(S2+S3)的大小
3.如图,在△ABC中,点P到△ABC三边的距离相等,则∠PBC+∠PCA+∠PAB= °.
4.(2024沈阳月考)如图,在△ABC中,∠BAC的平分线与BC的垂直平分线交于点D,过点D作DE⊥AB于点E,DF⊥AC交AC的延长线于点F.判断BE与CF的数量关系,并说明理由.
5.(推理能力)如图,在△ABC中,点D在边BC上,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E,F.
(1)如图1,请你添加一个条件,使AD⊥EF,你添加的条件是 ,并证明AD⊥EF.
(2)如图2,AD为∠BAC的平分线,当有一点G从点D向点A运动时,GE⊥AB,GF⊥AC,垂足分别为E,F,这时,AD是否垂直于EF 并说明理由.
(3)如图3,AD为∠BAC的平分线,当点G在线段AD的延长线上运动时,其他条件不变,这时,AD是否垂直于EF 并说明理由.
图1 图2 图3
【详解答案】
课堂达标
1.A 2.9
3.解:(1)证明:如图,过点O作OM⊥AB于点M.
∵BD平分∠ABC,OM⊥AB,∠OEC=90°,∴OE=OM.
∵四边形OECF是正方形,
∴OE=OF.∴OM=OF.
∵OF⊥AC,
∴点O在∠BAC的平分线上.
(2)如图,连接OC.
∵S△BOC+S△AOB+S△AOC=S△ABC,
∴BC·OE+AB·OM+AC·OF=BC·AC.
∵OE=OM=OF,AC=5,BC=12,AB=13,
∴×12·OE+×13·OE+×5·OE=×12×5.
解得OE=2.
4.D 5.6
6.解:如图,点O即为所求作.
课后提升
1.A 解析:∵这个砂石场到三条公路的距离相等,且砂石场在三条公路围成的三角形平地内,∴这个砂石场在三条公路所围成的三角形的角平分线的交点处.∴可供选择的地址仅有一处.故选A.
2.A 解析:如图,过点P分别作PD⊥AB于点D,PE⊥AC于点E,PF⊥BC于点F.∵∠CAB和∠CBA的平分线交于点P,∴PD=PE=PF.∵S1=AB·PD,S2=BC·PF,S3=AC·PE,∴S2+S3=(BC+AC)·PD.∵AB3.90 解析:∵点P到△ABC三边的距离相等,∴BP平分∠ABC,AP平分∠BAC,CP平分∠ACB.
∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°,∴∠PBC+∠PCA+∠PAB=90°.
4.解:BE=CF.理由如下:
如图,连接BD,CD.
∵AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,
∴DE=DF,∠BED=∠CFD=90°.
∵DG是BC的垂直平分线,
∴BD=CD.
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴BE=CF.
5.解:(1)AD平分∠BAC(答案不唯一)
证明如下:∵AD平分∠BAC,
∴∠EAD=∠FAD.
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠DEA=∠DFA=90°.
又∵AD=AD,∴△AED≌△AFD(AAS),
∴AE=AF,DE=DF,
∴直线AD是线段EF的垂直平分线,
∴AD⊥EF.(答案不唯一).
(2)AD垂直于EF.理由如下:
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAG=∠FAG.
∵GE⊥AB,GF⊥AC,
∴∠GEA=∠GFA=90°.
又AG=AG,
∴△AEG≌△AFG(AAS),
∴AE=AF,GE=GF,
∴直线AD是线段EF的垂直平分线,
∴AD⊥EF.
(3)AD垂直于EF.理由如下:
∵AD平分∠BAC,
∴∠EAG=∠FAG.
∵GE⊥AB,GF⊥AC,
∴∠GEA=∠GFA=90°.
又AG=AG,
∴△AEG≌△AFG(AAS),
∴AE=AF,GE=GF,
∴直线AD是线段EF的垂直平分线,
∴AD⊥EF.4角平分线
第1课时 角平分线的性质与判定
角平分线的性质
1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,若BC=4,DE=1.6,则BD的长为 ( )
A.1.4 B.2.4 C.3 D.3.5
2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,DE⊥AB,垂足为E.若△ACD的面积为16,AC=8,则DE的长为( )
A.2 B.3 C.4 D.6
3.(2024锦州期中)如图所示,在△ABC中,AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB于点E.
(1)若∠B=50°,∠C=70°,求∠EDA的度数.
(2)若AB=10,AC=8,DE=3,求S△ABC.
角平分线的判定
4. (2024汉中期中)在△ABC中,AB=BC,两个完全一样的三角尺按如图所示摆放,它们一组较短的直角边分别在AB,BC上,另一组较长的对应边的顶点重合于点P,BP交AC于点D,则下列结论不一定正确的是 ( )
A.BP平分∠ABC B.AD=CD
C.BD垂直平分AC D.AB=AC
5.(2024长春月考)如图所示,BP,CP分别是△ABC的外角平分线,PM⊥AB于点M,PN⊥AC于点N.
求证:AP平分∠MAN.
1.(2024佛山期中)已知∠AOB=60°,OC是∠AOB的平分线,D为OC上一点,过点D作直线DE⊥OA,垂足为E,且直线DE交OB于点F,如图所示.若DE=2,则DF= ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
2.如图,已知点P到BE,BD,AC的距离相等,则点P的位置:①在∠B的平分线上;②在∠DAC的平分线上:③在∠ECA的平分线上;④恰好在∠B,∠DAC,∠ECA的平分线的交点处.上述结论中,正确的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3.如图,∠AOB=60°,点C在OB上,OC=2,P为∠AOB内一点.根据图中尺规作图痕迹推断,点P到OA的距离为 .
4.如图,△ABC中,AB=6,AC=4,AD平分∠BAC,DE⊥AB于点E,BF⊥AC于点F,DE=2,则BF的长为 .
5.(尺规作图)如图,已知线段a.点A在平面直角坐标系内.
(1)用直尺和圆规在第一象限内作出点P,使点P到两坐标轴的距离相等,且与点A的距离等于a(保留作图痕迹,不写作法).
(2)在(1)的条件下,若点A的坐标为(3,1),点P与点A的纵坐标之差是横坐标之差的2倍,求a的值.
6.(推理能力)已知∠MON=α,P是∠MON平分线上一点,点A在射线OM上,作∠APB= 180°-α,交直线ON于点B,PC⊥ON于点C.
(1)如图1,若∠MON=90°,求证:PA=PB.
(2)如图2,若∠MON=60°,写出线段OB,OA及BC之间的数量关系,并说明理由.
(3)如图3,若∠MON=60°,点B在射线ON的反向延长线上,(2)中结论还成立吗 若不成立,直接写出线段OB,OA及BC之间的数量关系.
图1 图2 图3
【详解答案】
课堂达标
1.B 2.C
3.解:(1)∵∠B=50°,∠C=70°,
∴∠BAC=60°.
∵AD是△ABC的角平分线,
∴∠BAD=∠BAC=30°.
∵DE⊥AB,∴∠DEA=90°.
∴∠EDA=90°-∠BAD=60°.
(2)如图,过点D作DF⊥AC于点F.
∵AD是△ABC的角平分线,DE⊥AB,
∴DF=DE=3.
∵AB=10,AC=8,
∴S△ABC=AB·DE+AC·DF
=×10×3+×8×3
=27.
4.D
5.证明:如图,过点P作PD⊥BC于点D,
∵BP是△ABC的外角平分线,PM⊥AB,PD⊥BC,
∴PM=PD.
同理PN=PD.
∴PM=PN.
又∵PM⊥AB,PN⊥AC,
∴AP平分∠MAN.
课后提升
1.C 解析:如图,过点D作DM⊥OB,垂足为M.∵OC是∠AOB的平分线,∴DM=DE=2.在Rt△OEF中,∠OEF=
90°,∠EOF=60°,∴∠OFE=30°,即∠DFM=30°.在Rt△DMF中,∵∠DMF=90°,∠DFM=30°,∴DF=2DM=4.故选C.
2.D 解析:根据角平分线的判定定理可知①②③④都是正确的.故选D.
3.1 解析:如图所示,标注点Q,由尺规作图痕迹可得,PQ是OC的垂直平分线,OP是∠AOB的平分线,∴∠OQP=
90°,OQ=OC=,∠BOP=∠AOB=30°.设PQ=x,则PO=2x.∵PQ2+OQ2=OP2,∴x2+()2=(2x)2.解得x=1.∴PQ=
1.∵PO是∠AOB的平分线,∴点P到OA的距离等于点P到OB的距离,即PQ的长度.∴点P到OA的距离为1.
4.5 解析:如图,过点D作DG⊥AC于点G.∵AD平分∠BAC,DE⊥AB,∴DG=DE=2.∵AB=6,AC=4,
∴S△ABC=AC·BF=S△ABD+S△ACD=AB·DE+AC·DG.∴×4·BF=×6×2+×4×2.∴BF=5.
5.解:(1)如图,点P即为所求作.
(2)由(1)可得OP是第一象限内x轴与y轴的夹角平分线,
设点P(x,x),
则x-1=2(x-3),解得x=5,
∴P(5,5).
如图,过点P作PE⊥x轴于点E,过点A分别作AF⊥x轴于点F,AD⊥PE于点D,
则PD=4,AD=2.
根据勾股定理,得PA2=PD2+AD2=42+22,
∴PA=2(负值已舍去).
∴a=2.
6.解:(1)证明:如图1,过点P作PD⊥OM于点D.
图1
∵点P在∠MON的平分线上,且PC⊥ON于点C,
∴PC=PD,∠ADP=∠BCP=90°.
∵∠MON=90°,
∴∠APB=90°,MO∥PC.
∴∠CPD=90°.
∴∠APB=∠CPD=90°.
∴∠APD+∠DPB=∠BPC+∠DPB=90°,
即∠APD=∠BPC.
在△APD和△BPC中,
∴△APD≌△BPC(ASA).
∴PA=PB.
(2)OA=OB+2BC.理由如下:
如图2,过点P作PD⊥OM于点D.
图2
同(1),可证△APD≌△BPC,
∴AD=BC.
∵∠PDO=∠PCO=90°,PD=PC,PO=PO,
∴Rt△OPD≌Rt△OPC(HL).
∴OD=OC.
∴OA-AD=OB+BC.
∴OA=OB+BC+AD=OB+BC+BC=OB+2BC.
(3)不成立,OA=2BC-OB.