3公式法
第1课时 利用平方差公式因式分解
利用平方差公式因式分解
1.下列各式中,能用平方差公式因式分解的是 ( )
A.x2+4y2 B.-x2+4y2
C.x2-2y+1 D.-x2-4y2
2. 把多项式(a-1)2-9因式分解,结果是 ( )
A.(a-2)(a+4) B.(a+8)(a-10)
C.(a+2)(a-4) D.(a+2)(a-10)
3.若a+b=3,a-b=7,则b2-a2的值为( )
A.-21 B.21
C.-10 D.10
4. 因式分解:(x-3)2-4= .
5. 因式分解:-(a+2)2+16(a-1)2= .
6.把下列各式因式分解:
(1)16m2-81n2.
(2)x4-81y4.
先提公因式后运用平方差公式因式分解
7.(2024 锦州月考) 把多项式a3-9a分解因式,结果正确的是 ( )
A.a(a2-9) B.(a+3)(a-3)
C.-a(9-a2) D.a(a+3)(a-3)
8. 本节课我们所学的多项式因式分解的方法主要有①提公因式法;②平方差公式法.现将多项式(x-y)3+4(y-x)进行因式分解,使用的方法有 ( )
A.① B.②
C.①② D.以上都不是
9. 把多项式a2b-25b因式分解的结果是 .
10.把下列各式因式分解:
(1)ab2-4a.
(2)3a2-.
(3)x2(a-b)+y2(b-a).
(4)x2(x-2)-25(x-2).
(5)-3xy3+ 27xy.
1.若k为任意整数,则(2k+3)2-4k2的值总能 ( )
A.被2整除 B.被3整除
C.被5整除 D.被7整除
2.若3x3-mxy2=3x(x+2y)(x-2y),则m的值为 ( )
A.12 B.-12
C.6 D.-6
3. 已知a,b都是实数,观察表中的运算,则m的值为 ( )
a,b的运算 a+b a-b a2-b2
运算的结果 -4 10 m
A.40 B.-40
C.36 D.-3
4.已知664-1能被30~40之间的两个整数整除,则这两个整数是 ( )
A.35,37 B.35,36
C.34,38 D.36,37
5.(开放性试题)若代数式x2-a在有理数范围内可以因式分解,则整数a的值可以为 .(写出一个即可)
6.已知x,y,z是△ABC的三边长,且满足2xy+x2=2yz+z2,则△ABC的形状是 .
7.把下列各式因式分解:
(1)(3x+2y)2-(2x+3y)2
(2)-16a4b4+1.
8.(推理能力)如果一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差,那么称这个正整数为“奇特数”.例如:8=32-12,16=52-32,24=72-52,则8,16,24这三个数都是奇特数.
(1)32是奇特数吗 若是,表示成两个连续奇数的平方差形式.
(2)如图所示,拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数,按此规律拼叠到正方形ABCD,其边长为39,求阴影部分的面积.
【详解答案】
课堂达标
1.B 2.C 3.A
4.(x-1)(x-5)
5.3(5a-2)(a-2)
6.解:(1)16m2-81n2=(4m)2-(9n)2=(4m+9n)(4m-9n).
(2)x4-81y4=(x2+9y2)(x2-9y2)=(x2+9y2)(x+3y)(x-3y).
7.D 8.C 9.b(a+5)(a-5)
10.解:(1)ab2-4a=a(b2-4)=a(b+2)(b-2).
(2)3a2-=(9a2-1)=(3a+1)(3a-1).
(3)x2(a-b)+y2(b-a)=x2(a-b)-y2(a-b)=(a-b)(x2-y2)=(a-b)(x+y)(x-y).
(4)x2(x-2)-25(x-2)=(x-2)(x2-25)=(x-2)(x-5)(x+5).
(5)-3xy3+27xy=-3xy(y2-9)=-3xy(y+3)(y-3).
课后提升
1.B 解析:(2k+3)2-4k2=(2k+3+2k)(2k+3-2k)=3(4k+3).∵3(4k+3)能被3整除,∴(2k+3)2-4k2的值总能被3整除.故选B.
2.A 解析:∵3x(x+2y)(x-2y)=3x(x2-4y2)=3x3-12xy2=3x3-mxy2,∴-12=-m,即m=12.故选A.
3.B 解析:观察表格可知a+b=-4,a-b=10,∴m=a2-b2=(a+b)(a-b)=-4×10=-40.故选B.
4.A 解析:664-1=(632+1)(632-1)=(632+1)(616+1)(616-1)=(632+1)(616+1)(68+1)(68-1)=(632+1)(616+1)(68+1)(64+1)(64-1)=(632+1)(616+1)(68+1)(64+1)(62+1)(62-1)=(632+1)(616+1)(68+1)(64+1)×37×35.故选A.
5.1(答案不唯一) 解析:当a=1时,x2-a=x2-1=(x+1)(x-1),故整数a的值可以为1.
6.等腰三角形 解析:∵2xy+x2=2yz+z2,∴2xy+x2-2yz-z2=0,∴2y(x-z)+(x-z)(x+z)=0,∴(x-z)(x+z+2y)=0.∵x,y,z是△ABC的三边长,∴x+z+2y≠0,∴x-z=0,∴x=z,∴△ABC是等腰三角形.
7.解:(1)(3x+2y)2-(2x+3y)2=(3x+2y+2x+3y)(3x+2y-2x-3y)=(5x+5y)(x-y)=5(x+y)(x-y).
(2)-16a4b4+1=1-16a4b4=12-(4a2b2)2=(1+4a2b2)(1-4a2b2)=(1+4a2b2)(1+2ab)(1-2ab).
8.解:(1)32是奇特数,32=92-72.
(2)S阴影=392-372+352-332+…+72-52+32-12
=(39+37)(39-37)+(35+33)(35-33)+…+(7+5)(7-5)+(3+1)(3-1)
=(39+37+35+33+…+7+5+3+1)×2
=×2=800.第2课时 利用完全平方公式因式分解
利用完全平方公式因式分解
1.下列多项式能用完全平方公式分解因式的是 ( )
A.x2-6x-9 B.a2-16a+32
C.x2-2xy+4y2 D.9a2-6a+1
2.若二次三项式x2+8x+k2可以用完全平方公式因式分解,则k的值为 ( )
A.4 B.-4 C.±4 D.16
3.将多项式4(a-b)2-16(a-b-1)因式分解,结果正确的是 ( )
A.4(a-b)(a-b-16) B.(2a-b-4)2
C.(2a-2b-4)2 D.4(a-b-2)2
4. 因式分解:2x3+12x2y+18xy2= .
5. 因式分解:-my2+4my-4m= .
6.利用1个边长为a的正方形,1个边长为b的正方形和2个长为a、宽为b的长方形可拼成一个正方形(如图所示),从而可得到因式分解的公式: .
完全平方公式因式分解的应用
7.已知代数式-a2+2a-1,无论a取何值,它的值一定是 ( )
A.正数 B.非正数
C.负数 D.非负数
8.(2024丹东月考)利用因式分解简便计算:
(1)1722+56×172+282.
(2)40×3.152+80×3.15×1.85+40×1.852.
9.已知ab=,a+b=1,求a3b-2a2b2+ab3的值.
1.把多项式(a+b)(a+4b)-9ab因式分解正确的是 ( )
A.(a-2b)2 B.(a+2b)2 C.a(a-3b)2 D.ab(a+3)(a-3)
2.(2024长春期末)若a2+(m-3)a+4能用完全平方公式进行因式分解,则常数m的值是 ( )
A.1或5 B.1 C.-1 D.7或-1
3.若M=a2-a,N=a-2,则M,N的大小关系是 ( )
A.M>N B.M4.若a,b,c是三角形的三边长,则代数式a2+2bc-c2-b2的值 ( )
A.小于0 B.大于0
C.等于0 D.以上三种情况均有可能
5.(2024锦州太和区月考)若x2+mx+因式分解的结果是,那么m= .
6. 因式分解(x+3)(x+1)+1的结果是 .
7.阅读以下材料.
已知m2+2m+n2-6n+10=0,求m和n的值.
解:把等式左边变形,得(m2+2m+1)+(n2-6n+9)=0,即(m+1)2+(n-3)2=0.
∵(m+1)2≥0,(n-3)2≥0,
∴m+1=0,n-3=0,即m=-1,n=3.
仿照以上解法,解答下列问题:
已知x2-4x+y2+y+4=0,求x和y的值.
8.(运算能力)请看下面的问题:
把x4+4因式分解.
分析:这个二项式既无公因式可提,也不能直接利用公式,怎么办呢
19世纪的法国数学家苏菲·姬曼抓住了该式只有两项,而且属于平方和(x2)2+22的形式,要使用公式就必须添一项4x2,随即将此项4x2减去,即可得x4+4=x4+4x2+4-4x2=(x2+2)2-4x2=(x2+2)2-(2x)2=(x2+2x+2)(x2-2x +2).
人们为了纪念苏菲·姬曼给出的这一解法,就把它叫做“姬曼定理”.
请你依照苏菲·姬曼的做法,将下列各式因式分解.
(1)x4+4y4.
(2)x2-2ax-b2-2ab.
【详解答案】
课堂达标
1.D 2.C 3.D
4.2x(x+3y)2
5.-m(y-2)2
6.a2+2ab+b2=(a+b)2
7.B
8.解:(1)原式=1722+2×28×172+282=(172+28)2=2002=40 000.
(2)原式=40×(3.152+2×3.15×1.85+1.852)=40×(3.15+1.85)2=40×25=1 000.
9.解:a3b-2a2b2+ab3
=ab(a2-2ab+b2)
=ab(a2+2ab+b2-4ab)
=ab[(a+b)2-4ab].
将a+b=1,ab=代入,
则原式===.
课后提升
1.A 解析:原式=a2+5ab+4b2-9ab=a2-4ab+4b2=(a-2b)2.故选A.
2.D 解析:∵a2+(m-3)a+4能用完全平方公式进行因式分解,∴m-3=±4,解得m=-1或m=7.故选D.
3.A 解析:M-N=a2-2a+2=(a-1)2+1.∵(a-1)2≥0,∴M-N>0,即M>N.故选A.
4.B 解析:a2+2bc-c2-b2=a2-(b2-2bc+c2)=a2-(b-c)2=[a+(b-c)][a-(b-c)]=(a+b-c)(a+c-b).∵三角形的任意两边之和大于第三边,∴a+b-c>0,a+c-b>0,∴原式的值大于0.故选B.
5.1 解析:将展开得x2+x+,观察可得m=1.
6.(x+2)2 解析:原式=x2+4x+4=(x+2)2.
7.解:把等式左边变形,得(x2-4x+4)+=0,
即(x-2)2+=0.
∵(x-2)2≥0,≥0,
∴x-2=0,y+=0,
∴x=2,y=-.
8.解:(1)x4+4y4=x4+4x2y2+4y4-4x2y2=(x2+2y2)2-4x2y2=(x2+2y2+2xy)(x2+2y2-2xy).
(2)x2-2ax-b2-2ab=x2-2ax+a2-a2-b2-2ab=(x-a)2-(a+b)2=(x-a+a+b)(x-a-a-b)=(x+b)(x-2a-b).
