第2课时 分式方程的解法
分式方程的解法
1.解分式方程3-=时,去分母这一步方程两边不能同时乘 ( )
A.(2x+1)(2-4x)
B.2(2x+1)(2x-1)
C.-2(2x+1)(2x-1)
D.2(2x-1)2
2.若式子+1的值为零,则y= .
3.代数式与代数式的值相等,则x= .
4.解方程:
(1)-1=.
(2)+=.
增根
5. 关于x的分式方程-2=的增根为 ( )
A.x=-1 B.x=0
C.x=-2 D.x=1
6.若关于x的分式方程=+有增根,则增根可能是 .
7.已知关于x的方程=2-.
(1)m取何值时,方程的解为x=4.
(2)m取何值时,方程有增根.
1.若关于x的方程-1=无解,则m的值为 ( )
A.- B.-或-
C.- D.-或-
2.(新定义)对于两个不相等的实数a,b,我们规定符号 min{a,b}表示a,b中较小的值,如min{2,4}=2,按照这个规定,方程 min=-2的解为 ( )
A. B.2
C.或2 D.1
3.已知分式方程=2+有增根,则k= .
4.若x<2,且+|x-2|+x-1=0,则x= .
5.我们把分子是1的分数叫做分数单位,有些分数单位可以拆成两个不同的分数单位的差,如=,=,= -,…,请用观察到的规律解方程++…+=,该方程的解是 .
6.小丁和小迪分别解方程=1的过程如下:
小丁: 解:去分母,得x-(x-3)=x-2. 去括号,得x-x+3=x-2. 合并同类项,得3=x-2. 解得x=5. ∴原方程的根是x=5.
小迪: 解:去分母,得x+(x-3)=1. 去括号,得x+x-3=1. 合并同类项,得2x-3=1. 解得x=2. 经检验,x=2是方程的增根,原方程无解.
你认为小丁和小迪的解法是否正确 若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“ ”,并写出你的解答过程.
7.(运算能力)数学课堂上,老师提出问题:可以通过通分将两个分式的和表示成一个分式的形式,是否也可以将分式表示成两个分式和的形式 其中这两个分式的分母分别为x+1和x-1,小明通过观察、思考,发现可以用待定系数法解决上面问题.具体过程如下:
设=+,
则有
=+
=
故 解得
所以=+.
问题解决:
(1)设=+,求A,B.
(2)写出方程+=的解.
【详解答案】
课堂达标
1.D 2.0 3.7
4.解:(1)原方程可化为-1=.
方程两边都乘(x-2)2,得x(x-2)-(x-2)2=4.
解得x=4.
检验:当x=4时,(x-2)2≠0.
∴x=4是原方程的根.
(2)方程两边都乘3(3x-1),得2(3x-1)+3x=1.
解得x=.
检验:当x=时,3(3x-1)=0.
∴x=不是原分式方程的根,
∴原分式方程无解.
5.D 6.x=0或x=2
7.解:(1)方程两边都乘(x-3),得x=2x-6-m,整理,得m=x-6,把x=4代入,得m=-2.
故m取-2时,方程的解为x=4.
(2)∵x=3是方程的增根,∴把x=3代入m=x-6,得m=-3.
故m取-3时,方程有增根.
课后提升
1.D 解析:方程两边都乘x(x-3),得x(2m+x)-x(x-3)=2(x-3).整理,得2mx+x2-x2+3x=2x-6,即(2m+1)·x=-6.当2m+1=0,即m=-时,整式方程无解,满足题意;当2m+1≠0,即m≠-时,x=-,此时分式方程的增根为x=0或x=3,代入,得-=0或-=3.解得m=-.综上所述,m的值为-或-.故选D.
2.B 解析:当>,即x>0时,由题意得=-2,去分母,得2=6-2x,解得x=2,经检验,x=2是分式方程的解;当<,即x<0时,由题意得=-2,去分母得5=6-2x,解得x=,不符合题意,综上所述,方程的解为x=2.故选B.
3.-4 解析:方程两边都乘(x-3),得x+1=2(x-3)-k.∵方程有增根,∴x=3,代入,得3+1=-k,∴k=-4.
4.1 解析:∵x<2,∴原方程可化为+2-x+x-1=0,即=-1,方程两边都乘(x-2),得1=-(x-2),解得x=1,经检验,x=1是原方程的解.
5.x=4 解析:原方程可化为+…+=,即=,方程两边都乘x(x+10),得2(x+10)-2x=5x,整理,得5x=20,解得x=4.经检验x=4是原方程的解.
6.解:小丁和小迪的解法都错误(打“×”略).
去分母,得x+(x-3)=x-2.
去括号,得x+x-3=x-2.
解得x=1.
经检验,x=1是原方程的根.
7.解:(1)∵===,
∴解得
(2)设=,
则有===,
∴
解得
∴=.
由(1)知=,
∴原方程可化为=,
∴=,
解得x=.
经检验,x=是原方程的解.第3课时 分式方程的应用
列分式方程解决实际问题
1.(2024鞍山月考) 学校餐厅准备采购一批餐桌,现有甲、乙两家供应商参与竞标,甲供应商每张餐桌的价格比乙供应商优惠10元,若从甲供应商处花1.8万元购得的餐桌数量与从乙供应商处花2万元购得的餐桌数量相等,则甲供应商每张餐桌的价格是 ( )
A.120元 B.110元 C.100元 D.90元
2.轿车和大客车同时从甲地出发,轿车行驶300 km到达乙地时,大客车才行驶240 km到达丙地,如果轿车每小时比大客车多行驶20 km,那么轿车的速度是 ( )
A.90 km/h B.100 km/h C.110 km/h D.120 km/h
3.甲、乙两人完成一项工作,甲先做了3天,然后乙加入合作,完成剩下的工作.设工作总量为1,工作进度如表,则完成这项工作共需 ( )
天数 第3天 第5天
工作进度
A.9天 B.10天 C.11天 D.12天
4.某村在退耕还林活动中,计划植树200亩,全村在完成植树40亩后,某环保组织加入村民植树活动,现植树速度是原植树速度的2倍,结果比原计划提前4天完成任务,那么原计划 天完成任务.
5.小王步行的速度比跑步的速度慢50%,跑步的速度比骑车的速度慢50%.如果他骑车从A城到B城,再步行返回A城共需要2 h,那么小王跑步从A城到B城需要 min.
6.某公司会计欲查询乙商品的进价(如表),发现进货单已被墨水污染.
商品 进价/(元/件) 数量/件 总金额/元
甲 7 200
乙 3 200
李师傅:我记得甲商品进价比乙商品进价每件高50%.
王师傅:我记得甲商品比乙商品的数量多40件.
(1)乙商品的进价是多少
(2)请你帮会计算出甲商品的进价及甲、乙商品的进货数量.
1.市开发区在一项工程招标时,接到甲、乙两个工程队的投标书,工程领导小组根据甲、乙两队的投标书测算,可有三种施工方案:①甲队单独完成这项工程,刚好如期完工;②乙队单独完成此项工程,要比规定工期多用5天;③ ,剩下的工程由乙队单独做,也正好如期完工.某同学设规定的工期为x天,根据题意列出了方程:+=1,则方案③中被墨水污染的部分应该是 ( )
A.甲先做了4天
B.甲、乙合作了4天
C.甲先做了工程的
D.甲、乙合作了工程的
2.某施工队预计把距离港口420 km的普通公路升级成同等长度的高速公路,升级后汽车行驶的平均速度将比原来提高50%,行驶时间缩短2 h,那么汽车原来的平均速度为 ( )
A.80 km/h B.70 km/h
C.75 km/h D.65 km/h
3.某班在植树节时需完成一批植树任务,若由全班学生一起完成,每人需植树8棵;若由女生单独完成,每人需植树12棵,则由男生单独完成,每人需植树 棵.
4.节能又环保的油电混合动力汽车,既可以用油做动力行驶,也可用电做动力行驶,某品牌油电混合动力汽车从甲地行驶到乙地,若完全用油做动力行驶,则费用为60元;若完全用电做动力行驶,则费用为20元.已知汽车行驶中每千米用油费用比用电费用多0.5元,汽车行驶中每千米用电费用是多少元 甲、乙两地的距离是多少千米
5.(应用意识)为了提高广大职工对消防知识的学习热情,增强职工的消防意识,某单位决定组织消防知识竞赛活动,本次活动拟设一、二等奖若干名,并购买相应奖品.现有经费1 275元用于购买奖品,且经费全部用完,已知一等奖奖品的单价与二等奖奖品的单价之比为4∶3.当用600元购买一等奖奖品时,共可购买一、二等奖奖品25件.
(1)求一、二等奖奖品的单价.
(2)若购买一等奖奖品的数量不少于4件且不超过10件,则共有哪几种购买方式
【详解答案】
课堂达标
1.D 2.B 3.A 4.10 5.48
6.解:(1)设乙商品的进价为x元/件,则甲商品的进价为(1+50%)x元/件,
根据题意,得=40,
解得x=40.
经检验,x=40是原分式方程的解,且符合题意.
答:乙商品的进价为40元/件.
(2)由(1)可知,甲商品的进价为(1+50%)×40=60(元/件),
甲商品的进货数量为=120(件),
乙商品的进货数量为=80(件).
答:甲商品的进价为60元/件,甲、乙商品的进货数量分别为120件、80件.
课后提升
1.B 解析:由题意=1,可知甲做了4天,乙做了x天.由此可以推出,开始他们合作了4天,故方案③中被墨水污染的部分是甲、乙合作了4天.故选B.
2.B 解析:设汽车原来的平均速度为x km/h,则升级后汽车行驶的平均速度为(1+50%)x km/h.根据题意,得=2.解得x=70.经检验,x=70是所列方程的根,且符合题意.∴汽车原来的平均速度为70 km/h.故选B.
3.24 解析:设由男生单独完成,每人需植树x棵.根据题意得=,解得x=24.经检验,x=24是所列方程的解,且符合题意.因此由男生单独完成,每人需植树24棵.
4.解:设汽车行驶中每千米用电费用是x元,则汽车行驶中每千米用油费用是(x+0.5)元,
根据题意得=,解得x=0.25,
经检验,x=0.25是原方程的解,且符合题意,
20÷0.25=80(km).
答:汽车行驶中每千米用电费用是0.25元,甲、乙两地的距离是80 km.
5.解:(1)设一等奖奖品的单价为4x元,则二等奖奖品的单价为3x元.
依题意,得=25.
解得x=15.
经检验,x=15是所列方程的根,且符合题意.
4×15=60(元),3×15=45(元),
∴一等奖奖品的单价为60元,二等奖奖品的单价为45元.
(2)设购买一等奖奖品m件,二等奖奖品n件.
依题意,得60m+45n=1 275.
∴n=.
∵m,n均为正整数,且4≤m≤10,
∴或或
∴共有3种购买方式,
方式1:购买4件一等奖奖品,23件二等奖奖品;
方式2:购买7件一等奖奖品,19 件二等奖奖品;
方式3:购买10件一等奖奖品,15件二等奖奖品.4分式方程
第1课时 分式方程的概念
分式方程的概念
1.下列是分式方程的是 ( )
A.+ B.+=0
C.(x-2)=x D.+1=0
2.有下列方程:①2x+=10;②x-=2;③-3=0;④+=0.属于分式方程的有 .
列分式方程
3.某运输公司运输一批货物,已知大货车比小货车每辆多运输5 t货物,且大货车运输75 t货物所用车辆数与小货车运输50 t货物所用车辆数相同,设大货车每辆运输x t,则所列方程正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=
4.(2024辽阳月考)一船在河流上游A港顺流而下直达B港,用1 h将货物装船后返航,已知船在静水中的速度是50 km/h,A,B两地距离为150 km,则该船从A港出发到返回A港共用了7.25 h,如果设水流速度是x km/h,那么x应满足怎样的方程
1.下列方程中,是分式方程的是 ( )
①=;②=1;
③+=;④x2-3x+=5.
A.①②③ B.②③④
C.①③④ D.①②④
2.某中学针对八年级学生开设了“跟我学面点”烹饪课程,课程开设后学校花费6 000元购进第一批面粉,用完后学校又花费9 600元购进第二批面粉,第二批面粉的采购量是第一批采购量的1.5倍,但每千克面粉价格提高了0.4元.设第一批面粉采购量为x kg,依题意所列方程正确的是 ( )
A.=0.4 B.=0.4
C.=0.4 D.=0.4
3.为了美化环境,某地政府计划对辖区内60 km2的土地进行绿化,为了尽快完成任务,实际平均每月的绿化面积是原计划的1.5倍,结果提前2个月完成任务,求原计划平均每月的绿化面积.甲同学所列的方程为=1.5×,则甲同学所列方程中的x表示 .
4.(模型观念)编写一道应用题,使根据题意列出的方程是=.
【详解答案】
课堂达标
1.D 2.②③ 3.B
4.解:由题意,得
+1+=7.25.
课后提升
1.B 解析:方程①的分母中不含未知数,所以不是分式方程.方程②③④的分母中含有未知数,所以是分式方程.故选B.
2.A 解析:第一批面粉采购量为x kg,则第二批面粉采购量为1.5x kg,根据题意得=0.4.故选A.
3.实际完成任务需要的月数 解析:由题意可得,甲同学所列方程中的x表示实际完成任务需要的月数.
4.解:某工厂举行技能比武竞赛,参赛的有甲、乙两名选手,甲选手每小时比乙选手多做5个零件,已知甲选手做40个零件用的时间和乙选手做25个零件用的时间相同,请问这两名选手每小时分别做多少个零件 (答案不唯一)
