第2课时 平行四边形对角线的性质
平行四边形对角线的性质
1.平行四边形的一边长为6 cm,则它的两条对角线长可以是 ( )
A.4 cm,6 cm B.5 cm,6 cm
C.4 cm,8 cm D.2 cm,12 cm
2.如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,∠BAC=90°,AC=6,BD=10,则CD的长为 ( )
A. B.8 C.4 D.2
3.(2024福州期中) ABCD的对角线AC,BD相交于点O,BC=8,AC=6,BD=12,则△AOD的周长为 .
4.如图, ABCD的对角线AC,BD交于点O,过点O的线段EF分别交AD,BC于点E,F.如果AB=4,BC=5, OE=1.5,则四边形EFCD的周长为 .
5.(2024长春第二实验中学月考)如图,直线EF经过 ABCD的对角线的交点O,若四边形AEFB的面积为100 cm2,则四边形EDCF的面积为 cm2.
6.如图,已知 ABCD与 EBFD的顶点A,E,F, C在同一条直线上.
求证:AE=CF.
7.(2024沈阳期末)如图,在 ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,分别过点A,C作AE⊥BD,CF⊥BD,垂足分别为E,F.AC平分∠DAE.
(1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度数.
(2)求证:AE=CF.
1.(2024抚顺月考)如图,在 ABCD中,AC与BD相交于点O,过点O作直线m交线段AB于点E,交线段CD于点F,则图中全等三角形的对数有 ( )
A.4对 B.5对 C.6对 D.7对
2.如图, ABCD的对角线AC与BD相交于点O,CE⊥AD于点E,AB=2,AC=4,BD=8,则CE=( )
A. B. C. D.
3.如图,P为 ABCD对角线BD上一点,△ABP的面积为S1,△CBP的面积为S2,则S1和S2的关系为 ( )
A.S1>S2 B.S1=S2 C.S14.如图,在 ABCD中,AE⊥BD于点E,∠EAD=60°,AE=2 cm,AC+BD=14 cm,则△OBC的周长是
cm.
5.如图1,平行四边形纸片ABCD的面积为120,AD=15.今沿两对角线将四边形ABCD剪成甲、乙、丙、丁四个三角形纸片.若将甲、丙合并(AD,CB重合)形成一个对称图形戊,如图2所示.则图形戊的两条对角线长度之和为 .
图1 图2
6.如图,在 ABCD中,对角线AC和BD相交于点O,点E,F分别在OD, BO上,且OE=OF,连接AE,CF.
(1)求证:△ADE≌△CBF.
(2)延长AE交CD于点G,延长CF交AB于点H.求证: AH=CG.
7.(应用意识)(1)尝试用三种不同的方法将如图所示的 ABCD分成面积相等的两部分(保留作图痕迹,不写作法).
(2)由上述方法,你能得到什么结论
(3)解决问题:兄弟俩分家,原来他们共同承包了一块平行四边形田地ABCD,现要拉一条直线MN将田地进行平均划分,在这块地里有一口水井P,如图,为了兄弟俩都能方便使用这口水井,聪明的你能帮他们解决这个问题吗(保留作图痕迹,不写作法)
【详解答案】
课堂达标
1.D 2.C 3.17 4.12 5.100
6.证明:如图,连接BD,交AC于点O.
∵四边形ABCD与四边形EBFD都是平行四边形,
∴OA=OC,OE=OF,
∴OA-OE=OC-OF,
即AE=CF.
7.解:(1)∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°.
∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°.
∵AC平分∠DAE,
∴∠DAC=∠EAO=40°.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD∥BC,
∴∠ACB=∠DAC=40°.
(2)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC.
∵AE⊥BD,CF⊥BD,
∴∠AEO=∠CFO=90°.
又∵∠AOE=∠COF,
∴△AEO≌△CFO(AAS),
∴AE=CF.
课后提升
1.C 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AD∥BC,AB∥CD,AO=CO,BO=DO,∴∠CAB=
∠ACD.在△ABC和△CDA中,AB=CD,AC=AC,BC=DA,∴△ABC≌△CDA(SSS),同理可得△ABD≌△CDB;在△AOE和△COF中,∠CAB=∠ACD,AO=CO,∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF(ASA),同理可得△BOE≌
△DOF,△AOB≌△COD,△AOD≌△COB,∴共有6对全等三角形.故选C.
2.C 解析:∵AC=4,BD=8,四边形ABCD是平行四边形,∴CO=AC=2,DO=BD=4.
∵CD=AB=2,∴CD2+CO2=(2)2+22=16=DO2,∴∠ACD=90°.
在Rt△ACD中,AD==2,∴S△ACD=CD·AC=AD·CE,∴2×4=2CE,∴CE=.故选C.
3.B 解析:如图,连接AC,交BD于点O.∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,∴S△BAO=S△BCO,S△PAO=S△POC,∴S△BAO-S△PAO=S△BCO-S△POC,∴S△BAP=S△BCP,即S1=S2.故选B.
4.11 解析:∵AE⊥BD,∴△AED是直角三角形.∵∠EAD=60°,∴∠ADE=30°.∵AE=2 cm,∴AD=2AE=4 cm.∵四边形ABCD是平行四边形,∴BC=AD=4 cm,OB=OD=BD,OC=OA=AC.又∵AC+BD=14 cm,∴OB+OC=(AC+
BD)=7 cm,∴△OBC的周长为OB+OC+BC=7+4=11(cm).
5.23 解析:如图,连接AD,EF,则可得对角线EF⊥AD,且EF与平行四边形纸片ABCD的AD边上的高相等.
∵平行四边形纸片ABCD的面积为120,AD=15,∴BC=AD=15,EF·AD=×120,∴EF=8,∴图形戊的两条对角线之和为15+8=23.
6.证明:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AD∥BC,BO=DO,
∴∠ADE=∠CBF.
∵OE=OF,
∴OD-OE=OB-OF,
即DE=BF.
在△ADE和△CBF中,
∴△ADE≌△CBF(SAS).
(2)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AD=BC,AB=CD,∠ADG=∠CBH.
∵△ADE≌△CBF,
∴∠DAE=∠BCF.
在△ADG和△CBH中,
∵
∴△ADG≌△CBH(ASA),
∴DG=BH.
∵AB=CD,
∴AB-BH=CD-DG,
即AH=CG.
7.解:(1)作图如下:
(答案不唯一,符合题意即可)
(2)过对角线交点的任意一条直线都将平行四边形分成面积相等的两部分.
(3)作图如下:1平行四边形的性质
第1课时 平行四边形边、角的性质
平行四边形的定义、表示方法及相关概念
1.如图,在平行四边形ABCD中,EF∥AD,HN∥AB,则图中的平行四边形的个数是 ( )
A.12 B.9 C.7 D.5
2.对于平行四边形ABCD,AC与BD相交于点O,下列说法正确的是 ( )
A.平行四边形ABCD可表示为“ ACDB”
B.平行四边形ABCD可表示为“ABCD”
C.AD∥BC, AB∥CD
D.对角线为AC,BO
平行四边形的中心对称性
3.如图,在 ABCD中,对角线AC,BD交于点O,线段MN,PQ,EF均经过点O,BC=10,BC边上的高为6,则阴影部分的面积为 ( )
A.15 B.20 C.30 D.60
4.把 ABCD放入平面直角坐标系中,已知对角线AC,BD的交点为原点,点A的坐标为(2,-3),点C的坐标为 ( )
A.(-3,2) B.(3,2) C.(-2,3) D.(2,3)
平行四边形的边和角的性质
5.如图,在 ABCD中,E为线段BC上一点,连接AE.若AE=DC,且∠D=60°,则∠BAE的度数为( )
A.65° B.55°
C.50° D.60°
6.(2024广州中考)如图,在 ABCD中,BC=2,点E在DA的延长线上,BE=3,若BA平分∠EBC,则DE= .
7.如图,在 ABCD中,∠D=100°,∠DAB的平分线AE交CD于点E,连接BE,若AE=AB,则∠AEB的度数为 .
8.如图,在 ABCD中,∠BCD的平分线与BA的延长线相交于点E,BH⊥EC于点H.求证:CH= EH.
1.如图,在 ABCD中,BE =2,AD=8,DE平分∠ADC,则 ABCD的周长为 ( )
A.14 B.24
C.20 D.28
2.(2024深圳开学考)如图,在 ABCD中,∠ABC和∠BCD的平分线交于AD边上一点E,且BE=4,CE=3,则AB的长是( )
A.3 B.4 C.5 D.2.5
3.如图,在 ABCD中,AE⊥BC于点E,AF⊥DC交DC的延长线于点F.若AE=4,AF=6,且 ABCD的周长为40,则 ABCD的面积为 ( )
A.24 B.36 C.40 D.48
4.如图,将 ABCD沿对角线AC折叠,使点B落在点B'处,若∠1=∠2=44°,则∠B的度数为 ( )
A.66° B.114° C.104° D.124°
5.如图,在 ABCD中,AB=6,BC=8,∠BCD的平分线交AD于点E,交BA的延长线于点F,则AE+AF的值等于 .
6.如图,在 ABCD中,点E,F在对角线AC上,∠CBE=∠ADF.
求证:(1)AE=CF.
(2)BE∥DF.
7.(几何直观)问题:如图,在 ABCD中,AB=8,AD=5,∠DAB,∠ABC的平分线AE,BF分别与直线CD交于点E,F,求EF的长.
答案:EF=2.
探究:(1)把“问题”中的条件“AB=8”去掉,其余条件不变.
①当点E与点F重合时,求AB的长.
②当点E与点C重合时,求EF的长.
(2)把“问题”中的条件“AB=8,AD=5”去掉,其余条件不变,当点C,D,E,F相邻两点间的距离相等时,求的值.
【详解答案】
课堂达标
1.B 2.C 3.C 4.C 5.D 6.5
7.70°
8.证明:∵在 ABCD中,BE∥CD,
∴∠E=∠ECD.
∵CE平分∠BCD,
∴∠BCE=∠ECD,
∴∠BCE=∠E,
∴BE=BC.
又∵BH⊥EC,
∴CH=EH(三线合一).
课后提升
1.D 解析:∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE.∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,BC=AD=8,AB=CD,∴∠ADE=∠CED,∴∠CDE=∠CED.∴CE=CD.∵BE=2,∴CE=BC-BE=8-2=6,∴CD=AB=6,∴ ABCD的周长为6+6+8+8=28.故选D.
2.D 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD,AD∥BC,∴∠ABC+∠DCB=180°.
∵BE,CE分别为∠ABC和∠BCD的平分线,∴∠ABE=∠EBC,∠DCE=∠ECB,∴∠EBC+
∠ECB=×180°=90°,∴∠BEC=180°-90°=90°.∵BE=4,CE=3,∴BC===5.
∵AD∥BC,∴∠AEB=∠EBC,∠DEC=∠ECB,
∴∠ABE=∠AEB,∠DEC=∠DCE,∴AB=AE,DE=DC,∴AE=ED=AD=BC=2.5,∴AB=AE=2.5.故选D.
3.D 解析:∵ ABCD的周长为2(BC+CD)=40,∴BC+CD=20①.∵AE⊥BC,AF⊥CD,AE=4,AF=6,
∴S ABCD=4BC=6CD,整理,得BC=CD②.由①②,得CD=8,∴S ABCD=6CD=6×8=48.故选D.
4.B 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠B'AB=∠1=44°,
由折叠的性质得∠BAC=∠B'AC=∠B'AB=22°,∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°.故选B.
5.4 解析:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AD=BC=8,CD=AB=6,∴∠F=∠DCF.∵CF平分∠BCD,
∴∠FCB=∠DCF,∴∠F=∠FCB,∴BF=BC=8,同理DE=CD=6,∴AF=BF-AB=2,AE=AD-DE=2,∴AE+AF=4.
6.证明:(1)∵四边形ABCD为平行四边形,
∴AB∥CD,AB=CD,∠ABC=∠ADC,
∴∠BAE=∠DCF.
∵∠CBE=∠ADF,
∴∠ABC-∠CBE=∠ADC-∠ADF,
即∠ABE=∠CDF,
∴△ABE≌△CDF(ASA),
∴AE=CF.
(2)由(1)得△ABE≌△CDF,
∴∠AEB=∠CFD.
∵∠AEB+∠BEF=180°,∠CFD+∠EFD=180°,
∴∠BEF=∠EFD,
∴BE∥DF.
7.解:(1)①如图1所示,∵四边形ABCD是平行四边形,
图1
∴BC=AD=5,AB∥CD,
∴∠DEA=∠BAE.
∵AE平分∠DAB,
∴∠DAE=∠BAE,
∴∠DEA=∠DAE,
∴DE=AD=5,
同理CF=BC=5.
∵点E与点F重合,
∴AB=CD=DE+CF=10.
②如图2所示,同(1)可得DE=AD=5,CF=BC=5,
∵点E与点C重合,
图2
∴DE=DC=5.
∵CF=BC=5,
∴点F与点D重合,
∴EF=DC=5.
(2)分三种情况:①如图3所示,同(1)得AD=DE,
图3
∵点C,D,E,F相邻两点间的距离相等,
∴DE=EF=CF,
∴==;
②如图4所示,同(1)得AD=DE,
∵DF=FE=CE,
∴==;
图4
③如图5所示,同(1)得AD=DE,
图5
∵DF=DC=CE,
∴==2.
综上所述,的值为或或2.
